Colle 23
Il s'agit de la dernière colle de l'année ! Reprise des oraux après les écrits...
Espaces préhilbertiens réels
- Matrice d'une isométrie dans une base orthonormée.
- Matrice orthogonale et symétrique : ce sont des matrices de symétrie orthogonales.
- Isométries du plan, reconnaître les matrices dans une base orthonormée.
- Isométries de l'espace. Reconnaître les rotations, réflexions et opposés de rotation.
Compléments sur les équations différentielles
- Rappels sur les techniques de première année : équation linéaire d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
- Théorème de Cauchy pour les équations d'ordre 2 (à coefficients continus), description de l'ensemble des solutions.
- Recherche de solutions développables en série entière.
- Méthode de variation de la constante pour trouver une deuxième solution de l'équation homogène.
- Système différentiel à coefficients constants : théorème de Cauchy et ensemble des solutions. Résolution dans le cas où la matrice est diagonalisable.
Théorème spectral
- Diagonalisation des matrices symétriques réelles.
- Application à la réduction d'équation de coniques : savoir tracer la conique une fois l'équation réduite.
- Application à la recherche d'extrema des fonctions de deux variables. Matrice hessienne, caractérisation des extrema locaux et points selles en fonction des signes du déterminant et de la trace.
Questions de cours
- Résolution d'un système linéaire de taille 2, homogène, de matrice diagonalisable.
- Tracer la conique d'équation \(3x^2 + 4xy + 3y^2 = 1\).
- Citer le théorème de caractérisation des extrema locaux en fonction de la matrice hessienne en un point critique.
Le 30/03/18 par M. Louatron
Colle 22 pour la semaine 24
Espaces préhilbertiens réels
- Produit scalaire sur un \(\R\)-espace vectoriel, exemples classiques.
- Norme, propriétés (identité du parallélogramme, Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire).
- Familles orthogonales et orthonormales. Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls, théorème de Pythagore.
- Bases orthonormales : calcul de coordonnées par produit scalaire, de produit scalaire en fonction des coordonnées.
- Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
- Orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale, symétrie orthogonale.
- Calcul de projection quand on dispose d'une base orthonormée.
- Isométries : définition, caractérisation par l'image d'une base orthonormée.
- Composition et réciproque d'une isométrie
- Matrices orthogonales : caractérisations, reconnaissance en pratique (les colonnes forment un base orthonormée).
- Matrice d'une isométrie dans une base orthonormée.
- Matrice orthogonale et symétrique : ce sont des matrices de symétrie orthogonales.
- Isométries du plan, reconnaître les matrices dans une base orthonormée.
- Isométries de l'espace. Reconnaître les rotations, réflexions et opposés de rotation.
Compléments sur les équations différentielles
- Rappels sur les techniques de première année : équation linéaire d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
- Théorème de Cauchy pour les équations d'ordre 2 (à coefficients continus), description de l'ensemble des solutions.
- Recherche de solutions développables en série entière.
- Méthode de variation de la constante pour trouver une deuxième solution de l'équation homogène.
- Système différentiel à coefficients constants : théorème de Cauchy et ensemble des solutions. Résolution dans le cas où la matrice est diagonalisable.
Questions de cours
- Pour \(f \in \Li(E)\), \(\forall (x, y) \in E\ (x | y) = (f(x) | f(y))\) ssi \(\forall x \in E \ \|f(x)\| = \|x\|\).
- Savoir appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt sur une base de \(\R^3\) munit du produit scalaire canonique.
- Résolution d'un système linéaire de taille 2, homogène, de matrice diagonalisable.
Le 25/03/18 par M. Louatron
Colle 21, semaine 23
Espaces préhilbertiens réels
- Produit scalaire sur un \(\R\)-espace vectoriel, exemples classiques.
- Norme, propriétés (identité du parallélogramme, Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire).
- Familles orthogonales et orthonormales. Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls, théorème de Pythagore.
