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Colle 23

Il s'agit de la dernière colle de l'année ! Reprise des oraux après les écrits...

  • Espaces préhilbertiens réels

    • Matrice d'une isométrie dans une base orthonormée.
    • Matrice orthogonale et symétrique : ce sont des matrices de symétrie orthogonales.
    • Isométries du plan, reconnaître les matrices dans une base orthonormée.
    • Isométries de l'espace. Reconnaître les rotations, réflexions et opposés de rotation.
  • Compléments sur les équations différentielles

    • Rappels sur les techniques de première année : équation linéaire d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
    • Théorème de Cauchy pour les équations d'ordre 2 (à coefficients continus), description de l'ensemble des solutions.
    • Recherche de solutions développables en série entière.
    • Méthode de variation de la constante pour trouver une deuxième solution de l'équation homogène.
    • Système différentiel à coefficients constants : théorème de Cauchy et ensemble des solutions. Résolution dans le cas où la matrice est diagonalisable.
  • Théorème spectral

    • Diagonalisation des matrices symétriques réelles.
    • Application à la réduction d'équation de coniques : savoir tracer la conique une fois l'équation réduite.
    • Application à la recherche d'extrema des fonctions de deux variables. Matrice hessienne, caractérisation des extrema locaux et points selles en fonction des signes du déterminant et de la trace.
  • Questions de cours

    • Résolution d'un système linéaire de taille 2, homogène, de matrice diagonalisable.
    • Tracer la conique d'équation \(3x^2 + 4xy + 3y^2 = 1\).
    • Citer le théorème de caractérisation des extrema locaux en fonction de la matrice hessienne en un point critique.

Colle 22 pour la semaine 24

  • Espaces préhilbertiens réels

    • Produit scalaire sur un \(\R\)-espace vectoriel, exemples classiques.
    • Norme, propriétés (identité du parallélogramme, Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire).
    • Familles orthogonales et orthonormales. Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls, théorème de Pythagore.
    • Bases orthonormales : calcul de coordonnées par produit scalaire, de produit scalaire en fonction des coordonnées.
    • Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
    • Orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale, symétrie orthogonale.
    • Calcul de projection quand on dispose d'une base orthonormée.
    • Isométries : définition, caractérisation par l'image d'une base orthonormée.
    • Composition et réciproque d'une isométrie
    • Matrices orthogonales : caractérisations, reconnaissance en pratique (les colonnes forment un base orthonormée).
    • Matrice d'une isométrie dans une base orthonormée.
    • Matrice orthogonale et symétrique : ce sont des matrices de symétrie orthogonales.
    • Isométries du plan, reconnaître les matrices dans une base orthonormée.
    • Isométries de l'espace. Reconnaître les rotations, réflexions et opposés de rotation.
  • Compléments sur les équations différentielles

    • Rappels sur les techniques de première année : équation linéaire d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
    • Théorème de Cauchy pour les équations d'ordre 2 (à coefficients continus), description de l'ensemble des solutions.
    • Recherche de solutions développables en série entière.
    • Méthode de variation de la constante pour trouver une deuxième solution de l'équation homogène.
    • Système différentiel à coefficients constants : théorème de Cauchy et ensemble des solutions. Résolution dans le cas où la matrice est diagonalisable.
  • Questions de cours

    • Pour \(f \in \Li(E)\), \(\forall (x, y) \in E\ (x | y) = (f(x) | f(y))\) ssi \(\forall x \in E \ \|f(x)\| = \|x\|\).
    • Savoir appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt sur une base de \(\R^3\) munit du produit scalaire canonique.
    • Résolution d'un système linéaire de taille 2, homogène, de matrice diagonalisable.

