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Colle 29

  • Dérivation

    • Rappels sur la dérivabilité, tangentes et demi-tangentes.
    • Dérivée \(n\)-ième, formule de Leibniz.
    • Théorème de Rolle, des accroissements finis.
    • Théorème de continuité de la dérivée.
    • Inégalité des accroissements finis, application à l'étude de suites récurrentes.
  • Applications linéaires

    • Applications linéaires : exemples usuels.
    • Application canoniquement associée à une matrice.
    • Noyau : définition, lien avec l'injectivité, caractérisation par l'image d'une base.
    • Image : surjectivité, famille génératrice de l'image.
    • Structure de \(\Li(E)\) : composition, combinaison linéaire, réciproque. Composition en tant que ``multiplication''.
    • Caractérisation des isomorphismes en dimension finie : image d'une base, injectivité ou surjectivité dans le cas où les deux dimensions sont connues.
  • Démonstrations

    • Inégalité des accroissements finis. Savoir reconstruire la preuve.
    • Une application linéaire est injective ssi son noyau est réduit au vecteur nul.
    • La réciproque d'une application linéaire bijective est une application linéaire (bijective).

Colle 28

  • Espaces vectoriels

    • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
    • Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
    • Formule de changement de coordonnées.
  • Dénombrement

    • Cardinal d'un ensemble.
    • Pour une fonction entre ensemble finis, lien entre les cardinaux des ensembles et la possibilité d'être injective, surjective, bijective. Principe des tiroirs.
    • Cardinal d'une union, d'un produit cartésien. Interprétation ensembliste.
    • Cardinal de \(F^E\), l'ensemble des fonctions définies sur \(E\) et à valeurs dans \(F\).
    • Cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble de n éléments dans lui même.
    • Parties à \(p\) éléments d'un ensemble fini, coefficients binomiaux.
  • Dérivation

    • Rappels sur la dérivabilité, tangentes et demi-tangentes.
    • Dérivée \(n\)-ième, formule de Leibniz.
    • Théorème de Rolle, des accroissements finis.
    • Inégalité des accroissements finis, application à l'étude de suites récurrentes.
  • Démonstrations

    • Savoir prouver qu'un plan donné par une équation et une droite donnée par un vecteur directeur sont supplémentaires dans \(\R^3\).
    • Dérivabilité de \(\sin\) en \(a \in \R^*\) à partir de la dérivabilité en 0.
    • Inégalité des accroissements finis.

Colle 27

  • Espaces vectoriels

    • Espace vectoriels, exemples usuels.
    • Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
    • Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
    • Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
    • Théorème de la base incomplète.
    • Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
    • Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
    • Rang d'une famille.
    • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
    • Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
    • Formule de changement de coordonnées.
  • Dénombrement

    • Cardinal d'un ensemble.
    • Pour une fonction entre ensemble finis, lien entre les cardinaux des ensembles et la possibilité d'être injective, surjective, bijective. Principe des tiroirs.
    • Cardinal d'une union, d'un produit cartésien. Interprétation ensembliste.
    • Cardinal de \(F^E\), l'ensemble des fonctions définies sur \(E\) et à valeurs dans \(F\).
    • Cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble de n éléments dans lui même.
    • Parties à \(p\) éléments d'un ensemble fini, coefficients binomiaux.
  • Démonstrations

    • Savoir montrer qu'une famille de polynôme (dans \(\R_2[X]\)) est une base en montrant que sa matrice dans la base canonique est inversible.
    • Savoir prouver qu'un plan donné par une équation et une droite donnée par un vecteur directeur sont supplémentaires dans \(\R^3\).
    • Dérivabilité de \(\sin\) en \(a \in \R^*\) à partir de la dérivabilité en 0.