- Bases orthonormales : calcul de coordonnées par produit scalaire, de produit scalaire en fonction des coordonnées.
- Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
- Orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale, symétrie orthogonale.
- Calcul de projection quand on dispose d'une base orthonormée.
- Isométries : définition, caractérisation par l'image d'une base orthonormée.
- Composition et réciproque d'une isométrie
- Matrices orthogonales : caractérisations, reconnaissance en pratique (les colonnes forment un base orthonormée).
- Matrice d'une isométrie dans une base orthonormée.
- Matrice orthogonale et symétrique : ce sont des matrices de symétrie orthogonales.
Questions de cours
- Prouver que \(\phi : (A, B) \mapsto \tr(\T{}AB)\) définie sur \(\M_n(\R)^2\) est un produit scalaire.
- Pour \(f \in \Li(E)\), \(\forall (x, y) \in E\ (x | y) = (f(x) | f(y))\) ssi \(\forall x \in E \ \|f(x)\| = \|x\|\).
- Savoir appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt sur une base de \(\R^3\) munit du produit scalaire canonique.
Le 18/03/18 par M. Louatron
Colle 20, semaine 22
Intégrales à paramètres
- Continuité des intégrales à paramètres.
- Classe \(\Co^1\), extension à la classe \(\Co^2\).
- Les dominations locales sont au programme seulement avec indication.
Espaces préhilbertiens réels
- Produit scalaire sur un \(\R\)-espace vectoriel, exemples classiques.
- Norme, propriétés (identité du parallélogramme, Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire).
- Familles orthogonales et orthonormales. Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls, théorème de Pythagore.
Questions de cours
- Citer le théorème de continuité des intégrales à paramètres
- Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres.
- Prouver que \(\phi : (A, B) \mapsto \tr(\T{}AB)\) définie sur \(\M_n(\R)^2\) est un produit scalaire.
Le 09/03/18 par M. Louatron
Colle 19, semaine 20
Attention, pas de colle la semaine du 19 au 23/02 pour cause de concours blanc.
Fonctions de plusieurs variables
- Boules ouvertes et fermées, parties ouvertes, fermées.
- Continuité des fonctions \(A \subset \R^p \to \R^n\) : l'étude des prolongements n'est pas un objectif.
- Dérivées partielles, classe \(\Co^1\), développement limité à l'ordre 1.
- Gradient, point critiques, recherche d'extrema dans un ouverts (pas de matrice hessienne).
- Dérivée composée, application à la résolution de certaines EDP.
- Classe \(\Co^2\) et théorème de Schwarz.
Intégrales à paramètres
- Continuité des intégrales à paramètres.
- Classe \(\Co^1\), extension à la classe \(\Co^2\).
- Les dominations locales sont au programme seulement avec indication.
Questions de cours
- Résoudre \(\der{f}{x} - \der{f}{y} = 1\) en posant \(u = x + y \et v = x - y\).
- Citer le théorème de continuité des intégrales à paramètres
- Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres.
Le 12/02/18 par M. Louatron
Colle 18, semaine 19
Géométrie du plan et de l'espace : rappels de PTSI
- Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel : rappel des propriétés et utilisations géométriques.
- Bases orthonormées du plan et de l'espace.
- Droites de \(\R^2\) : différentes représentation.
- Droites et plans dans \(\R^3\) : idem.
- Calculs de projetés orthogonaux, de symétriques.
- Cercles : équation, tangente, intersection.
- Rotations dans le plan : matrice et expression via les complexes.
- Rotation dans l'espace : expression de la matrice dans une base orthonormée adaptée. Pas encore de calcul d'angle étant donnée une matrice.
Fonctions de plusieurs variables
- Boules ouvertes et fermées, parties ouvertes, fermées.
- Continuité des fonctions \(A \subset \R^p \to \R^n\) : l'étude des prolongements n'est pas un objectif.
- Dérivées partielles, classe \(\Co^1\), développement limité à l'ordre 1.