Colle 21, semaine 23

  • Espaces préhilbertiens réels

    • Produit scalaire sur un \(\R\)-espace vectoriel, exemples classiques.
    • Norme, propriétés (identité du parallélogramme, Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire).
    • Familles orthogonales et orthonormales. Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls, théorème de Pythagore.
    • Bases orthonormales : calcul de coordonnées par produit scalaire, de produit scalaire en fonction des coordonnées.
    • Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
    • Orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale, symétrie orthogonale.
    • Calcul de projection quand on dispose d'une base orthonormée.
    • Isométries : définition, caractérisation par l'image d'une base orthonormée.
    • Composition et réciproque d'une isométrie
    • Matrices orthogonales : caractérisations, reconnaissance en pratique (les colonnes forment un base orthonormée).
    • Matrice d'une isométrie dans une base orthonormée.
    • Matrice orthogonale et symétrique : ce sont des matrices de symétrie orthogonales.
  • Questions de cours

    • Prouver que \(\phi : (A, B) \mapsto \tr(\T{}AB)\) définie sur \(\M_n(\R)^2\) est un produit scalaire.
    • Pour \(f \in \Li(E)\), \(\forall (x, y) \in E\ (x | y) = (f(x) | f(y))\) ssi \(\forall x \in E \ \|f(x)\| = \|x\|\).
    • Savoir appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt sur une base de \(\R^3\) munit du produit scalaire canonique.

Colle 20, semaine 22

  • Intégrales à paramètres

    • Continuité des intégrales à paramètres.
    • Classe \(\Co^1\), extension à la classe \(\Co^2\).
    • Les dominations locales sont au programme seulement avec indication.
  • Espaces préhilbertiens réels

    • Produit scalaire sur un \(\R\)-espace vectoriel, exemples classiques.
    • Norme, propriétés (identité du parallélogramme, Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire).
    • Familles orthogonales et orthonormales. Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls, théorème de Pythagore.
  • Questions de cours

    • Citer le théorème de continuité des intégrales à paramètres
    • Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres.
    • Prouver que \(\phi : (A, B) \mapsto \tr(\T{}AB)\) définie sur \(\M_n(\R)^2\) est un produit scalaire.

Colle 19, semaine 20

Attention, pas de colle la semaine du 19 au 23/02 pour cause de concours blanc.

  • Fonctions de plusieurs variables

    • Boules ouvertes et fermées, parties ouvertes, fermées.
    • Continuité des fonctions \(A \subset \R^p \to \R^n\) : l'étude des prolongements n'est pas un objectif.
    • Dérivées partielles, classe \(\Co^1\), développement limité à l'ordre 1.
    • Gradient, point critiques, recherche d'extrema dans un ouverts (pas de matrice hessienne).
    • Dérivée composée, application à la résolution de certaines EDP.
    • Classe \(\Co^2\) et théorème de Schwarz.
  • Intégrales à paramètres

    • Continuité des intégrales à paramètres.
    • Classe \(\Co^1\), extension à la classe \(\Co^2\).
    • Les dominations locales sont au programme seulement avec indication.
  • Questions de cours

    • Résoudre \(\der{f}{x} - \der{f}{y} = 1\) en posant \(u = x + y \et v = x - y\).
    • Citer le théorème de continuité des intégrales à paramètres
    • Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres.

Colle 18, semaine 19

  • Géométrie du plan et de l'espace : rappels de PTSI

    • Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel : rappel des propriétés et utilisations géométriques.
    • Bases orthonormées du plan et de l'espace.
    • Droites de \(\R^2\) : différentes représentation.
    • Droites et plans dans \(\R^3\) : idem.
    • Calculs de projetés orthogonaux, de symétriques.
    • Cercles : équation, tangente, intersection.
    • Rotations dans le plan : matrice et expression via les complexes.
    • Rotation dans l'espace : expression de la matrice dans une base orthonormée adaptée. Pas encore de calcul d'angle étant donnée une matrice.
  • Fonctions de plusieurs variables