Sans titre

  • Espaces vectoriels

    • Espace vectoriels, exemples usuels.
    • Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
    • Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
    • Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
    • Théorème de la base incomplète.
    • Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
    • Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
    • Rang d'une famille.
    • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
    • Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
    • Formule de changement de coordonnées.
  • Démonstrations

    • Si une famille est une base alors elle est libre et génératrice (énoncé du théorème complet).
    • Définition de \(F + G\), montrer que c'est un espace vectoriel.
    • Savoir montrer qu'une famille de polynôme (dans \(\R_2[X]\)) est une base en montrant que sa matrice dans la base canonique est inversible.

Sans titre

  • Fonctions continues

    • Calcul de l'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone.
    • Image d'un segment par une fonction continue.
    • Rappels sur le calcul de développements limités, d'équivalents.
  • Espaces vectoriels

    • Espace vectoriels, exemples usuels.
    • Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
    • Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
    • Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
    • Théorème de la base incomplète.
    • Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
    • Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
    • Rang d'une famille.
    • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
  • Démonstrations

    • Définitions : \(\Vect\), famille génératrice, famille libre (et savoir citer des exemples de familles qui le sont ou pas).
    • Si une famille est une base alors elle est libre et génératrice (énoncé du théorème complet).
    • Définition de \(F + G\), montrer que c'est un espace vectoriel.

Colle 24

Les seules méthodes exigibles cette semaine en algèbre linéaires sont :

déterminer une famille génératrice à partir d'une équation d'un sous-espace de \(\K^n\)

prouver qu'une famille est libre ou liée dans \(\K^n \ou \K[X]\)

  • Fonctions continues

    • Limites des fonctions : définition, unicité.
    • Théorèmes d'existence : encadrement, opérations, lien avec la monotonie.
    • Fonctions continues : définition, prolongement par continuité.
    • Théorème des valeurs intermédiaires (une fonction continue qui change de signe s'annule) et conséquences (image d'un intervalle).
    • Calcul de l'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone.
    • Image d'un segment par une fonction continue.
    • Rappels sur le calcul de développements limités, d'équivalents.
  • Espaces vectoriels

    • Espace vectoriels, exemples usuels.
    • Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
    • Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
  • Démonstrations

    • Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty}{\ln(x)} = +\infty\).
    • TVI : Donner les propriétés des suites \((a_n) \et (b_n)\) (un schéma suffit pour l'expliquer) puis prouver que \(f(c) = 0\).
    • Définitions : \(\Vect\), famille génératrice, famille libre (et savoir citer des exemples de familles qui le sont ou pas).

Colle 23

  • Polynômes

    • \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
    • Divisibilité, division euclidienne.
    • Racines des polynômes : définition, multiplicité, nombre maximal de racines en fonction du degré.
    • Dérivation : formule de Taylor pour les polynômes, caractérisation de la multiplicité par l'annulation des dérivées successives.
    • Théorème de d'Alembert-Gauss : factorisation dans \(\C[X]\).
    • Racines des polynômes réels, factorisation dans \(\R[X]\).
  • Fonctions continues

    • Limites des fonctions : définition, unicité.
    • Théorèmes d'existence : encadrement, opérations, lien avec la monotonie.
    • Fonctions continues : définition, prolongement par continuité.
    • Théorème des valeurs intermédiaires (une fonction continue qui change de signe s'annule) et conséquences (image d'un intervalle).
  • Démonstrations

    • Deux fonctions polynomiales égales sur un intervalle infini ont les mêmes coefficients.
    • Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty}{\ln(x)} = +\infty\).
    • TVI : Donner les propriétés des suites \((a_n) \et (b_n)\) (un schéma suffit pour l'expliquer) puis prouver que \(f(c) = 0\).

Colle 22

Pour les colles de lundi midi : la factorisation des polynômes dans \(\mathbb{R} \et \mathbb{C}\) n'est pas au programme. Elle l'est à partir de lundi 17H.