- Gradient, point critiques, recherche d'extrema dans un ouverts (pas de matrice hessienne).
- Dérivée composée, application à la résolution de certaines EDP.
- Classe \(\Co^2\) et théorème de Schwarz.
Questions de cours
- Expression de la matrice de la rotation vectorielle d'angle \(\theta\) dans la base canoniques de \(\R^2\). Preuve par les complexes.
- Etant donnée une droite de \(\R^3\) sous forme \(D = \Vect(u)\), construire une base orthonormée directe dont le premier vecteur a même direction et même sens que \(u\) et donner la matrice (dans cette base) de la rotation d'angle \(\theta\) et d'axe \(D\) orienté par \(u\).
- Résoudre \(\der{f}{x} - \der{f}{y} = 1\) en posant \(u = x + y \et v = x - y\).
Le 03/02/18 par M. Louatron
Colle 17 pour la semaine 18
Probabilités discrètes
- Variables d'espérance finie, propriété de l'espérance. Espérance d'un produit de variables indépendantes.
- Variance : définition, variance de aX + b
- Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
Géométrie du plan et de l'espace : rappels de PTSI
- Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel : rappel des propriétés et utilisations géométriques.
- Bases orthonormées du plan et de l'espace.
- Droites de \(\R^2\) : différentes représentation.
- Droites et plans dans \(\R^3\) : idem.
- Calculs de projetés orthogonaux, de symétriques.
- Cercles : équation, tangente, intersection.
- Rotations dans le plan : matrice et expression via les complexes.
- Rotation dans l'espace : expression de la matrice dans une base orthonormée adaptée. Pas encore de calcul d'angle étant donnée une matrice.
Questions de cours
- Calcul de l'espérance d'une loi géométrique (avec la preuve de convergence absolue).
- Expression de la matrice de la rotation vectorielle d'angle \(\theta\) dans la base canoniques de \(\R^2\). Preuve par les complexes.
- Etant donnée une droite de \(\R^3\) sous forme \(D = \Vect(u)\), construire une base orthonormée directe dont le premier vecteur a même direction et même sens que \(u\) et donner la matrice (dans cette base) de la rotation d'angle \(\theta\) et d'axe \(D\) orienté par \(u\).
Le 26/01/18 par M. Louatron
Colle 16 pour la semaine 17
Probabilités sur un univers fini
- Probabilités, probabilité conditionnelle.
- Formule des probabilités totales, des probabilités composées, de Bayes.
- Evénements indépendants et variables indépendantes.
- Loi des variables aléatoires, loi binomiale.
- Espérance et variance.
Probabilités discrètes
- Ensembles dénombrables : quelques exemples. En pratique, on peut les écrire \(\{x_n|\ n \in \N\}\).
- Espaces probabilisés, propriétés des probabilités.
- Probabilités conditionnelles, extension des formules de 1ère année.
- Limite croissante ou décroissante.
- Variables aléatoires discrètes. Loi géométrique et de Poisson.
- Loi conjointe, variables indépendantes.
- Variables d'espérance finie, propriété de l'espérance. Espérance d'un produit de variables indépendantes.
- Variance : définition, variance de aX + b
- Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
Questions de cours
- Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
- Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).
- Calcul de l'espérance d'un loi géométrique (avec la preuve de convergence absolue).
Le 20/01/18 par M. Louatron
Colle 15, semaine 16
Séries entières
- Propriété de la fonction somme sur l'intervalle \(]-R, R[\) : continuité, intégration terme à terme, dérivabilité.
- Unicité des coefficients dans le cas d'un rayon non nul.
- Fonctions développables en série entière, développements usuels.
Probabilités sur un univers fini
- Probabilités, probabilité conditionnelle.
- Formule des probabilités totales, des probabilités composées, de Bayes.
- Evénements indépendants et variables indépendantes.
- Loi des variables aléatoires, loi binomiale.
- Espérance et variance.
