Dérivation
- Rappels sur la dérivabilité, tangentes et demi-tangentes.
- Dérivée \(n\)-ième, formule de Leibniz.
- Théorème de Rolle, des accroissements finis.
- Théorème de continuité de la dérivée.
- Inégalité des accroissements finis, application à l'étude de suites récurrentes.
Applications linéaires
- Applications linéaires : exemples usuels.
- Application canoniquement associée à une matrice.
- Noyau : définition, lien avec l'injectivité, caractérisation par l'image d'une base.
- Image : surjectivité, famille génératrice de l'image.
- Structure de \(\Li(E)\) : composition, combinaison linéaire, réciproque. Composition en tant que ``multiplication''.
- Caractérisation des isomorphismes en dimension finie : image d'une base, injectivité ou surjectivité dans le cas où les deux dimensions sont connues.
Démonstrations
- Inégalité des accroissements finis. Savoir reconstruire la preuve.
- Une application linéaire est injective ssi son noyau est réduit au vecteur nul.
- La réciproque d'une application linéaire bijective est une application linéaire (bijective).
Khôlles
Colle 28
Espaces vectoriels
- Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
- Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
- Formule de changement de coordonnées.
Dénombrement
- Cardinal d'un ensemble.
- Pour une fonction entre ensemble finis, lien entre les cardinaux des ensembles et la possibilité d'être injective, surjective, bijective. Principe des tiroirs.
- Cardinal d'une union, d'un produit cartésien. Interprétation ensembliste.
- Cardinal de \(F^E\), l'ensemble des fonctions définies sur \(E\) et à valeurs dans \(F\).
- Cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble de n éléments dans lui même.
- Parties à \(p\) éléments d'un ensemble fini, coefficients binomiaux.
Dérivation
- Rappels sur la dérivabilité, tangentes et demi-tangentes.
- Dérivée \(n\)-ième, formule de Leibniz.
- Théorème de Rolle, des accroissements finis.
- Inégalité des accroissements finis, application à l'étude de suites récurrentes.
Démonstrations
- Savoir prouver qu'un plan donné par une équation et une droite donnée par un vecteur directeur sont supplémentaires dans \(\R^3\).
- Dérivabilité de \(\sin\) en \(a \in \R^*\) à partir de la dérivabilité en 0.
- Inégalité des accroissements finis.
Colle 27
Espaces vectoriels
- Espace vectoriels, exemples usuels.
- Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
- Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
- Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
- Théorème de la base incomplète.
- Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
- Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
- Rang d'une famille.
- Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
- Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
- Formule de changement de coordonnées.
Dénombrement
- Cardinal d'un ensemble.
- Pour une fonction entre ensemble finis, lien entre les cardinaux des ensembles et la possibilité d'être injective, surjective, bijective. Principe des tiroirs.
- Cardinal d'une union, d'un produit cartésien. Interprétation ensembliste.
- Cardinal de \(F^E\), l'ensemble des fonctions définies sur \(E\) et à valeurs dans \(F\).
- Cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble de n éléments dans lui même.
- Parties à \(p\) éléments d'un ensemble fini, coefficients binomiaux.
Démonstrations
- Savoir montrer qu'une famille de polynôme (dans \(\R_2[X]\)) est une base en montrant que sa matrice dans la base canonique est inversible.
- Savoir prouver qu'un plan donné par une équation et une droite donnée par un vecteur directeur sont supplémentaires dans \(\R^3\).
- Dérivabilité de \(\sin\) en \(a \in \R^*\) à partir de la dérivabilité en 0.
Sans titre
Espaces vectoriels
- Espace vectoriels, exemples usuels.
- Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
- Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
- Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
- Théorème de la base incomplète.
- Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
- Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
- Rang d'une famille.
- Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
- Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
- Formule de changement de coordonnées.
Démonstrations
- Si une famille est une base alors elle est libre et génératrice (énoncé du théorème complet).
- Définition de \(F + G\), montrer que c'est un espace vectoriel.
- Savoir montrer qu'une famille de polynôme (dans \(\R_2[X]\)) est une base en montrant que sa matrice dans la base canonique est inversible.
Sans titre
Fonctions continues
- Calcul de l'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone.
- Image d'un segment par une fonction continue.
- Rappels sur le calcul de développements limités, d'équivalents.
