Pour les colles de lundi midi : la factorisation des polynômes dans \(\mathbb{R} \et \mathbb{C}\) n'est pas au programme. Elle l'est à partir de lundi 17H.

  • Polynômes

    • \(\K[X]\) : opérations, degré d'un polynôme, effet des opérations sur le degré.
    • Divisibilité, division euclidienne.
    • Racines des polynômes : définition, multiplicité, nombre maximal de racines en fonction du degré.
    • Dérivation : formule de Taylor pour les polynômes, caractérisation de la multiplicité par l'annulation des dérivées successives.
    • Théorème de d'Alembert-Gauss : factorisation dans \(\C[X]\).
    • Racines des polynômes réels, factorisation dans \(\R[X]\).
  • Démonstrations

    • Enoncé des théorèmes du binôme de Newton et de factorisation \(A^n - B^n\) dans l'ensemble des polynômes.
    • Unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de polynômes.
    • Deux fonctions polynomiales égales sur un intervalle infini ont les mêmes coefficients.