  • Polynômes

    • \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
    • Divisibilité, division euclidienne.
    • Racines des polynômes : définition, multiplicité, nombre maximal de racines en fonction du degré.
    • Dérivation : formule de Taylor pour les polynômes, caractérisation de la multiplicité par l'annulation des dérivées successives.
    • Théorème de d'Alembert-Gauss : factorisation dans \(\C[X]\).
    • Racines des polynômes réels, factorisation dans \(\R[X]\).
  • Démonstrations

    • Enoncé des théorèmes du binôme de Newton et de factorisation \(A^n - B^n\) dans l'ensemble des polynômes.
    • Unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de polynômes.
    • Deux fonctions polynomiales égales sur un intervalle infini ont les mêmes coefficients.

Colle 21

  • Limites des suites

    • Définitions de la convergence, des limites infinies pour une suite réelle.
    • Lien entre l'existence de limite et le caractère majorée/minorée.
    • Unicité de la limite d'une suite.
    • Suites extraites : définition, caractérisation de la convergence par la convergence des suites des rangs pairs et impairs.
    • Théorème d'encadrement
    • Passage à la limite des inégalités
    • Opérations sur les limites, composition d'une limite de suite par une limite de fonction.
    • Théorème de limite monotone (limite finie ou infinie).
    • Suites adjacentes.
    • Croissances comparées, y compris pour \(n! \et n^n\).
    • Extension aux suites complexes, étude des suites géométriques à raison complexes.
  • Polynôme

    • \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
    • Divisibilité, division euclidienne.
  • Démonstrations

    • Enoncé du théorème de d'Alembert sur les suites et application à la détermination de la limite de \(\frac{n!}{n^n}\).
    • Enoncé des théorèmes du binôme de Newton et de factorisation \(A^n - B^n\) dans l'ensemble des polynômes.
    • Unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de polynômes.

Colle 20

  • Arithmétique des entiers naturels

    • Diviseurs et multiples
    • Division euclidienne d'entiers.
    • pgcd, ppcm et algorithme d'Euclide
    • Nombres premiers : décomposition en facteurs premiers.
  • Limites des suites

    • Définitions de la convergence, des limites infinies pour une suite réelle.
    • Lien entre l'existence de limite et le caractère majorée/minorée.
    • Unicité de la limite d'une suite.
    • Suites extraites : définition, caractérisation de la convergence par la convergence des suites des rangs pairs et impairs.
    • Théorème d'encadrement
    • Passage à la limite des inégalités
    • Opérations sur les limites, composition d'une limite de suite par une limite de fonction.
    • Théorème de limite monotone (limite finie ou infinie).
    • Suites adjacentes.
    • Croissances comparées, y compris pour \(n! \et n^n\).
  • Démonstrations

    • Unicité du couple quotient/reste dans la division euclidienne d'entiers.
    • Unicité de la limite finie d'une suite.
    • Enoncé du théorème de d'Alembert sur les suites et application à la détermination de la limite de \(\frac{n!}{n^n}\).

Colle 19, pour la semaine 20

  • Nombres réels

    • Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.
    • Suites arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.
    • Majorant, minorant, minimum, maximum d'une partie de \(\R\), de \(\N\).
    • Bornes supérieures et inférieures.
    • Toute partie non vide de \(\N\) possède un minimum. Toute partie non vide et majorée de \(\R\) possède une borne supérieure.
    • Partie entière d'un réel.
  • Arithmétique des entiers naturels

    • Diviseurs et multiples
    • Division euclidienne d'entiers.
    • pgcd, ppcm et algorithme d'Euclide
    • Nombres premiers : décomposition en facteurs premiers.
  • Limites des suites

    • Définitions de la convergence, des limites infinies pour une suite réelle.
    • Lien entre l'existence de limite et le caractère majorée/minorée.
    • Unicité de la limite d'une suite.
  • Démonstrations

    • Unicité de la partie entière d'un réel.
    • Unicité du couple quotient/reste dans la division euclidienne d'entiers.
    • Unicité de la limite finie d'une suite.

