Géométrie du plan et de l'espace
- Réduction d'une équation de conique.
Surfaces
- Courbes paramétrées dans l'espace : vecteur directeur de la tangente.
- Nappe paramétrée : plan tangent, droite normale.
- Surfaces définies par un équation explicite : plan tangent
- Surfaces définies par une équation implicite : plan tangent
- Surfaces réglées : définition, cas particulier des cônes et des cylindres.
- Surfaces de révolution autour de \((Oz)\), brève extension à la révolution autour des autres axes de coordonnées.
Métrique des courbes
- Révisions sur les courbes paramétrées.
- Abscisse curviligne d'origine \(t_0\), paramétrage par celle-ci.
Questions de cours
- Savoir trouver les points réguliers d'une surface quelque soit son mode de définition : un exemple pratique.
- Pour \(f\) de classe \(\Co^1\) par rapport aux deux variables \(x \et y\), retrouver (et prouver) l'équation du plan tangent à la surface d'équation \(z = f(x, y)\) au point \(M_0\) de coordonnées \((x_0, y_0, z_0)\)
- Savoir donner une représentation paramétrique d'une surface de révolution, en pratique.
Colles
Vous trouverez chaque semaine le programme de colle de la semaine courante. Attention aux dates !
Colle 20, semaine 22
Probabilités
- Révisions de 1ère année : événements, probabilité sur un univers fini. Indépendance et probabilités conditionnelles. Loi binomiale et de Bernoulli. Espérance et variance.
- Probabilités discrètes : définition d'une probabilité, probabilité d'une réunion dénombrable d'événements disjoints. La manipulation des tribus n'est pas exigible.
- Système complet d'événements.
- Probabilité conditionnelle : formules de probabilités composées, des probabilités totales.
- Événements indépendants, mutuellement indépendants.
- Variables aléatoires à valeurs discrètes, lois usuelles : géométrique (interprétation à connaître) et Poisson (interpréter \(\lambda\) comme l'espérance).
- Loi conjointe de deux variables, variables indépendantes.
- Fonction de répartition
- Fonction génératrice, application au calcul de l'espérance et de la variance. Fonction génératrice d'une somme de deux variables indépendantes.
- Covariance et variance d'une somme de deux variables indépendantes
Equations différentielles
- Révisions sur les équations linéaires du premier ordre : équation homogène, ensemble des solutions et variation de la constante.
- Équations linéaires du second ordre à coefficients constants : équation homogène (ensemble des solutions), second membre de la forme \(t \mapsto e^{kt}\) où \(k \in \C\).
- Pour toutes les équations différentielles linéaires (y compris l'ordre 2 à coefficients quelconques) : principe de superposition, théorème de Cauchy.
Révisions
- Développement en série de \(\inv{1 - x}\), \(-\ln( 1 - x)\), \(\ln(1 + x)\), \((1 + x)^{\alpha}\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ch x\), \(\sh x\)
- Définition d'une intégrale impropre convergente pour une fonction \(f\) définie sur \([a, b[\)
- Théorème fondamental du calcul différentiel.
Questions de cours
- Trouver la loi d'une somme de deux variables aléatoires \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda) \et Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes.
- Appliquer la méthode de variation de la constante sur un exemple.
- Résolution d'un équation du second ordre à coefficients constant et second membre exponentiel.
Colle 19, semaine 21
Probabilités
- Révisions de 1ère année : événements, probabilité sur un univers fini. Indépendance et probabilités conditionnelles. Loi binomiale et de Bernoulli. Espérance et variance.
- Probabilités discrètes : définition d'une probabilité, probabilité d'une réunion dénombrable d'événements disjoints. La manipulation des tribus n'est pas exigible.
- Système complet d'événements.
- Probabilité conditionnelle : formules de probabilités composées, des probabilités totales.
- Événements indépendants, mutuellement indépendants.
