• Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Questions de cours

    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.
    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.