Colle 18

  • Géométrie de l'espace

    • Bases de l'espace, vecteurs coplanaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 3.
    • Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
    • Produit vectoriel : propriétés géométriques et algébriques.
    • Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques. Caractérisation de l'orientation d'une base.
    • Plan dans l'espace : bases, équation, vecteur normal.
    • Droites dans l'espace : système d'équations
    • Projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.
  • Nombres réels

    • Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.
    • Suites arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.
    • Majorant, minorant, minimum, maximum d'une partie de \(\R\), de \(\N\).
    • Bornes supérieures et inférieures.
    • Toute partie non vide de \(\N\) possède un minimum. Toute partie non vide et majorée de \(\R\) possède une borne supérieure.
    • Partie entière d'un réel.
  • Démonstrations

    • L'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \(\vect{MA} . \vect{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
    • Expression des coordonnées du produit vectoriel dans une BOND.
    • Unicité de la partie entière d'un réel.

Colle 17

Les plans et droites de l'espace ne sont au programme qu'à partir de mardi.

  • Géométrie du plan

    • Bases du plan, vecteurs colinéaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 2.
    • Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
    • Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques
    • Droites du plan (\(A + \Vect(\vu)\)) : équation, vecteur normal.
    • Cercles du plan : équation, lieu des solutions de \(\vect{MA} . \vect{MB}\).
  • Géométrie de l'espace

    • Bases de l'espace, vecteurs coplanaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 3.
    • Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
    • Produit vectoriel : propriétés géométriques et algébriques.
    • Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques. Caractérisation de l'orientation d'une base.
    • Plan dans l'espace : bases, équation, vecteur normal.
    • Droites dans l'espace : système d'équations
    • Projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.
  • Démonstrations

    • Si \(\D\) est une droite du plan alors \(\D\) possède une équation de la forme \(ax+by+c = 0\) avec \(a, b\) non tous les deux nuls.
    • L'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \(\vect{MA} . \vect{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
    • Expression des coordonnées du produit vectoriel dans une BOND.

Colle 16

  • Développements limités

    • Opérations sur les DL : somme, produit, composition, inverse.
  • Géométrie du plan

    • Bases du plan, vecteurs colinéaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 2.
    • Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
    • Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques
    • Droites du plan (\(A + \Vect(\vu)\)) : équation, vecteur normal.
    • Cercles du plan : équation, lieu des solutions de \(\vect{MA} . \vect{MB}\).
  • Démonstrations

    • \((\vu, \vv)\) est une base du plan ssi ces vecteurs sont non colinéaires.
    • Enoncé de la bilinéarité du produit scalaire et preuve de \(\col{x}{y}{} . \col{x'}{y'}{} = xx' + yy'\).
    • Si \(\D\) est une droite du plan alors \(\D\) possède une équation de la forme \(ax+by+c = 0\) avec \(a, b\) non tous les deux nuls.

Colle 15

La géométrie n'est présente que pour le cours. Les éventuels exercices ne pourront porter que sur une application directe.

  • Croissances comparées

    • Equivalents usuels en 0.
    • Théorème de croissances comparées.
  • Développements limités

    • Définition, lien avec les équivalents.
    • Développement de \(\inv{1 - x}, \inv{1 + x}\)
    • Intégration terme à terme : DL de \(\ln, \arctan\).
    • Théorème de Taylor-Young.
    • Opérations sur les DL : somme, produit, composition, inverse.
  • Géométrie du plan

    • Bases du plan, vecteurs colinéaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 2.
    • Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
  • Démonstrations

    • Théorème de Taylor-Young : énoncé et application à \(\exp\).
    • \((\vu, \vv)\) est une base du plan ssi ces vecteurs sont non colinéaires.
    • Enoncé de la bilinéarité du produit scalaire et preuve de \(\col{x}{y}{} . \col{x'}{y'}{} = xx' + yy'\).