- Variables aléatoires à valeurs discrètes, lois usuelles : géométrique (interprétation à connaître) et Poisson (interpréter \(\lambda\) comme l'espérance).
- Loi conjointe de deux variables, variables indépendantes.
- Fonction de répartition
- Fonction génératrice, application au calcul de l'espérance et de la variance. Fonction génératrice d'une somme de deux variables indépendantes.
- Covariance et variance d'une somme de deux variables indépendantes
Révisions
- Développement en série de \(\inv{1 - x}\), \(-\ln( 1 - x)\), \(\ln(1 + x)\), \((1 + x)^{\alpha}\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ch x\), \(\sh x\)
- Formules de trigonométrie.
- Définition d'une intégrale impropre convergente pour une fonction \(f\) définie sur \([a, b[\)
Questions de cours
- En admettant que les valeurs propres de \(M \in S_n(\R)\) sont réelles, montrer que deux espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
- Donner la définition de : \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p \in ]0, 1[\) et montrer que pour \(k, n \in \N\) non nuls, on a \(\mathbb{P}(X > n + k | X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
- Trouver la loi d'une somme de deux variables aléatoires \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda) \et Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes.
Semaine 20
Aucune colle en semaine 20 qui est réservée au concours blanc
Colle 18, semaine 19
Espace préhilbertiens
- Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
- Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
- Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
- Bases orthonormées : calcul des coordonnées par produit scalaire. Procédé de Gram-Schmidt.
- Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un espace de dimension finie.
- Projection et symétrie orthogonales. Théorème des moindres carrés.
- Isométries d'un espaces euclidien : définition, lien avec l'image d'une base orthonormée.
- Matrices orthogonales : définitions et propriétés, lien avec les bases orthonormées. Reconnaître la matrice d'une symétrie orthogonale. Note : les isométries du plan et de l'espace ne sont pas au programme de cette semaine.
- Déterminant des matrices orthogonales, bases directes et indirectes de \(\R^n\). Le déterminant d'une famille ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie pour le calculer.
- Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux. Théorème spectral.
Probabilités
- Révisions de 1ère année : événements, probabilité sur un univers fini. Indépendance et probabilités conditionnelles. Loi binomiale et de Bernoulli. Espérance et variance.
Révisions
- Développement en série de \(\inv{1 - x}\), \(-\ln( 1 - x)\), \(\ln(1 + x)\), \((1 + x)^{\alpha}\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ch x\), \(\sh x\)
- Formules de trigonométrie.
- Définition d'une intégrale impropre convergente pour une fonction \(f\) définie sur \([a, b[\)
Questions de cours
- Pour \(f\) un endomorphisme d'un espace euclidien et \(\B\) une base orthonormée de \(E\), on note \(M = \mat_{\B}(f)\). \(f\) est une symétrie orthogonale ssi \(f\) est une isométrie et \(M\) est symétrique.
- En admettant que les valeurs propres de \(M \in S_n(\R)\) sont réelles, montrer que deux espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
- Donner la définition de : \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p \in ]0, 1[\) et montrer que pour \(k, n \in \N\) non nuls, on a \(\Prob(X > n + k | X > n) = \Prob(X > k)\).
Colle 17, semaine 18
Espace préhilbertiens
- Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
- Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
- Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
- Bases orthonormées : calcul des coordonnées par produit scalaire. Procédé de Gram-Schmidt.
- Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un espace de dimension finie.
- Projection et symétrie orthogonales. Théorème des moindres carrés.
- Isométries d'un espaces euclidien : définition, lien avec l'image d'une base orthonormée.
- Matrices orthogonales : définitions et propriétés, lien avec les bases orthonormées. Reconnaître la matrice d'une symétrie orthogonale. Note : les isométries du plan et de l'espace ne sont pas au programme de cette semaine.
- Déterminant des matrices orthogonales, bases directes et indirectes de \(\R^n\). Le déterminant d'une famille ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie pour le calculer.
- Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux. Théorème spectral.