    • Boules ouvertes et fermées, parties ouvertes, fermées.
    • Continuité des fonctions \(A \subset \R^p \to \R^n\) : l'étude des prolongements n'est pas un objectif.
    • Dérivées partielles, classe \(\Co^1\), développement limité à l'ordre 1.
    • Gradient, point critiques, recherche d'extrema dans un ouverts (pas de matrice hessienne).
    • Dérivée composée, application à la résolution de certaines EDP.
    • Classe \(\Co^2\) et théorème de Schwarz.
  • Questions de cours

    • Expression de la matrice de la rotation vectorielle d'angle \(\theta\) dans la base canoniques de \(\R^2\). Preuve par les complexes.
    • Etant donnée une droite de \(\R^3\) sous forme \(D = \Vect(u)\), construire une base orthonormée directe dont le premier vecteur a même direction et même sens que \(u\) et donner la matrice (dans cette base) de la rotation d'angle \(\theta\) et d'axe \(D\) orienté par \(u\).
    • Résoudre \(\der{f}{x} - \der{f}{y} = 1\) en posant \(u = x + y \et v = x - y\).

Colle 17 pour la semaine 18

  • Probabilités discrètes

    • Variables d'espérance finie, propriété de l'espérance. Espérance d'un produit de variables indépendantes.
    • Variance : définition, variance de aX + b
    • Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
  • Géométrie du plan et de l'espace : rappels de PTSI

    • Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel : rappel des propriétés et utilisations géométriques.
    • Bases orthonormées du plan et de l'espace.
    • Droites de \(\R^2\) : différentes représentation.
    • Droites et plans dans \(\R^3\) : idem.
    • Calculs de projetés orthogonaux, de symétriques.
    • Cercles : équation, tangente, intersection.
    • Rotations dans le plan : matrice et expression via les complexes.
    • Rotation dans l'espace : expression de la matrice dans une base orthonormée adaptée. Pas encore de calcul d'angle étant donnée une matrice.
  • Questions de cours

    • Calcul de l'espérance d'une loi géométrique (avec la preuve de convergence absolue).
    • Expression de la matrice de la rotation vectorielle d'angle \(\theta\) dans la base canoniques de \(\R^2\). Preuve par les complexes.
    • Etant donnée une droite de \(\R^3\) sous forme \(D = \Vect(u)\), construire une base orthonormée directe dont le premier vecteur a même direction et même sens que \(u\) et donner la matrice (dans cette base) de la rotation d'angle \(\theta\) et d'axe \(D\) orienté par \(u\).

Colle 16 pour la semaine 17

  • Probabilités sur un univers fini

    • Probabilités, probabilité conditionnelle.
    • Formule des probabilités totales, des probabilités composées, de Bayes.
    • Evénements indépendants et variables indépendantes.
    • Loi des variables aléatoires, loi binomiale.
    • Espérance et variance.
  • Probabilités discrètes

    • Ensembles dénombrables : quelques exemples. En pratique, on peut les écrire \(\{x_n|\ n \in \N\}\).
    • Espaces probabilisés, propriétés des probabilités.
    • Probabilités conditionnelles, extension des formules de 1ère année.
    • Limite croissante ou décroissante.
    • Variables aléatoires discrètes. Loi géométrique et de Poisson.
    • Loi conjointe, variables indépendantes.
    • Variables d'espérance finie, propriété de l'espérance. Espérance d'un produit de variables indépendantes.
    • Variance : définition, variance de aX + b
    • Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
  • Questions de cours

    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).
    • Calcul de l'espérance d'un loi géométrique (avec la preuve de convergence absolue).