Colle 14

  • Croissances comparées

    • Fonctions puissances entières : distinction de cas suivant le signe et la parité.
    • Racine \(n\)ème d'un réel positif.
    • Puissances réelles. Définition. Propriétés calculatoires.
    • Etude des fonctions \(x \mapsto x^{\alpha}\). Positions relatives, continuité et dérivabilité en 0.
    • Equivalence de fonctions : définition, utilisation pour le calcul de limites et la détermination du signe.
    • Négligeabilité : définition, lien avec les équivalents.
    • Equivalents usuels en 0.
    • Théorème de croissances comparées.
  • Développements limités

    • Définition, lien avec les équivalents.
    • Développement de \(\inv{1 - x}, \inv{1 + x}\)
    • Intégration terme à terme : DL de \(\ln, \arctan\).
    • Théorème de Taylor-Young.
  • Démonstrations

    • Citer des développements limités usuels (4 au choix du colleur : \(\exp, \ln, \sin, \cos, \sh, \ch, (1 + x)^{\alpha}, \inv{1 + x}\)).
    • Pour \(\alpha, \beta > 0\), \((\ln(x))^{\beta} = o_{+\infty}(x^{\alpha})\) (preuve) et énoncé du théorème complet.
    • Théorème de Taylor-Young : énoncé et application à \(\exp\).

Colle 13

  • Matrices

    • Somme et produit de matrices : propriétés calculatoires.
    • Interprétation par colonne du produit matriciel et écriture matricielle d'un système linéaire.
    • Calcul de puissances de matrices
    • Matrices inversibles : CNS d'inversibilité.
    • Inversion en pratique de matrices.
  • Croissances comparées

    • Fonctions puissances entières : distinction de cas suivant le signe et la parité.
    • Racine \(n\)ème d'un réel positif.
    • Puissances réelles. Définition. Propriétés calculatoires.
    • Etude des fonctions \(x \mapsto x^{\alpha}\). Positions relatives, continuité et dérivabilité en 0.
    • Equivalence de fonctions : définition, utilisation pour le calcul de limites et la détermination du signe.
    • Négligeabilité : définition, lien avec les équivalents.
    • Equivalents usuels en 0.
    • Théorème de croissances comparées.
  • Démonstrations

    • Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0 des fonctions \(f_{\alpha} : x \mapsto x^{\alpha}\) où \(\alpha \in \R\).
    • Citer les équivalents usuels ou les développements correspondant.
    • Pour \(\alpha, \beta > 0\), \((\ln(x))^{\beta} = o_{+\infty}(x^{\alpha})\) (preuve) et énoncé du théorème complet.

Colle 12

  • Equations différentielles linéaires

    • Ordre 2 : Second membre de la forme \(Ae^{kx}\) avec \(A, k \in \C\) fixés.
    • Principe de superposition, utilisation des complexes dans le cas d'un second membre trigonométrique (équation à coefficients réels).
    • Problèmes de Cauchy d'ordre 2.
  • Matrices

    • Somme et produit de matrices : propriétés calculatoires.
    • Interprétation par colonne du produit matriciel et écriture matricielle d'un système linéaire.
    • Calcul de puissances de matrices
    • Matrices inversibles : CNS d'inversibilité.
    • Inversion en pratique de matrices.
  • Démonstrations

    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont inversibles alors \(A^{-1}\) et \(AB\) sont inversibles.
    • Citer 5 CNS d'inversibilité pour une matrice. Interprétation en termes de systèmes linéaires le cas échéant.
    • Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0 des fonctions \(f_{\alpha} : x \mapsto x^{\alpha}\) où \(\alpha \in \R\)

Colle 11

Note : la pratique de l'inversion de matrice n'est pas au programme cette semaine.