Espaces vectoriels
- Espace vectoriels, exemples usuels.
- Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
- Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
- Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
- Théorème de la base incomplète.
- Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
- Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
- Rang d'une famille.
- Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
Démonstrations
- Définitions : \(\Vect\), famille génératrice, famille libre (et savoir citer des exemples de familles qui le sont ou pas).
- Si une famille est une base alors elle est libre et génératrice (énoncé du théorème complet).
- Définition de \(F + G\), montrer que c'est un espace vectoriel.
Colle 24
Les seules méthodes exigibles cette semaine en algèbre linéaires sont :
déterminer une famille génératrice à partir d'une équation d'un sous-espace de \(\K^n\)
prouver qu'une famille est libre ou liée dans \(\K^n \ou \K[X]\)
Fonctions continues
- Limites des fonctions : définition, unicité.
- Théorèmes d'existence : encadrement, opérations, lien avec la monotonie.
- Fonctions continues : définition, prolongement par continuité.
- Théorème des valeurs intermédiaires (une fonction continue qui change de signe s'annule) et conséquences (image d'un intervalle).
- Calcul de l'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone.
- Image d'un segment par une fonction continue.
- Rappels sur le calcul de développements limités, d'équivalents.
Espaces vectoriels
- Espace vectoriels, exemples usuels.
- Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
- Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
Démonstrations
- Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty}{\ln(x)} = +\infty\).
- TVI : Donner les propriétés des suites \((a_n) \et (b_n)\) (un schéma suffit pour l'expliquer) puis prouver que \(f(c) = 0\).
- Définitions : \(\Vect\), famille génératrice, famille libre (et savoir citer des exemples de familles qui le sont ou pas).
Colle 23
Polynômes
- \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
- Divisibilité, division euclidienne.
- Racines des polynômes : définition, multiplicité, nombre maximal de racines en fonction du degré.
- Dérivation : formule de Taylor pour les polynômes, caractérisation de la multiplicité par l'annulation des dérivées successives.
- Théorème de d'Alembert-Gauss : factorisation dans \(\C[X]\).
- Racines des polynômes réels, factorisation dans \(\R[X]\).
Fonctions continues
- Limites des fonctions : définition, unicité.
- Théorèmes d'existence : encadrement, opérations, lien avec la monotonie.
- Fonctions continues : définition, prolongement par continuité.
- Théorème des valeurs intermédiaires (une fonction continue qui change de signe s'annule) et conséquences (image d'un intervalle).
Démonstrations
- Deux fonctions polynomiales égales sur un intervalle infini ont les mêmes coefficients.
- Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty}{\ln(x)} = +\infty\).
- TVI : Donner les propriétés des suites \((a_n) \et (b_n)\) (un schéma suffit pour l'expliquer) puis prouver que \(f(c) = 0\).
Colle 22
Pour les colles de lundi midi : la factorisation des polynômes dans \(\mathbb{R} \et \mathbb{C}\) n'est pas au programme. Elle l'est à partir de lundi 17H.
Polynômes
- \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
- Divisibilité, division euclidienne.
- Racines des polynômes : définition, multiplicité, nombre maximal de racines en fonction du degré.
- Dérivation : formule de Taylor pour les polynômes, caractérisation de la multiplicité par l'annulation des dérivées successives.
- Théorème de d'Alembert-Gauss : factorisation dans \(\C[X]\).
- Racines des polynômes réels, factorisation dans \(\R[X]\).
Démonstrations
- Enoncé des théorèmes du binôme de Newton et de factorisation \(A^n - B^n\) dans l'ensemble des polynômes.
- Unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de polynômes.
- Deux fonctions polynomiales égales sur un intervalle infini ont les mêmes coefficients.
Colle 21
Limites des suites
- Définitions de la convergence, des limites infinies pour une suite réelle.
- Lien entre l'existence de limite et le caractère majorée/minorée.
- Unicité de la limite d'une suite.
- Suites extraites : définition, caractérisation de la convergence par la convergence des suites des rangs pairs et impairs.
- Théorème d'encadrement
- Passage à la limite des inégalités
- Opérations sur les limites, composition d'une limite de suite par une limite de fonction.
- Théorème de limite monotone (limite finie ou infinie).
- Suites adjacentes.
- Croissances comparées, y compris pour \(n! \et n^n\).