Colle 15, semaine 16

  • Séries entières

    • Propriété de la fonction somme sur l'intervalle \(]-R, R[\) : continuité, intégration terme à terme, dérivabilité.
    • Unicité des coefficients dans le cas d'un rayon non nul.
    • Fonctions développables en série entière, développements usuels.
  • Probabilités sur un univers fini

    • Probabilités, probabilité conditionnelle.
    • Formule des probabilités totales, des probabilités composées, de Bayes.
    • Evénements indépendants et variables indépendantes.
    • Loi des variables aléatoires, loi binomiale.
    • Espérance et variance.
  • Probabilités discrètes

    • Ensembles dénombrables : quelques exemples. En pratique, on peut les écrire \(\{x_n|\ n \in \N\}\).
    • Espaces probabilisés, propriétés des probabilités.
    • Probabilités conditionnelles, extension des formules de 1ère année.
    • Limite croissante ou décroissante.
    • Variables aléatoires discrètes. Loi géométrique et de Poisson.
    • Loi conjointe, variables indépendantes.
  • Questions de cours

    • Donner au choix de l'examinateur deux formules de DSE (avec le rayon) parmi \(\inv{1-x}, \ln(1+x), e^x, \cos(x), \sin(x), \ch(x), \sh(x), (1 + x)^{\alpha}\). Savoir prouver le développement de \(\ln(1+x)\).
    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).

Colle 14, semaine 15

  • Séries entières

    • Séries de référence : séries géométrique et exponentielle.
    • Rayon de convergence d'une série entière.
    • Calcul en pratique : lien avec la convergence absolue ou la divergence grossière. Utilisation d'équivalents, d'Alembert (à appliquer à une série numérique).
    • Le rayon de convergence des séries \(\sum{a_nz^n} \et \sum{na_nz^n}\) sont égaux.
    • Propriété de la fonction somme sur l'intervalle \(]-R, R[\) : continuité, intégration terme à terme, dérivabilité.
    • Unicité des coefficients dans le cas d'un rayon non nul.
    • Fonctions développables en série entière, développements usuels.
  • Probabilités sur un univers fini

    • Probabilités, probabilité conditionnelle.
    • Formule des probabilités totales, des probabilités composées, de Bayes.
    • Evénements indépendants et variables indépendantes.
    • Loi des variables aléatoires, loi binomiale.
    • Espérance et variance.
  • Questions de cours

    • Lemme d'Abel.
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum\limits_{n \ge 0}{\binom{2n}{n}z^n}\).
    • Donner au choix de l'examinateur deux formules de DSE (avec le rayon) parmi \(\inv{1-x}, \ln(1+x), e^x, \cos(x), \sin(x), \ch(x), \sh(x), (1 + x)^{\alpha}\). Savoir prouver le développement de \(\ln(1+x)\).

Colle 13, semaine 14

  • Diagonalisation

    • Définition de vecteur propre et valeur propre (pour un endomorphisme ou une matrice).
    • Espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
    • Polynômes caractéristiques. Savoir retrouver la trace et le déterminant dans les coefficients.
    • Inégalité entre la dimension d'un espace propre et la multiplicité de la racine du polynôme caractéristique.
    • Les espaces propres de \(f\) sont stables par \(f\). Si \(f \et g\) commutent, les espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
    • Endomorphismes et matrices diagonalisables.
    • CNS de diagonalisabilité : il existe une base de vecteurs propres, la somme directe des espaces propres est \(E\), \(\chi\) est scindé et dimension des espace propres = multiplicités des racines.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Application au calcul de puissances, aux suites récurrentes linéaires d'ordre \(\ge 3\).
    • Trigonalisation (il faut des indications pour la pratique) : si \(\chi\) est scindé, l'endomorphisme est trigonalisable.
    • Trace et déterminant en fonctions des valeurs propres (éventuellement complexes).
  • Séries entières

    • Séries de référence : séries géométrique et exponentielle.
    • Rayon de convergence d'une série entière.
    • Calcul en pratique : lien avec la convergence absolue ou la divergence grossière. Utilisation d'équivalents, d'Alembert (à appliquer à une série numérique).
    • Le rayon de convergence des séries \(\sum{a_nz^n} \et \sum{na_nz^n}\) sont égaux.
  • Questions de cours

    • Soient \(f, g \in \Li(E)\) tels que \(f \circ g = g \circ f\). Alors \(\ker(f) \et \im(f)\) sont stables par \(g\).
    • Lemme d'Abel.
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum\limits_{n \ge 0}{\binom{2n}{n}z^n}\).

