Une précision :  la démonstration de \(f(x) = e^x\) n'est pas exigible (pour les démonstrations 2 et 3)

  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
  • Questions de cours

    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).
    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).