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Algèbre
Répondre au questionnaire Réduction
Réduction
Question 1
Q1
Question 2
Q2
Question 3
Q3
Question 4
Q4
Question 5
Q5
Question 6
Q6
Question 7
Q7
Question 8
Q8
Question 9
Q9
Question 10
Q10
Trouver les matrices pour lesquelles 0 est valeur propre
\(\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ -4 & -6\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -6\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\)
Trouver les matrices pour lesquelles -2 est valeur propre
\(\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 6 & -8\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -5 & 1 \\ -3 & -1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -3 & 3\end{pmatrix}\)
3 est valeur propre de A = \(\begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -6 & 5\end{pmatrix}\). Quelle est la deuxième ?
Réponse :
Soit \(p\) l'endomorphisme canoniquement associé à \(A = \inv{12}\begin{pmatrix} 10 & -2 & -2 \\ -4 & 8 & -4 \\ -6 & -6 & 6 \end{pmatrix}\).
\(p\) est le projecteur sur F parallèlement à G, où F est de dimension
Réponse :
Soit \(s\) l'endomorphisme canoniquement associé à \(A = \inv{7}\begin{pmatrix} 5 & -6 & 6 \\ -12 & -1 & -6 \\ -8 & 4 & -11 \end{pmatrix}\).
\(s\) est la symétrie par rapport à F et parallèlement à G, où F est de dimension
Réponse :
La matrice A = \(\begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}\) est diagonalisable
Faux
Vrai
Les vecteurs de l'espace propre \(E_{\lambda}(f)\) sont les vecteurs propres de \(f\) associés à \(\lambda\)
Vrai
Faux
Soit \(f \in \Li(E)\).
\(f\) est diagonalisable ssi (cocher les bonnes réponses)
\(\forall \lambda \in Sp(f)\ \dim(E_{\lambda}) = \mu(\lambda)\) où \(\mu(\lambda)\) représente la multiplicité en tant que racine de \(\chi_f\).
Toute matrice associée à \(f\) est diagonalisable
\(f\) est un projecteur ou une symétrie
\(\bigoplus\limits_{\lambda \in Sp(f)}{E_{\lambda}(f)} = E\)
Soit \(A \in \M_n(\K)\), on note \(\chi_A\) son polynôme caractéristique. Cocher les affirmations vraies.
\(\chi_A\) est degré n
\(\chi_A(\lambda)\) est de coefficient dominant égal à 1, le coefficient de \(\lambda\) est \(-\tr(A)\) et le coefficient constant est \(\det(A)\)
\(\chi_A(\lambda)\) est de coefficient dominant égal à 1, le coefficient de \(\lambda^{n - 1}\) est \(-\tr(A)\) et le coefficient constant est \(\det(A)\)
\(\chi_A(\lambda)\) est de coefficient dominant égal à 1, le coefficient de \(\lambda^{n - 1}\) est \(\tr(A)\) et le coefficient constant est \((-1)^n\det(A)\)
On considère \(f \in \Li(E)\) un endomorphisme d'un \(\K\)-espace vectoriel de dimension finie égale à \(n\) Cocher les affirmations vraies.
Pour \(\lambda, \mu \in Sp(f)\) distincts, les espaces \(E_{\lambda}(f),\ E_{\mu(f)}\) sont orthogonaux
Pour \(\lambda, \mu \in Sp(f)\) distincts, la somme \(E_{\lambda}(f) + E_{\mu(f)}\) est directe
Un espace propre de \(f\) est stable par \(f\)
\(\forall \lambda \in Sp(f)\ f - \lambda Id_E\) est bijective.
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