Colle 12

  • Séries numériques

    • Séries absolument convergentes.
    • Produit de Cauchy.
  • Diagonalisation

    • Définition de vecteur propre et valeur propre (pour un endomorphisme ou une matrice).
    • Espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
    • Polynômes caractéristiques. Savoir retrouver la trace et le déterminant dans les coefficients.
    • Inégalité entre la dimension d'un espace propre et la multiplicité de la racine du polynôme caractéristique.
    • Les espaces propres de \(f\) sont stables par \(f\). Si \(f \et g\) commutent, les espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
    • Endomorphismes et matrices diagonalisables.
    • CNS de diagonalisabilité : il existe une base de vecteurs propres, la somme directe des espaces propres est \(E\), \(\chi\) est scindé et dimension des espace propres = multiplicités des racines.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Application au calcul de puissances, aux suites récurrentes linéaires d'ordre \(\ge 3\).
    • Trigonalisation (il faut des indications pour la pratique) : si \(\chi\) est scindé, l'endomorphisme est trigonalisable.
    • Trace et déterminant en fonctions des valeurs propres (éventuellement complexes).
  • Questions de cours

    • On note \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a,b \in \C\ f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Soient \(\lambda \in \K\) et \(A \in \M_n(\K)\). \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) ssi \(\chi_A(\lambda) = 0\).
    • Soient \(f, g \in \Li(E)\) tels que \(f \circ g = g \circ f\). Alors \(\ker(f) \et \im(f)\) sont stables par \(g\).

Colle 11, semaine 12

  • Séries numériques

    • Convergence d'une série, divergence grossière.
    • Séries de référence : géométriques, Riemann.
    • Comparaison des séries à termes positifs.
    • Règle de d'Alembert.
    • Comparaison intégrale-série.
    • Séries absolument convergentes.
    • Produit de Cauchy.
  • Diagonalisation

    • Définition de vecteur propre et valeur propre (pour un endomorphisme ou une matrice).
    • Espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
    • Polynômes caractéristiques.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(u_n = -\ln(n) + \sum_{k = 1}^n{\inv{k}}\) converge en étudiant la convergence de \(\sum{(u_{n} - u_{n - 1})}\).
    • On note \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a,b \in \C\ f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Soient \(\lambda \in \K\) et \(A \in \M_n(\K)\). \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) ssi \(\chi_A(\lambda) = 0\).

Colle 10, semaine 11

  • Matrices carrées

    • Rang et inversibilité des matrices.
    • Matrices particulières : symétriques, triangulaires, diagonales.
    • Trace d'une matrice carrée, \(\tr(AB) = \tr(BA)\). Linéarité de la trace.
    • trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effet des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminants triangulaires.
    • Caractérisation de l'inversibilité.
    • Invariance par transposition, opérations sur les lignes.
    • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
    • Déterminant d'un produit.
    • Déterminant d'un endomorphisme. Caractérisation de la bijectivité.
  • Séries numériques

    • Convergence d'une série, divergence grossière.
    • Séries de référence : géométriques, Riemann.
    • Comparaison des séries à termes positifs.
    • Règle de d'Alembert.
    • Comparaison intégrale-série
  • Questions de cours

    • \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Montrer que \(u_n = -\ln(n) + \sum_{k = 1}^n{\inv{k}}\) converge en étudiant la convergence de \(\sum{(u_{n} - u_{n - 1})}\).