Révisions
- Développement en série de \(\inv{1 - x}, -\ln( 1 - x), \ln(1 + x), (1 + x)^{\alpha}, e^x, \sin x, \cos x, \ch x, \sh x\)
- Théorème de croissance comparées.
- Lien entre équation d'une droite du plan, vecteur directeur et vecteur normal.
- Formules de trigonométrie.
Questions de cours
- Montrer que \((A, B) \mapsto \tr(\T{A}B)\) défini un produit scalaire sur \(\M_n(\R)\).
- Montrer que \((f, g) \mapsto \int_{a}^{b}{f(t)g(t)\d t}\) défini un produit scalaire sur \(\Co([a, b], \R)\).
- Pour \(f\) un endomorphisme d'un espace euclidien et \(\B\) une base orthonormée de \(E\), on note \(M = \mat_{\B}(f)\). \(f\) est une symétrie orthogonale ssi \(f\) est une isométrie et \(M\) est symétrique.
Colle 16, semaine 17
Il semble qu'il y ait pazrfois un problème d'affichage avec les formules mathématiques dans la page. Merci de vous référer au PDF, si besoin, pendant l'investigation.
Courbes paramétrées
- Courbe en tant que fonction à valeurs dans \(\R^2\) (ou \(\R^3\)) : continuité, dérivabilité de telles fonctions.
- Étude des symétries d'un support de courbe. Tangente en un point régulier.
- Points singuliers : définition des entiers \(p \et q\), allure du support suivant leurs parités.
- Étude des branches infinies : asymptotes, branches paraboliques.
Espace préhilbertiens
- Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
- Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
- Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
Révisions
- Développement en série de \(\inv{1 - x}, -\ln( 1 - x), \ln(1 + x), (1 + x)^{\alpha}, e^x, \sin x, \cos x, \ch x, \sh x\)
- Théorème de croissance comparées.
- Lien entre équation d'une droite du plan, vecteur directeur et vecteur normal.
Questions de cours
- Tracé du support de la courbe \(f : t \mapsto \col{2\cos(t)}{\sin(t)}{}\)
- Montrer que \((A, B) \mapsto \tr(\T{A}B)\) défini un produit scalaire sur \(\M_n(\R)\).
- Montrer que \((f, g) \mapsto \dint{a}{b}{f(t)g(t)\d t}\) défini un produit scalaire sur \(\Co([a, b], \R)\).
Colle 15, semaine 16
A partir de la semaine 16, une question de cours rapide de révision est exigible, en plus de la démonstration de la semaine.
Intégrales à paramètre
- Ensemble de définition d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.
- Continuité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre. En cas de domination locale, une indication doit être fournie.
- Classe \(\Co^1\) d'une telle fonction.
Courbes paramétrées
- Courbe en tant que fonction à valeurs dans \(\R^2\) (ou \(\R^3\)) : continuité, dérivabilité de telles fonctions.
- Étude des symétries d'un support de courbe. Tangente en un point régulier.
- Points singuliers : définition des entiers \(p \et q\), allure du support suivant leurs parités.
- Étude des branches infinies : asymptotes, branches paraboliques.
Révisions
- Développement en série de \(\inv{1 - x}, -\ln( 1 - x), \ln(1 + x), (1 + x)^{\alpha}, e^x, \sin x, \cos x, \ch x, \sh x\)
- Théorème de croissance comparées.
- Lien entre équation d'une droite du plan, vecteur directeur et vecteur normal.
Questions de cours
- Continuité de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
- Classe \(\Co^1\) de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
- Tracé du support de la courbe \(f : t \mapsto \col{2\cos(t)}{\sin(t)}{}\)
Colle 14, semaine 15
Réduction
- Diagonalisabilité d'un endomorphisme : il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale. Caractérisation : le polynôme caractéristique est scindé et tous les espaces propres sont de dimension maximale.
- Diagonalisabilité d'une matrice.