  • Equations différentielles linéaires

    • Equation homogènes d'ordre 1.
    • Méthode de variation de la constante.
    • Principe de superposition, utilisation de l'exponentielle complexe en cas de coefficients réels.
    • Equation homogène d'ordre 2 à coefficients constants : équation caractéristiques, solutions à valeurs complexes, à valeurs réelles.
    • Second membre de la forme \(Ae^kx\) avec \(A, k \in \C\) fixés.
    • Principe de superposition, utilisation des complexes dans le cas d'un second membre trigonométrique (équation à coefficients réels).
    • Problèmes de Cauchy d'ordre 2.
  • Matrices

    • Somme et produit de matrices : propriétés calculatoires.
    • Interprétation par colonne du produit matriciel et écriture matricielle d'un système linéaire.
    • Matrices inversibles : CNS d'inversibilité.
  • Démonstrations

    • Théorème de résolution de \(y' + a(t)y = 0\).
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont inversibles alors \(A^{-1}\) et \(AB\) sont inversibles.
    • Citer 5 CNS d'inversibilité pour une matrice.

Colle 10

Cette fois, les dates sont correctes...

  • Systèmes linéaires

    • Système linéaire, matrice d'un système, matrice augmentée.
    • Vecteurs de \(\K^p\), notation \(\Vect(U), \Vect(U_1, \dots, U_r)\).
    • Résolution d'un système : algorithme du pivot de Gauss.
    • Matrices échelonnées, réduites.
    • Rang d'un système, inconnues principales et secondaires.
  • Equations différentielles linéaires

    • Equation homogènes d'ordre 1.
    • Méthode de variation de la constante.
    • Principe de superposition, utilisation de l'exponentielle complexe en cas de coefficients réels.
    • Equation homogène d'ordre 2 à coefficients constants : équation caractéristiques, solutions à valeurs complexes, à valeurs réelles.
  • Démonstrations

    • Définition de matrice échelonnée et de matrice échelonnée réduite. Donner des exemples de matrices qui le sont ou non.
    • Résoudre un système homogène à 2 équations et 3 inconnues, de rang 1 ou 2.
    • Théorème de résolution \(y' + a(t)y = 0\).

Colle 9

  • Calcul d'intégrales

    • Théorème fondamental : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et que \(a \in I\) alors \(x \mapsto \int_a^x{f(t) \d t}\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
    • Intégration par parties.
    • Changements de variables.
    • Intégrales et primitives de fonctions de la forme \(t \mapsto \inv{P(t)}\) où \(P\) est polynomiale de degré 2.
  • Systèmes linéaires

    • Système linéaire, matrice d'un système, matrice augmentée.
    • Vecteurs de \(\K^p\), notation \(\Vect(U), \Vect(U_1, \dots, U_r)\).
    • Résolution d'un système : algorithme du pivot de Gauss.
    • Matrices échelonnées, réduites.
    • Rang d'un système, inconnues principales et secondaires.
  • Démonstrations

    • Pour \(z = a + ib\) avec \(a \in \R, b \in \R^*\), calculer une primitive de \(\inv{t - z}\).
    • Définition de matrice échelonnée et de matrice échelonnée réduite. Donner des exemples de matrices qui le sont ou non.
    • Résoudre un système homogène à 2 équations et 3 inconnues, de rang 1 ou 2.

Colle 8

  • Calcul d'intégrales

    • Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\), de \(t \mapsto e^{\phi(t)}\) où \(\phi\) est à valeurs complexes.
    • Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
    • Primitives d'une fonction, primitives usuelles.
    • Théorème fondamental : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et que \(a \in I\) alors \(x \mapsto \int_a^x{f(t) \d t}\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
    • Intégration par parties.
    • Changements de variables.
    • Intégrales et primitives de fonctions de la forme \(t \mapsto \inv{P(t)}\) où \(P\) est polynomiale de degré 2.
  • Démonstrations

    • Calcul de la dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\) fixé.
    • Théorème d'intégration par parties
    • Pour \(z = a + ib\) avec \(a \in \R, b \in \R^*\), calculer une primitive de \(\inv{t - z}\).