Colle 9, semaine 10

  • Matrices carrées

    • Rang et inversibilité des matrices.
    • Matrices particulières : symétriques, triangulaires, diagonales.
    • Trace d'une matrice carrée, \(\tr(AB) = \tr(BA)\). Linéarité de la trace.
    • trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effet des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminants triangulaires.
    • Caractérisation de l'inversibilité.
    • Invariance par transposition, opérations sur les lignes.
    • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
    • Déterminant d'un produit.
    • Déterminant d'un endomorphisme. Caractérisation de la bijectivité.
  • Questions de cours

    • Pour \(\beta > 0\), donner le lien entre \(\Gamma(\beta + 1) \et \Gamma(\beta)\) où \(\Gamma(\beta) = \int\limits_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\). Savoir prouver une des deux convergence, au choix de l'examinateur.
    • \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)

Colle 8, semaine 9

  • Intégration

    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité.
    • Convergence par comparaison pour les fonctions positives.
    • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes.
    • Changement de variables
    • Intégration par parties.
  • Matrices carrées

    • Rang et inversibilité des matrices.
    • Matrices particulières : symétriques, triangulaires, diagonales.
    • Trace d'une matrice carrée, \(\tr(AB) = \tr(BA)\)
  • Questions de cours

    • Citer le théorème de convergence par comparaison. ainsi que le théorème de croissances comparées.
    • Pour \(\beta > 0\), donner le lien entre \(\Gamma(\beta + 1) \et \Gamma(\beta)\) où \(\Gamma(\beta) = \int\limits_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\). Savoir prouver une des deux convergence, au choix de l'examinateur.
    • \(\tr(AB) = \tr(BA)\).

Colle 7, semaine 8

  • Intégration

    • Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
    • Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité.
    • Convergence par comparaison pour les fonctions positives.
    • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes.
    • Changement de variables
    • Intégration par parties.
  • Questions de cours

    • Convergence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}{\inv{t^2 + 1}\d t} \et \int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}\).
    • \(\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha > 1\) (preuve en deux parties dans le cours).
    • Citer le théorème de convergence par comparaison. ainsi que le théorème de croissances comparées.

Colle 6 pour la semaine 7

En cve qui concerne les intégrales convergentes, seules les questions de cours sont au programme. Les exercices peuvent porter sur les intégrales de 1ère année ou les espaces vectoriels.

  • Espace vectoriels

    • Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
    • Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, automorphismes.
    • Equations linéaires : forme de l'ensemble des solutions.
    • Bases : familles libres et génératrices en dimension quelconques. Rappels sur la dimension finie.
    • Espaces supplémentaires, théorème de Grassman.
    • Hyperplans : équation d'un hyperplan dans une base.
    • Projection et symétrie : définition générale, interprétation géométrique dans le plan. Lien avec le calcul des coordonnées dans une base.
    • Espaces en somme directe. Définition, caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul comme somme. Bases adaptées à une somme directe.
    • Matrice d'un application linéaire, changement de base. Matrices semblables.
    • Espaces stable, effet sur les matrices.
  • Intégration

    • Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
    • Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité
  • Questions de cours

    • Prouver qu'une matrice donnée de taille 2 ou 3 est une matrice de projection et calculer les éléments caractéristiques (sur quoi ? parallèlement à quoi ?).
    • Convergence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}{\inv{t^2 + 1}\d t} \et \int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}\).
    • \(\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha > 1\) (preuve en deux parties dans le cous).

Colle 5

  • Espace vectoriels

    • Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
    • Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, automorphismes.
    • Equations linéaires : forme de l'ensemble des solutions.
    • Bases : familles libres et génératrices en dimension quelconques. Rappels sur la dimension finie.
    • Espaces supplémentaires, théorème de Grassman.
    • Hyperplans : équation d'un hyperplan dans une base.
    • Projection et symétrie : définition générale, interprétation géométrique dans le plan. Lien avec le calcul des coordonnées dans une base.
    • Espaces en somme directe. Définition, caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul comme somme. Bases adaptées à une somme directe.
    • Matrice d'un application linéaire, changement de base. Matrices semblables.
    • Espaces stable, effet sur les matrices.
  • Questions de cours

    • Interpolation de Lagrange : l'application \(P \mapsto (P(a_0), \dots,P(a_n) )\) est un isomorphisme de \(\K_n[X]\) dans \(\K^{n + 1}\).
    • Donner un exemple de deux espaces supplémentaires dans \(\R^3\) et le prouver.
    • Prouver qu'une matrice donnée de taille 2 ou 3 est une matrice de projection et calculer les éléments caractéristiques (sur quoi ? parallèlement à quoi ?).

