• Matrices carrées

    • Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
    • Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
    • \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
    • \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
    • Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
  • Séries entières

    • Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
  • Questions de cours

    • Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
    • Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).