Colle 7

  • Complexes

    • Résolution de \(az^2 + bz + c = 0\) d'inconnue et coefficients complexes.
    • Relations coefficients-racines pour le degré 2.
  • Calcul d'intégrales

    • Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\), de \(t \mapsto e^{\phi(t)}\) où \(\phi\) est à valeurs complexes.
    • Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
    • Primitives d'une fonction, primitives usuelles.
    • Théorème fondamental : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et que \(a \in I\) alors \(x \mapsto \int_a^x{f(t) \d t}\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
    • Intégration par parties.
  • Démonstrations

    • Calcul sous forme algébrique des racines carrées d'un nombre complexe.
    • Calcul de la dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\) fixé.
    • Théorème d'intégration par parties

Colle 6

Attention, les colles de la semaine 7 (colle n°6) se déroulent pour une part avant les vacances et pour une part après.

  • Complexes

    • Forme algébrique, rappels des propriétés de la conjugaison.
    • Module et interprétation géométrique, inégalité triangulaire.
    • Forme exponentielle d'un complexe non nul.
    • Interprétation géométrique de la somme, la conjugaison, du produit par un nombre de module 1, par un réel strictement positif.
    • Exponentielle d'un nombre complexe quelconque. Propriétés calculatoires.
    • Racines nièmes de l'unité. Définition, somme, interprétation géométrique.
    • Racines carrées sous forme algébrique.
    • Résolution de \(az^2 + bz + c = 0\) d'inconnue et coefficients complexes.
    • Relations coefficients-racines pour le degré 2.
  • Calcul d'intégrales

    • Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\), de \(t \mapsto e^{\phi(t)}\) où \(\phi\) est à valeurs complexes.
    • Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
  • Démonstrations

    • Inégalité triangulaire (pour \(z_1, z_2 \in \C\), \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)).
    • Description des éléments de \(\U_n\), ie des solutions de \(z^n = 1\) d'inconnue \(z\) et pour \(n \ge 2\).
    • Calcul sous forme algébrique des racines carrées d'un nombre complexe.

Colle 5

  • Trigonométrie

    • Formules usuelles : addition, duplication, linéarisation (\(\sin(a)\sin(b)\dots\)).
    • Exponentielle complexe : propriété fonctionnelle, formules de Moivre, Euler.
    • Factorisation de \(e^{ip} \pm e^{iq}\) pour \(p, q \in \R\). Interprétation géométrique
    • Trigonométrie réciproque : définition, dérivée, courbes de \(\arcsin, \arccos, \arctan\).
  • Complexes

    • Forme algébrique, rappels des propriétés de la conjugaison.
    • Module et interprétation géométrique, inégalité triangulaire.
    • Forme exponentielle d'un complexe non nul.
    • Interprétation géométrique de la somme, la conjugaison, du produit par un nombre de module 1, par un réel strictement positif.
  • Démonstrations

    • Calcul de \(\sum\limits_{k = 0}^n{\cos(2kx)}\) pour \(x \ne k\pi\) pour tout \(k \in \Z\).
    • Inégalité triangulaire (pour \(z_1, z_2 \in \C\), \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)).
    • Description des éléments de \(\U_n\), ie des solutions de \(z^n = 1\) d'inconnue \(z\) et pour \(n \ge 2\).