Colle 4

  • Courbes paramétrées

    • Repère de Frenet, détermination angulaire et courbure (par la formule de Frenet).
    • Courbe développée d'une courbe birégulière
    • Enveloppe d'une famille de droites données par un point et un vecteur directeur.
    • Développée en tant qu'enveloppe des normales.
  • Espace vectoriels

    • Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
    • Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, automorphismes.
    • Equations linéaires : forme de l'ensemble des solutions.
    • Bases : familles libres et génératrices en dimension quelconques. Rappels sur la dimension finie.
    • Espaces supplémentaires, théorème de Grassman.
  • Questions de cours

    • Si \(f \in \Li(E, F)\) et \(H\) est un sous-espace de \(F\) alors \(f^{-1}(H)\) est un sous espace de \(E\). Faire le lien avec \(\ker(f)\).
    • Interpolation de Lagrange : l'application \(P \mapsto (P(a_0), \dots,P(a_n) )\) est un isomorphisme de \(\K_n[X]\) dans \(\K^{n + 1}\).
    • Donner un exemple de deux espaces supplémentaires dans \(\R^3\) et le prouver.

Colle 3 pour la semaine 4

  • Courbes paramétrées

    • Etude complète des courbes en cartésiennes (dont branches infinies, point de rebroussement, points doubles)
    • Longueur entre deux point d'une courbe.
    • Abscisse curviligne pour les courbes régulières, paramétrisation par celle-ci.
    • Repère de Frenet, détermination angulaire et courbure (par la formule de Frenet).
    • Courbe développée d'une courbe birégulière
    • Enveloppe d'une famille de droites données par un point et un vecteur directeur.
    • Développée en tant qu'enveloppe des normales.
  • Espace vectoriels

    • Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
  • Questions de cours

    • Dérivabilité et dérivée de \(\|f\|\) où \(f \in \Co^1(I, \R^2)\).
    • Etude locale : définition des entiers \(p \et q\) et allure de la courbe suivant leurs parités (sans preuve pour l'allure).
    • Si \(f \in \Li(E, F)\) et \(H\) est un sous-espace de \(F\) alors \(f^{-1}(H)\) est un sous espace de \(E\). Faire le lien avec \(\ker(f)\).

Colle 2

  • Analyse de sup

    voir le programme précédent

  • Courbes paramétrées

    • Continuité, dérivabilité, classe d'une fonction à valeurs dans \(\R^p\)

    • Dérivée d'un produit scalaire de fonctions, d'un produit vectoriel

    • Courbes dans \(\R^2\) : étude et tracé, y compris les branches infinies et les points singuliers.

  • Questions de cours

    • Courbe, dérivabilité et dérivée de arcsin

    • Dérivabilité et dérivée de \(\|f\|\) où \(f \in \Co^1(I, \R^2)\)

    • Etude locale : définition des entiers \(p \et q\) et allure de la courbe suivant leurs parités

Colle 1

  • Analyse de sup

    • Croissances comparées, équivalent, négligeable.
    • Continuité : existence et calcul de limites, TVI, image d'un segment, bijection réciproque.
    • Dérivabilité : bijection réciproque, accroissements finis, prolongement \(\Co^1\).
    • Taylor-Young et développements limités, inégalité de Taylor-Lagrange.
  • Questions de cours

    • Citer l'inégalité des accroissements finis et appliquer sur un segment \([0, x]\) à une fonction usuelle.
    • Retrouver le DL d'arctan à tout ordre.
    • Courbe, dérivabilité et dérivée de \(\arcsin\).