- Extension aux suites complexes, étude des suites géométriques à raison complexes.
Polynôme
- \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
- Divisibilité, division euclidienne.
Démonstrations
- Enoncé du théorème de d'Alembert sur les suites et application à la détermination de la limite de \(\frac{n!}{n^n}\).
- Enoncé des théorèmes du binôme de Newton et de factorisation \(A^n - B^n\) dans l'ensemble des polynômes.
- Unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de polynômes.
Colle 20
Arithmétique des entiers naturels
- Diviseurs et multiples
- Division euclidienne d'entiers.
- pgcd, ppcm et algorithme d'Euclide
- Nombres premiers : décomposition en facteurs premiers.
Limites des suites
- Définitions de la convergence, des limites infinies pour une suite réelle.
- Lien entre l'existence de limite et le caractère majorée/minorée.
- Unicité de la limite d'une suite.
- Suites extraites : définition, caractérisation de la convergence par la convergence des suites des rangs pairs et impairs.
- Théorème d'encadrement
- Passage à la limite des inégalités
- Opérations sur les limites, composition d'une limite de suite par une limite de fonction.
- Théorème de limite monotone (limite finie ou infinie).
- Suites adjacentes.
- Croissances comparées, y compris pour \(n! \et n^n\).
Démonstrations
- Unicité du couple quotient/reste dans la division euclidienne d'entiers.
- Unicité de la limite finie d'une suite.
- Enoncé du théorème de d'Alembert sur les suites et application à la détermination de la limite de \(\frac{n!}{n^n}\).
Colle 19, pour la semaine 20
Nombres réels
- Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.
- Suites arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.
- Majorant, minorant, minimum, maximum d'une partie de \(\R\), de \(\N\).
- Bornes supérieures et inférieures.
- Toute partie non vide de \(\N\) possède un minimum. Toute partie non vide et majorée de \(\R\) possède une borne supérieure.
- Partie entière d'un réel.
Arithmétique des entiers naturels
- Diviseurs et multiples
- Division euclidienne d'entiers.
- pgcd, ppcm et algorithme d'Euclide
- Nombres premiers : décomposition en facteurs premiers.
Limites des suites
- Définitions de la convergence, des limites infinies pour une suite réelle.
- Lien entre l'existence de limite et le caractère majorée/minorée.
- Unicité de la limite d'une suite.
Démonstrations
- Unicité de la partie entière d'un réel.
- Unicité du couple quotient/reste dans la division euclidienne d'entiers.
- Unicité de la limite finie d'une suite.
Colle 18
Géométrie de l'espace
- Bases de l'espace, vecteurs coplanaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 3.
- Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
- Produit vectoriel : propriétés géométriques et algébriques.
- Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques. Caractérisation de l'orientation d'une base.
- Plan dans l'espace : bases, équation, vecteur normal.
- Droites dans l'espace : système d'équations
- Projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.
Nombres réels
- Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.
- Suites arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.
- Majorant, minorant, minimum, maximum d'une partie de \(\R\), de \(\N\).
- Bornes supérieures et inférieures.
- Toute partie non vide de \(\N\) possède un minimum. Toute partie non vide et majorée de \(\R\) possède une borne supérieure.
- Partie entière d'un réel.
Démonstrations
- L'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \(\vect{MA} . \vect{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
- Expression des coordonnées du produit vectoriel dans une BOND.
- Unicité de la partie entière d'un réel.
Colle 17
Les plans et droites de l'espace ne sont au programme qu'à partir de mardi.
Géométrie du plan
- Bases du plan, vecteurs colinéaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 2.
- Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
- Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques
- Droites du plan (\(A + \Vect(\vu)\)) : équation, vecteur normal.
- Cercles du plan : équation, lieu des solutions de \(\vect{MA} . \vect{MB}\).
Géométrie de l'espace
- Bases de l'espace, vecteurs coplanaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 3.
- Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
- Produit vectoriel : propriétés géométriques et algébriques.
- Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques. Caractérisation de l'orientation d'une base.
- Plan dans l'espace : bases, équation, vecteur normal.
- Droites dans l'espace : système d'équations
- Projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.
Démonstrations
- Si \(\D\) est une droite du plan alors \(\D\) possède une équation de la forme \(ax+by+c = 0\) avec \(a, b\) non tous les deux nuls.