Probabilités discrètes
- Ensembles dénombrables : quelques exemples. En pratique, on peut les écrire \(\{x_n|\ n \in \N\}\).
- Espaces probabilisés, propriétés des probabilités.
- Probabilités conditionnelles, extension des formules de 1ère année.
- Limite croissante ou décroissante.
- Variables aléatoires discrètes. Loi géométrique et de Poisson.
- Loi conjointe, variables indépendantes.
Questions de cours
- Donner au choix de l'examinateur deux formules de DSE (avec le rayon) parmi \(\inv{1-x}, \ln(1+x), e^x, \cos(x), \sin(x), \ch(x), \sh(x), (1 + x)^{\alpha}\).
Savoir prouver le développement de \(\ln(1+x)\).
- Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
- Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).
Le 12/01/18 par M. Louatron
Colle 14, semaine 15
Séries entières
- Séries de référence : séries géométrique et exponentielle.
- Rayon de convergence d'une série entière.
- Calcul en pratique : lien avec la convergence absolue ou la divergence grossière. Utilisation d'équivalents, d'Alembert (à appliquer à une série numérique).
- Le rayon de convergence des séries \(\sum{a_nz^n} \et \sum{na_nz^n}\) sont égaux.
- Propriété de la fonction somme sur l'intervalle \(]-R, R[\) : continuité, intégration terme à terme, dérivabilité.
- Unicité des coefficients dans le cas d'un rayon non nul.
- Fonctions développables en série entière, développements usuels.
Probabilités sur un univers fini
- Probabilités, probabilité conditionnelle.
- Formule des probabilités totales, des probabilités composées, de Bayes.
- Evénements indépendants et variables indépendantes.
- Loi des variables aléatoires, loi binomiale.
- Espérance et variance.
Questions de cours
- Lemme d'Abel.
- Calcul du rayon de convergence de \(\sum\limits_{n \ge 0}{\binom{2n}{n}z^n}\).
- Donner au choix de l'examinateur deux formules de DSE (avec le rayon) parmi \(\inv{1-x}, \ln(1+x), e^x, \cos(x), \sin(x), \ch(x), \sh(x), (1 + x)^{\alpha}\).
Savoir prouver le développement de \(\ln(1+x)\).
Le 04/01/18 par M. Louatron
Colle 13, semaine 14
Diagonalisation
- Définition de vecteur propre et valeur propre (pour un endomorphisme ou une matrice).
- Espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
- Polynômes caractéristiques. Savoir retrouver la trace et le déterminant dans les coefficients.
- Inégalité entre la dimension d'un espace propre et la multiplicité de la racine du polynôme caractéristique.
- Les espaces propres de \(f\) sont stables par \(f\). Si \(f \et g\) commutent, les espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
- Endomorphismes et matrices diagonalisables.
- CNS de diagonalisabilité : il existe une base de vecteurs propres, la somme directe des espaces propres est \(E\), \(\chi\) est scindé et dimension des espace propres = multiplicités des racines.
- Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
- Application au calcul de puissances, aux suites récurrentes linéaires d'ordre \(\ge 3\).
- Trigonalisation (il faut des indications pour la pratique) : si \(\chi\) est scindé, l'endomorphisme est trigonalisable.
- Trace et déterminant en fonctions des valeurs propres (éventuellement complexes).
Séries entières
- Séries de référence : séries géométrique et exponentielle.
- Rayon de convergence d'une série entière.
- Calcul en pratique : lien avec la convergence absolue ou la divergence grossière. Utilisation d'équivalents, d'Alembert (à appliquer à une série numérique).
- Le rayon de convergence des séries \(\sum{a_nz^n} \et \sum{na_nz^n}\) sont égaux.
Questions de cours
- Soient \(f, g \in \Li(E)\) tels que \(f \circ g = g \circ f\). Alors \(\ker(f) \et \im(f)\) sont stables par \(g\).
- Lemme d'Abel.