- Application au calcul de puissances de matrices, à l'étude des suites récurrentes linéaires.
- Trigonalisation : résultat théorique, aucune méthode n'est au programme.
Intégrales à paramètre
- Ensemble de définition d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.
- Continuité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre. En cas de domination locale, une indication doit être fournie.
- Classe \(\Co^1\) d'une telle fonction.
Questions de cours
- Pour un endomorphisme \(f\), si \(\chi_f\) est scindé et à racines simples, alors \(f\) est diagonalisable.
- Continuité de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
- Classe \(\Co^1\) de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
Colle 13, semaine 14
Colle 12, semaine 13
Intégrales impropres
- Intégrabilité d'une fonction, elle implique la convergence de l'intégrale.
- Changement de variable dans une intégrale impropre.
- Intégration par parties
Réduction
- Valeur propre, vecteur propre et espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
- Liberté d'une famille de vecteur propres associés à des valeurs propres 2 à 2 distinctes, une somme d'espace propres est directe.
- Polynôme caractéristique : il est unitaire, de degré \(n = \dim(E)\), coefficient de \(X^{n - 1}\) et coefficient constant (la trace et le déterminant, au signe près, formule pour la dimension 2).
- Lien entre la dimension d'un espace propre et la multiplicité de la racine de \(\chi\).
Questions de cours
- En posant \(\Gamma(\beta) =\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t} \) montrer que \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).
- \(\lambda \in \K\) est une valeur propre de \(f\) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
- Donner un exemple de matrice pour laquelle une valeur propre \(\lambda\) au moins vérifie \(\dim(E_{\lambda}) = \mu(\lambda)\), et un exemple où \(\dim(E_{\lambda}) < \mu(\lambda)\).
Colle 11, semaine 12
Intégrales impropres
- Révisions sur les séries numériques : théorème de croissances comparées, comparaison des séries à termes positifs.
- Définition d'une intégrale impropre convergente, calculs des intégrales de références : \(\int_0^1{\ln(t) \d t}\), \(\int_0^{+\infty}{e^{-at}\d t}\) (pour \(a > 0\)) et intégrales de Riemann.
- Théorème de comparaison des fonctions positives pour la convergence des intégrales impropres.
- Intégrabilité d'une fonction, elle implique la convergence de l'intégrale.
- Changement de variable dans une intégrale impropre.
- Intégration par parties
Questions de cours
- \(\int_0^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha < 1\).
- \(\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
- En posant \(\Gamma(\beta) =\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t} \) montrer que \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).
Colle 10, semaine 11
Algèbre linéaire
- Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
- Projecteur : définition.
- Symétrie : définition, formule \(s = 2p - Id_E\).
- Matrice d'une projection ou d'une symétrie dans une base adaptée.
Intégrales impropres
- Révisions sur les séries numériques : théorème de croissances comparées, comparaison des séries à termes positifs.
- Définition d'une intégrale impropre convergente, calculs des intégrales de références : \(\int_0^1{\ln(t) \d t}\), \(\int_0^{+\infty}{e^{-at}\d t}\) (pour \(a > 0\)) et intégrales de Riemann.
- Théorème de comparaison des fonctions positives pour la convergence des intégrales impropres.
- Intégrabilité d'une fonction, elle implique la convergence de l'intégrale.
- Changement de variable dans une intégrale impropre.
Questions de cours
- Pour un projecteur \(p\) d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).
- \(\int_0^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha < 1\).
- \(\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
Colle 9, semaine 10
Algèbre linéaire
- Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
- Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
- Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
- Somme directe : définition par l'unicité de la décomposition. Théorème de la base adaptée.
- Rappels sur les applications linéaires : noyau, image, théorème du rang.
- Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
- Projecteur : définition.
- Symétrie : définition, formule \(s = 2p - Id_E\).
- Matrice d'une projection ou d'une symétrie dans une base adaptée.