- L'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \(\vect{MA} . \vect{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
- Expression des coordonnées du produit vectoriel dans une BOND.
Colle 16
Développements limités
- Opérations sur les DL : somme, produit, composition, inverse.
Géométrie du plan
- Bases du plan, vecteurs colinéaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 2.
- Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
- Déterminant : définition et propriétés géométriques, propriétés algébriques
- Droites du plan (\(A + \Vect(\vu)\)) : équation, vecteur normal.
- Cercles du plan : équation, lieu des solutions de \(\vect{MA} . \vect{MB}\).
Démonstrations
- \((\vu, \vv)\) est une base du plan ssi ces vecteurs sont non colinéaires.
- Enoncé de la bilinéarité du produit scalaire et preuve de \(\col{x}{y}{} . \col{x'}{y'}{} = xx' + yy'\).
- Si \(\D\) est une droite du plan alors \(\D\) possède une équation de la forme \(ax+by+c = 0\) avec \(a, b\) non tous les deux nuls.
Colle 15
La géométrie n'est présente que pour le cours. Les éventuels exercices ne pourront porter que sur une application directe.
Croissances comparées
- Equivalents usuels en 0.
- Théorème de croissances comparées.
Développements limités
- Définition, lien avec les équivalents.
- Développement de \(\inv{1 - x}, \inv{1 + x}\)
- Intégration terme à terme : DL de \(\ln, \arctan\).
- Théorème de Taylor-Young.
- Opérations sur les DL : somme, produit, composition, inverse.
Géométrie du plan
- Bases du plan, vecteurs colinéaires ou non. Lien avec l'inversibilité des matrices carrées de taille 2.
- Produit scalaire de 2 vecteurs : définition géométrique, interprétation dans le cas \(\|\vu\| = 1\), propriétés calculatoires.
Démonstrations
- Théorème de Taylor-Young : énoncé et application à \(\exp\).
- \((\vu, \vv)\) est une base du plan ssi ces vecteurs sont non colinéaires.
- Enoncé de la bilinéarité du produit scalaire et preuve de \(\col{x}{y}{} . \col{x'}{y'}{} = xx' + yy'\).
Colle 14
Croissances comparées
- Fonctions puissances entières : distinction de cas suivant le signe et la parité.
- Racine \(n\)ème d'un réel positif.
- Puissances réelles. Définition. Propriétés calculatoires.
- Etude des fonctions \(x \mapsto x^{\alpha}\). Positions relatives, continuité et dérivabilité en 0.
- Equivalence de fonctions : définition, utilisation pour le calcul de limites et la détermination du signe.
- Négligeabilité : définition, lien avec les équivalents.
- Equivalents usuels en 0.
- Théorème de croissances comparées.
Développements limités
- Définition, lien avec les équivalents.
- Développement de \(\inv{1 - x}, \inv{1 + x}\)
- Intégration terme à terme : DL de \(\ln, \arctan\).
- Théorème de Taylor-Young.
Démonstrations
- Citer des développements limités usuels (4 au choix du colleur : \(\exp, \ln, \sin, \cos, \sh, \ch, (1 + x)^{\alpha}, \inv{1 + x}\)).
- Pour \(\alpha, \beta > 0\), \((\ln(x))^{\beta} = o_{+\infty}(x^{\alpha})\) (preuve) et énoncé du théorème complet.
- Théorème de Taylor-Young : énoncé et application à \(\exp\).
Colle 13
Matrices
- Somme et produit de matrices : propriétés calculatoires.
- Interprétation par colonne du produit matriciel et écriture matricielle d'un système linéaire.
- Calcul de puissances de matrices
- Matrices inversibles : CNS d'inversibilité.
- Inversion en pratique de matrices.
Croissances comparées
- Fonctions puissances entières : distinction de cas suivant le signe et la parité.
- Racine \(n\)ème d'un réel positif.
- Puissances réelles. Définition. Propriétés calculatoires.
- Etude des fonctions \(x \mapsto x^{\alpha}\). Positions relatives, continuité et dérivabilité en 0.
- Equivalence de fonctions : définition, utilisation pour le calcul de limites et la détermination du signe.
- Négligeabilité : définition, lien avec les équivalents.