- Calcul du rayon de convergence de \(\sum\limits_{n \ge 0}{\binom{2n}{n}z^n}\).
Le 15/12/17 par M. Louatron
Colle 12
Séries numériques
- Séries absolument convergentes.
- Produit de Cauchy.
Diagonalisation
- Définition de vecteur propre et valeur propre (pour un endomorphisme ou une matrice).
- Espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
- Polynômes caractéristiques. Savoir retrouver la trace et le déterminant dans les coefficients.
- Inégalité entre la dimension d'un espace propre et la multiplicité de la racine du polynôme caractéristique.
- Les espaces propres de \(f\) sont stables par \(f\). Si \(f \et g\) commutent, les espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
- Endomorphismes et matrices diagonalisables.
- CNS de diagonalisabilité : il existe une base de vecteurs propres, la somme directe des espaces propres est \(E\), \(\chi\) est scindé et dimension des espace propres = multiplicités des racines.
- Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
- Application au calcul de puissances, aux suites récurrentes linéaires d'ordre \(\ge 3\).
- Trigonalisation (il faut des indications pour la pratique) : si \(\chi\) est scindé, l'endomorphisme est trigonalisable.
- Trace et déterminant en fonctions des valeurs propres (éventuellement complexes).
Questions de cours
- On note \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a,b \in \C\ f(a)f(b) = f(a + b)\).
- Soient \(\lambda \in \K\) et \(A \in \M_n(\K)\). \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) ssi \(\chi_A(\lambda) = 0\).
- Soient \(f, g \in \Li(E)\) tels que \(f \circ g = g \circ f\). Alors \(\ker(f) \et \im(f)\) sont stables par \(g\).
Le 09/12/17 par M. Louatron
Colle 11, semaine 12
Séries numériques
- Convergence d'une série, divergence grossière.
- Séries de référence : géométriques, Riemann.
- Comparaison des séries à termes positifs.
- Règle de d'Alembert.
- Comparaison intégrale-série.
- Séries absolument convergentes.
- Produit de Cauchy.
Diagonalisation
- Définition de vecteur propre et valeur propre (pour un endomorphisme ou une matrice).
- Espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
- Polynômes caractéristiques.
Questions de cours
- Montrer que \(u_n = -\ln(n) + \sum_{k = 1}^n{\inv{k}}\) converge en étudiant la convergence de \(\sum{(u_{n} - u_{n - 1})}\).
- On note \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a,b \in \C\ f(a)f(b) = f(a + b)\).
- Soient \(\lambda \in \K\) et \(A \in \M_n(\K)\). \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) ssi \(\chi_A(\lambda) = 0\).
Le 03/12/17 par M. Louatron
, édité le 03/12/17 par M. Louatron
Colle 10, semaine 11
Matrices carrées
- Rang et inversibilité des matrices.
- Matrices particulières : symétriques, triangulaires, diagonales.
- Trace d'une matrice carrée, \(\tr(AB) = \tr(BA)\). Linéarité de la trace.
- trace d'un endomorphisme.
- Déterminant d'une matrice carrée : effet des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminants triangulaires.
- Caractérisation de l'inversibilité.
- Invariance par transposition, opérations sur les lignes.
- Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
- Déterminant d'un produit.
- Déterminant d'un endomorphisme. Caractérisation de la bijectivité.
Séries numériques
- Convergence d'une série, divergence grossière.
- Séries de référence : géométriques, Riemann.
- Comparaison des séries à termes positifs.
- Règle de d'Alembert.
- Comparaison intégrale-série
Questions de cours
- \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
- Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\
1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\
\vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\
0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
- Montrer que \(u_n = -\ln(n) + \sum_{k = 1}^n{\inv{k}}\) converge en étudiant la convergence de \(\sum{(u_{n} - u_{n - 1})}\).
Le 24/11/17 par M. Louatron
Colle 9, semaine 10
Matrices carrées
- Rang et inversibilité des matrices.
