• Espaces vectoriels

    • Espace vectoriels, exemples usuels.
    • Sous-espaces : caractérisation, exemples usuels.
    • Espace engendré, familles génératrices, familles libres.
    • Bases : définition par les coordonnées, caractérisation, bases canoniques.
    • Théorème de la base incomplète.
    • Dimension d'un espace vectoriel, caractérisation des bases par la cardinal et la liberté ou le caractère générateur.
    • Dimension des espaces de référence, dimension d'un sous espace.
    • Rang d'une famille.
    • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
    • Matrice d'une famille dans une base. Lien entre les propriétés de la famille et celles de la matrice.
    • Formule de changement de coordonnées.
  • Dénombrement

    • Cardinal d'un ensemble.
    • Pour une fonction entre ensemble finis, lien entre les cardinaux des ensembles et la possibilité d'être injective, surjective, bijective. Principe des tiroirs.
    • Cardinal d'une union, d'un produit cartésien. Interprétation ensembliste.
    • Cardinal de \(F^E\), l'ensemble des fonctions définies sur \(E\) et à valeurs dans \(F\).
    • Cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble de n éléments dans lui même.
    • Parties à \(p\) éléments d'un ensemble fini, coefficients binomiaux.
  • Démonstrations

    • Savoir montrer qu'une famille de polynôme (dans \(\R_2[X]\)) est une base en montrant que sa matrice dans la base canonique est inversible.
    • Savoir prouver qu'un plan donné par une équation et une droite donnée par un vecteur directeur sont supplémentaires dans \(\R^3\).
    • Dérivabilité de \(\sin\) en \(a \in \R^*\) à partir de la dérivabilité en 0.