- Equivalents usuels en 0.
- Théorème de croissances comparées.
Démonstrations
- Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0 des fonctions \(f_{\alpha} : x \mapsto x^{\alpha}\) où \(\alpha \in \R\).
- Citer les équivalents usuels ou les développements correspondant.
- Pour \(\alpha, \beta > 0\), \((\ln(x))^{\beta} = o_{+\infty}(x^{\alpha})\) (preuve) et énoncé du théorème complet.
Colle 12
Equations différentielles linéaires
- Ordre 2 : Second membre de la forme \(Ae^{kx}\) avec \(A, k \in \C\) fixés.
- Principe de superposition, utilisation des complexes dans le cas d'un second membre trigonométrique (équation à coefficients réels).
- Problèmes de Cauchy d'ordre 2.
Matrices
- Somme et produit de matrices : propriétés calculatoires.
- Interprétation par colonne du produit matriciel et écriture matricielle d'un système linéaire.
- Calcul de puissances de matrices
- Matrices inversibles : CNS d'inversibilité.
- Inversion en pratique de matrices.
Démonstrations
- Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont inversibles alors \(A^{-1}\) et \(AB\) sont inversibles.
- Citer 5 CNS d'inversibilité pour une matrice. Interprétation en termes de systèmes linéaires le cas échéant.
- Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0 des fonctions \(f_{\alpha} : x \mapsto x^{\alpha}\) où \(\alpha \in \R\)
Colle 11
Note : la pratique de l'inversion de matrice n'est pas au programme cette semaine.
Equations différentielles linéaires
- Equation homogènes d'ordre 1.
- Méthode de variation de la constante.
- Principe de superposition, utilisation de l'exponentielle complexe en cas de coefficients réels.
- Equation homogène d'ordre 2 à coefficients constants : équation caractéristiques, solutions à valeurs complexes, à valeurs réelles.
- Second membre de la forme \(Ae^kx\) avec \(A, k \in \C\) fixés.
- Principe de superposition, utilisation des complexes dans le cas d'un second membre trigonométrique (équation à coefficients réels).
- Problèmes de Cauchy d'ordre 2.
Matrices
- Somme et produit de matrices : propriétés calculatoires.
- Interprétation par colonne du produit matriciel et écriture matricielle d'un système linéaire.
- Matrices inversibles : CNS d'inversibilité.
Démonstrations
- Théorème de résolution de \(y' + a(t)y = 0\).
- Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont inversibles alors \(A^{-1}\) et \(AB\) sont inversibles.
- Citer 5 CNS d'inversibilité pour une matrice.
Colle 10
Cette fois, les dates sont correctes...
Systèmes linéaires
- Système linéaire, matrice d'un système, matrice augmentée.
- Vecteurs de \(\K^p\), notation \(\Vect(U), \Vect(U_1, \dots, U_r)\).
- Résolution d'un système : algorithme du pivot de Gauss.
- Matrices échelonnées, réduites.
- Rang d'un système, inconnues principales et secondaires.
Equations différentielles linéaires
- Equation homogènes d'ordre 1.
- Méthode de variation de la constante.
- Principe de superposition, utilisation de l'exponentielle complexe en cas de coefficients réels.
- Equation homogène d'ordre 2 à coefficients constants : équation caractéristiques, solutions à valeurs complexes, à valeurs réelles.
Démonstrations
- Définition de matrice échelonnée et de matrice échelonnée réduite. Donner des exemples de matrices qui le sont ou non.
- Résoudre un système homogène à 2 équations et 3 inconnues, de rang 1 ou 2.
- Théorème de résolution \(y' + a(t)y = 0\).
Colle 9
Calcul d'intégrales
- Théorème fondamental : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et que \(a \in I\) alors \(x \mapsto \int_a^x{f(t) \d t}\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
- Intégration par parties.
- Changements de variables.
- Intégrales et primitives de fonctions de la forme \(t \mapsto \inv{P(t)}\) où \(P\) est polynomiale de degré 2.
Systèmes linéaires
- Système linéaire, matrice d'un système, matrice augmentée.
- Vecteurs de \(\K^p\), notation \(\Vect(U), \Vect(U_1, \dots, U_r)\).
- Résolution d'un système : algorithme du pivot de Gauss.
- Matrices échelonnées, réduites.