Colle 4

  • Additions et multiplications

    • Manipulation du symbole \(\Sigma\).
    • Sommes classiques : \(\sum\limits_{k = 1}^n{k} \et \sum\limits_{k = 1}^n{k^2}\).
    • Sommes télescopiques.
    • Factorisation de \(a^n - b^n\).
    • Sommes géométriques.
    • Produits, transformation en somme via \(\ln\).
    • Factorielle et coefficients binomiaux.
    • Théorème du binôme de Newton.
    • Rappels sur les règles de manipulation d'inégalités : somme, produit, inverse, fonctions monotones.
  • Trigonométrie

    • Formules usuelles : addition, duplication, linéarisation (\(\sin(a)\sin(b)\dots\)).
    • Exponentielle complexe : propriété fonctionnelle, formules de Moivre, Euler.
  • Démonstrations

    • Formule de Pascal : \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}= \binom{n + 1}{k + 1}\).
    • Hérédité dans la preuve du théorème du binôme.
    • Calcul de \(\sum\limits_{k = 0}^n{\cos(2kx)}\) pour \(x \ne k\pi\) pour tout \(k \in \Z\)

Colle 3

  • Dérivation

    • Prouver la bijectivité : théorème de la bijection (calcul de l'image par le TVI et stricte monotonie), calcul direct de la réciproque.
    • Fonctions \(\ln \et \exp\).
    • Etude des fonctions \(\ch \et \sh\). \(\ch^2 - \sh^2 = 1\).
    • Etude de la fonction \(\tan\).
  • Additions et multiplications

    • Manipulation du symbole \(\Sigma\).
    • Sommes classiques : \(\sum\limits_{k = 1}^n{k} \et \sum\limits_{k = 1}^n{k^2}\).
    • Sommes télescopiques.
    • Factorisation de \(a^n - b^n\).
    • Sommes géométriques.
    • Produits, transformation en somme via \(\ln\).
    • Factorielle et coefficients binomiaux.
    • Théorème du binôme de Newton.
    • Rappels sur les règles de manipulation d'inégalités : somme, produit, inverse, fonctions monotones.
  • Démonstrations

    • Trouver l'expression en fonction de \(n \in \N\) de \(\sum\limits_{k = 1}^n{((k + 1)^3 - k^3)}\)
    • Formule de Pascal : \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}= \binom{n + 1}{k + 1}\).
    • Hérédité dans la preuve du théorème du binôme.

Colle 2

  • Dérivation

    • Notation des ensembles, quantificateurs.
    • Calcul du domaine de définition d'un procédé.
    • Image d'une fonction.
    • Dérivabilité d'une fonction somme, produit, inverse, quotient.
    • Fonctions composées : domaine de définition, dérivation.
    • Bijection : définition, dérivabilité de la réciproque.
    • Prouver la bijectivité : théorème de la bijection (calcul de l'image par le TVI et stricte monotonie), calcul direct de la réciproque.
    • Fonctions \(\ln \et \exp\).
    • Etude des fonctions \(\ch \et \sh\). \(\ch^2 - \sh^2 = 1\).
    • Etude de la fonction \(\tan\).
  • Démonstrations

    • Citer deux définition parmi : fonction croissante, fonction décroissante, fonction paire, bijection.
    • Calcul de la dérivée de la bijection réciproque \(f^{-1}\) en admettant sa dérivabilité. Citer le théorème au préalable.
    • Trouver l'expression en fonction de \(n \in \N\) de \(\sum\limits_{k = 1}^n{((k + 1)^3 - k^3)}\)

Colle 1

En plus de la démonstration exigée, vous devez être capable d'énoncer correctement le résultat à prouver.

  • Dérivation

    • Notation des ensembles, quantificateurs.
    • Calcul du domaine de définition d'un procédé.
    • Image d'une fonction.
    • Dérivabilité d'une fonction somme, produit, inverse, quotient.
    • Fonctions composées : domaine de définition, dérivation.
    • Bijection : définition, dérivabilité de la réciproque.
  • Démonstrations

    • Citer deux définition parmi : fonction croissante, fonction décroissante, fonction paire, bijection.
    • Dérivabilité d'un produit. Citer le théorème et le prouver.
    • Calcul de la dérivée de la bijection réciproque \(f^{-1}\) en admettant sa dérivabilité.
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