- Matrices particulières : symétriques, triangulaires, diagonales.
- Trace d'une matrice carrée, \(\tr(AB) = \tr(BA)\). Linéarité de la trace.
- trace d'un endomorphisme.
- Déterminant d'une matrice carrée : effet des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminants triangulaires.
- Caractérisation de l'inversibilité.
- Invariance par transposition, opérations sur les lignes.
- Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
- Déterminant d'un produit.
- Déterminant d'un endomorphisme. Caractérisation de la bijectivité.
Questions de cours
- Pour \(\beta > 0\), donner le lien entre \(\Gamma(\beta + 1) \et \Gamma(\beta)\) où \(\Gamma(\beta) = \int\limits_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\). Savoir prouver une des deux convergence, au choix de l'examinateur.
- \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
- Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\
1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\
\vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\
0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
Le 17/11/17 par M. Louatron
Colle 8, semaine 9
Intégration
- Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
- Convergence par prolongement par continuité.
- Convergence par comparaison pour les fonctions positives.
- Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes.
- Changement de variables
- Intégration par parties.
Matrices carrées
- Rang et inversibilité des matrices.
- Matrices particulières : symétriques, triangulaires, diagonales.
- Trace d'une matrice carrée, \(\tr(AB) = \tr(BA)\)
Questions de cours
- Citer le théorème de convergence par comparaison. ainsi que le théorème de croissances comparées.
- Pour \(\beta > 0\), donner le lien entre \(\Gamma(\beta + 1) \et \Gamma(\beta)\) où \(\Gamma(\beta) = \int\limits_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\). Savoir prouver une des deux convergence, au choix de l'examinateur.
- \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
Le 12/11/17 par M. Louatron
Colle 7, semaine 8
Intégration
- Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
- Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
- Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
- Convergence par prolongement par continuité.
- Convergence par comparaison pour les fonctions positives.
- Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes.
- Changement de variables
- Intégration par parties.
Questions de cours
- Convergence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}{\inv{t^2 + 1}\d t} \et \int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}\).
- \(\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha > 1\) (preuve en deux parties dans le cours).
- Citer le théorème de convergence par comparaison. ainsi que le théorème de croissances comparées.
Le 20/10/17 par M. Louatron
Colle 6 pour la semaine 7
En cve qui concerne les intégrales convergentes, seules les questions de cours sont au programme. Les exercices peuvent porter sur les intégrales de 1ère année ou les espaces vectoriels.
Espace vectoriels
- Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
- Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, automorphismes.
- Equations linéaires : forme de l'ensemble des solutions.
- Bases : familles libres et génératrices en dimension quelconques. Rappels sur la dimension finie.
- Espaces supplémentaires, théorème de Grassman.
- Hyperplans : équation d'un hyperplan dans une base.
- Projection et symétrie : définition générale, interprétation géométrique dans le plan. Lien avec le calcul des coordonnées dans une base.
- Espaces en somme directe. Définition, caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul comme somme. Bases adaptées à une somme directe.
- Matrice d'un application linéaire, changement de base. Matrices semblables.
- Espaces stable, effet sur les matrices.
Intégration
- Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
- Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
- Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
- Convergence par prolongement par continuité
Questions de cours
- Prouver qu'une matrice donnée de taille 2 ou 3 est une matrice de projection et calculer les éléments caractéristiques (sur quoi ? parallèlement à quoi ?).
- Convergence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}{\inv{t^2 + 1}\d t} \et \int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}\).
- \(\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha > 1\) (preuve en deux parties dans le cous).
Le 15/10/17 par M. Louatron
, édité le 16/10/17 par M. Louatron
Colle 5
Espace vectoriels
- Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
- Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, automorphismes.
- Equations linéaires : forme de l'ensemble des solutions.
- Bases : familles libres et génératrices en dimension quelconques. Rappels sur la dimension finie.
- Espaces supplémentaires, théorème de Grassman.
- Hyperplans : équation d'un hyperplan dans une base.