- Rang d'un système, inconnues principales et secondaires.
Démonstrations
- Pour \(z = a + ib\) avec \(a \in \R, b \in \R^*\), calculer une primitive de \(\inv{t - z}\).
- Définition de matrice échelonnée et de matrice échelonnée réduite. Donner des exemples de matrices qui le sont ou non.
- Résoudre un système homogène à 2 équations et 3 inconnues, de rang 1 ou 2.
Colle 8
Calcul d'intégrales
- Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\), de \(t \mapsto e^{\phi(t)}\) où \(\phi\) est à valeurs complexes.
- Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
- Primitives d'une fonction, primitives usuelles.
- Théorème fondamental : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et que \(a \in I\) alors \(x \mapsto \int_a^x{f(t) \d t}\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
- Intégration par parties.
- Changements de variables.
- Intégrales et primitives de fonctions de la forme \(t \mapsto \inv{P(t)}\) où \(P\) est polynomiale de degré 2.
Démonstrations
- Calcul de la dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\) fixé.
- Théorème d'intégration par parties
- Pour \(z = a + ib\) avec \(a \in \R, b \in \R^*\), calculer une primitive de \(\inv{t - z}\).
Colle 7
Complexes
- Résolution de \(az^2 + bz + c = 0\) d'inconnue et coefficients complexes.
- Relations coefficients-racines pour le degré 2.
Calcul d'intégrales
- Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\), de \(t \mapsto e^{\phi(t)}\) où \(\phi\) est à valeurs complexes.
- Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
- Primitives d'une fonction, primitives usuelles.
- Théorème fondamental : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et que \(a \in I\) alors \(x \mapsto \int_a^x{f(t) \d t}\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
- Intégration par parties.
Démonstrations
- Calcul sous forme algébrique des racines carrées d'un nombre complexe.
- Calcul de la dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\) fixé.
- Théorème d'intégration par parties
Colle 6
Attention, les colles de la semaine 7 (colle n°6) se déroulent pour une part avant les vacances et pour une part après.
Complexes
- Forme algébrique, rappels des propriétés de la conjugaison.
- Module et interprétation géométrique, inégalité triangulaire.
- Forme exponentielle d'un complexe non nul.
- Interprétation géométrique de la somme, la conjugaison, du produit par un nombre de module 1, par un réel strictement positif.
- Exponentielle d'un nombre complexe quelconque. Propriétés calculatoires.
- Racines nièmes de l'unité. Définition, somme, interprétation géométrique.
- Racines carrées sous forme algébrique.
- Résolution de \(az^2 + bz + c = 0\) d'inconnue et coefficients complexes.
- Relations coefficients-racines pour le degré 2.
Calcul d'intégrales
- Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, dérivée de \(t \mapsto e^{kt}\) pour \(k \in \C\), de \(t \mapsto e^{\phi(t)}\) où \(\phi\) est à valeurs complexes.
- Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
Démonstrations
- Inégalité triangulaire (pour \(z_1, z_2 \in \C\), \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)).
- Description des éléments de \(\U_n\), ie des solutions de \(z^n = 1\) d'inconnue \(z\) et pour \(n \ge 2\).
- Calcul sous forme algébrique des racines carrées d'un nombre complexe.
Colle 5
Trigonométrie
- Formules usuelles : addition, duplication, linéarisation (\(\sin(a)\sin(b)\dots\)).
- Exponentielle complexe : propriété fonctionnelle, formules de Moivre, Euler.
- Factorisation de \(e^{ip} \pm e^{iq}\) pour \(p, q \in \R\). Interprétation géométrique
- Trigonométrie réciproque : définition, dérivée, courbes de \(\arcsin, \arccos, \arctan\).
Complexes
- Forme algébrique, rappels des propriétés de la conjugaison.
- Module et interprétation géométrique, inégalité triangulaire.
- Forme exponentielle d'un complexe non nul.
- Interprétation géométrique de la somme, la conjugaison, du produit par un nombre de module 1, par un réel strictement positif.
Démonstrations
- Calcul de \(\sum\limits_{k = 0}^n{\cos(2kx)}\) pour \(x \ne k\pi\) pour tout \(k \in \Z\).
- Inégalité triangulaire (pour \(z_1, z_2 \in \C\), \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)).