Intégrales impropres
- Révisions sur les séries numériques : théorème de croissances comparées, comparaison des séries à termes positifs.
- Définition d'une intégrale impropre convergente, calculs des intégrales de références : \(\int_0^1{\ln(t) \d t}\), \(\int_0^{+\infty}{e^{-at}\d t}\) (pour \(a > 0\)) et intégrales de Riemann.
Questions de cours
- L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace.
- Définition d'un projecteur, donner les propriétés importantes (théorème 9). Sans démonstration
- Pour un projecteur \(p\) d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).
Colle 8, semaine 9
Séries entières
- Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
- Développement en série d'une fonction : développements usuels.
Algèbre linéaire
- Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
- Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
- Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
- Somme directe : définition par l'unicité de la décomposition. Théorème de la base adaptée.
- Rappels sur les applications linéaires : noyau, image, théorème du rang.
- Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
- Projecteur : définition.
Questions de cours
- Décrire les supplémentaires non triviaux (aucun des espaces n'est l'espace nul) dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).
- L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace.
- Définition d'un projecteur, donner les propriétés importantes (théorème 9).
Colle 7, semaine 8
Séries entières
- Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
- Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
- Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
- Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
- Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
- Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
- Développement en série d'une fonction : développements usuels.
Algèbre linéaire
- Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
- Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
- Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
Questions de cours
- Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
- Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).
- Décrire les supplémentaires non triviaux (aucun des espaces n'est l'espace nul) dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).
Colle 6, semaine 7
Matrices carrées
- Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
- Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
- \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
- \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
- Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
- \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
Séries entières
- Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
- Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
- Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
- Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
- Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
- Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
Questions de cours
- Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
- Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
- Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).
Colle 5, semaine 6
Matrices carrées
- Rappel sur quelques méthodes de calcul de puissances d'une matrice : récurrence, Newton, calculer un reste dans une division euclidienne de polynômes.
- Matrices inversibles : définition, différentes CNS, méthode pratique de calcul de l'inverse.
- Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre composition et produit, changement de base.
- Trace d'une matrice, d'une application linéaire.
- Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
- Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
- \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
- \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
- Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
- \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
Questions de cours
- Pour \(A \in \M_n(\K)\), \(A \in GL_n(\K) \iff \T{A} \in GL_n(\K)\).
- Pour \(A, B \in \M_n(\K)\), \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
- Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
Colle 4, semaine 5
Révisions sur les séries
- Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
- Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
- Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
Quelques révisions de géométrie
- Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
- A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
- Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
Matrices carrées
- Rappel sur quelques méthodes de calcul de puissances d'une matrice : récurrence, Newton, calculer un reste dans une division euclidienne de polynômes.
- Matrices inversibles : définition, différentes CNS, méthode pratique de calcul de l'inverse.
- Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre composition et produit, changement de base.
- Trace d'une matrice, d'une application linéaire.
Questions de cours
- On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
- Pour \(A \in \M_n(\K)\), \(A \in GL_n(\K) \iff \T{A} \in GL_n(\K)\).
- Pour \(A, B \in \M_n(\K)\), \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
Colle 3, semaine 4
Révisions sur les séries
- Définition d'une série, sommes partielles.
- Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
- Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
- Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
- Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
- Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
- Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
- Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
Quelques révisions de géométrie
- Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
- A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
- Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
Questions de cours
- Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
- Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).
- On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
Colle 2
Révisions sur les comparaisons
- Equivalent, négligeable pour les fonctions.
- Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
- Croissances comparées.
- Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
- Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
- Croissances comparées sur les suites.
Révisions sur les séries
- Définition d'une série, sommes partielles.
- Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
- Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
- Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
- Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
- Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
Questions de cours
- Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
- Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
- Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).
Colle 1, semaine 2
Révisions sur les comparaisons
- Equivalent, négligeable pour les fonctions.
- Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
- Croissances comparées.
- Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
- Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
- Croissances comparées sur les suites.
Révisions sur les séries
- Définition d'une série, sommes partielles.
- Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
Questions de cours
- Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
- \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
- Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.