- Projection et symétrie : définition générale, interprétation géométrique dans le plan. Lien avec le calcul des coordonnées dans une base.
- Espaces en somme directe. Définition, caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul comme somme. Bases adaptées à une somme directe.
- Matrice d'un application linéaire, changement de base. Matrices semblables.
- Espaces stable, effet sur les matrices.
Questions de cours
- Interpolation de Lagrange : l'application \(P \mapsto (P(a_0), \dots,P(a_n) )\) est un isomorphisme de \(\K_n[X]\) dans \(\K^{n + 1}\).
- Donner un exemple de deux espaces supplémentaires dans \(\R^3\) et le prouver.
- Prouver qu'une matrice donnée de taille 2 ou 3 est une matrice de projection et calculer les éléments caractéristiques (sur quoi ? parallèlement à quoi ?).
Le 05/10/17 par M. Louatron
Colle 4
Courbes paramétrées
- Repère de Frenet, détermination angulaire et courbure (par la formule de Frenet).
- Courbe développée d'une courbe birégulière
- Enveloppe d'une famille de droites données par un point et un vecteur directeur.
- Développée en tant qu'enveloppe des normales.
Espace vectoriels
- Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
- Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, automorphismes.
- Equations linéaires : forme de l'ensemble des solutions.
- Bases : familles libres et génératrices en dimension quelconques. Rappels sur la dimension finie.
- Espaces supplémentaires, théorème de Grassman.
Questions de cours
- Si \(f \in \Li(E, F)\) et \(H\) est un sous-espace de \(F\) alors \(f^{-1}(H)\) est un sous espace de \(E\). Faire le lien avec \(\ker(f)\).
- Interpolation de Lagrange : l'application \(P \mapsto (P(a_0), \dots,P(a_n) )\) est un isomorphisme de \(\K_n[X]\) dans \(\K^{n + 1}\).
- Donner un exemple de deux espaces supplémentaires dans \(\R^3\) et le prouver.
Le 29/09/17 par M. Louatron
Colle 3 pour la semaine 4
Courbes paramétrées
- Etude complète des courbes en cartésiennes (dont branches infinies, point de rebroussement, points doubles)
- Longueur entre deux point d'une courbe.
- Abscisse curviligne pour les courbes régulières, paramétrisation par celle-ci.
- Repère de Frenet, détermination angulaire et courbure (par la formule de Frenet).
- Courbe développée d'une courbe birégulière
- Enveloppe d'une famille de droites données par un point et un vecteur directeur.
- Développée en tant qu'enveloppe des normales.
Espace vectoriels
- Rappels sur les méthodes fondamentales : prouver la linéarité et prouver qu'un ensemble est un sous-espace.
Questions de cours
- Dérivabilité et dérivée de \(\|f\|\) où \(f \in \Co^1(I, \R^2)\).
- Etude locale : définition des entiers \(p \et q\) et allure de la courbe suivant leurs parités (sans preuve pour l'allure).
- Si \(f \in \Li(E, F)\) et \(H\) est un sous-espace de \(F\) alors \(f^{-1}(H)\) est un sous espace de \(E\). Faire le lien avec \(\ker(f)\).
Le 24/09/17 par M. Louatron
Colle 2
Le 16/09/17 par M. Louatron
Colle 1
Analyse de sup
- Croissances comparées, équivalent, négligeable.
- Continuité : existence et calcul de limites, TVI, image d'un segment, bijection réciproque.
- Dérivabilité : bijection réciproque, accroissements finis, prolongement \(\Co^1\).
- Taylor-Young et développements limités, inégalité de Taylor-Lagrange.
Questions de cours
- Citer l'inégalité des accroissements finis et appliquer sur un segment \([0, x]\) à une fonction usuelle.
- Retrouver le DL d'arctan à tout ordre.
- Courbe, dérivabilité et dérivée de \(\arcsin\).
Le 07/09/17 par M. Louatron