- Description des éléments de \(\U_n\), ie des solutions de \(z^n = 1\) d'inconnue \(z\) et pour \(n \ge 2\).
Colle 4
Additions et multiplications
- Manipulation du symbole \(\Sigma\).
- Sommes classiques : \(\sum\limits_{k = 1}^n{k} \et \sum\limits_{k = 1}^n{k^2}\).
- Sommes télescopiques.
- Factorisation de \(a^n - b^n\).
- Sommes géométriques.
- Produits, transformation en somme via \(\ln\).
- Factorielle et coefficients binomiaux.
- Théorème du binôme de Newton.
- Rappels sur les règles de manipulation d'inégalités : somme, produit, inverse, fonctions monotones.
Trigonométrie
- Formules usuelles : addition, duplication, linéarisation (\(\sin(a)\sin(b)\dots\)).
- Exponentielle complexe : propriété fonctionnelle, formules de Moivre, Euler.
Démonstrations
- Formule de Pascal : \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}= \binom{n + 1}{k + 1}\).
- Hérédité dans la preuve du théorème du binôme.
- Calcul de \(\sum\limits_{k = 0}^n{\cos(2kx)}\) pour \(x \ne k\pi\) pour tout \(k \in \Z\)
Colle 3
Dérivation
- Prouver la bijectivité : théorème de la bijection (calcul de l'image par le TVI et stricte monotonie), calcul direct de la réciproque.
- Fonctions \(\ln \et \exp\).
- Etude des fonctions \(\ch \et \sh\). \(\ch^2 - \sh^2 = 1\).
- Etude de la fonction \(\tan\).
Additions et multiplications
- Manipulation du symbole \(\Sigma\).
- Sommes classiques : \(\sum\limits_{k = 1}^n{k} \et \sum\limits_{k = 1}^n{k^2}\).
- Sommes télescopiques.
- Factorisation de \(a^n - b^n\).
- Sommes géométriques.
- Produits, transformation en somme via \(\ln\).
- Factorielle et coefficients binomiaux.
- Théorème du binôme de Newton.
- Rappels sur les règles de manipulation d'inégalités : somme, produit, inverse, fonctions monotones.
Démonstrations
- Trouver l'expression en fonction de \(n \in \N\) de \(\sum\limits_{k = 1}^n{((k + 1)^3 - k^3)}\)
- Formule de Pascal : \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}= \binom{n + 1}{k + 1}\).
- Hérédité dans la preuve du théorème du binôme.
Colle 2
Dérivation
- Notation des ensembles, quantificateurs.
- Calcul du domaine de définition d'un procédé.
- Image d'une fonction.
- Dérivabilité d'une fonction somme, produit, inverse, quotient.
- Fonctions composées : domaine de définition, dérivation.
- Bijection : définition, dérivabilité de la réciproque.
- Prouver la bijectivité : théorème de la bijection (calcul de l'image par le TVI et stricte monotonie), calcul direct de la réciproque.
- Fonctions \(\ln \et \exp\).
- Etude des fonctions \(\ch \et \sh\). \(\ch^2 - \sh^2 = 1\).
- Etude de la fonction \(\tan\).
Démonstrations
- Citer deux définition parmi : fonction croissante, fonction décroissante, fonction paire, bijection.
- Calcul de la dérivée de la bijection réciproque \(f^{-1}\) en admettant sa dérivabilité. Citer le théorème au préalable.
- Trouver l'expression en fonction de \(n \in \N\) de \(\sum\limits_{k = 1}^n{((k + 1)^3 - k^3)}\)
Colle 1
En plus de la démonstration exigée, vous devez être capable d'énoncer correctement le résultat à prouver.
Dérivation
- Notation des ensembles, quantificateurs.
- Calcul du domaine de définition d'un procédé.
- Image d'une fonction.
- Dérivabilité d'une fonction somme, produit, inverse, quotient.
- Fonctions composées : domaine de définition, dérivation.
- Bijection : définition, dérivabilité de la réciproque.
Démonstrations
- Citer deux définition parmi : fonction croissante, fonction décroissante, fonction paire, bijection.
- Dérivabilité d'un produit. Citer le théorème et le prouver.
- Calcul de la dérivée de la bijection réciproque \(f^{-1}\) en admettant sa dérivabilité.