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Colle 4, semaine 5

  • Séries numériques

    • Convergence absolue, elle implique la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
  • Révisions de géométrie

    • Produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l'espace.
    • Produit vectoriel dans l'espace.
    • Droites du plan, plan dans l'espace : trouver une base, un vecteur normal, des points....
    • Équations de cercle et de sphère.
  • Matrices

    • Révisions sur le produit matriciel, le calcul pratique d'inverse, la résolution de systèmes carrés ou non, avec ou sans paramètres.
    • Théorème du binôme de Newton, factorisation de \(A^n - B^n\).
  • Révisions

    • Savoir trouver un vecteur directeur et un point d'une droite du plan donnée par une équation cartésienne.
    • Trouver une équation d'une droite du plan donnée par un point et un vecteur directeur.
    • Calcul numérique d'un déterminant de taille 3.
  • Questions de cours

    • Dans le cas \(\alpha > 1\), montrer que la série \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge.
    • Pour \(z \in \C\), on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a, b \in \C\ f(a+b) = f(a)f(b)\).
    • Résolution ``propre'' d'un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues : identifications des pivots, inconnues principales et éventuels paramètres.

Colle 3, semaine 4

  • Séries numériques

    • Notion de série (définie comme suite des sommes partielles) , convergence, somme d'une série.
    • Différence de notation entre : série, somme d'une série, somme partielle.
    • Divergence grossière, linéarité de la somme des séries convergentes.
    • Séries de références : géométriques et Riemann.
    • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.
    • Règle de d'Alembert.
    • Convergence absolue, elle implique la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
  • Révisions

    • Savoir trouver un vecteur directeur et un point d'une droite du plan donnée par une équation cartésienne.
    • Trouver une équation d'une droite du plan donnée par un point et un vecteur directeur.
    • Calcul numérique d'un déterminant de taille 3.
  • Questions de cours

    • Pour \(q \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et donner la valeur de la somme en cas de convergence.
    • Dans le cas \(\alpha > 1\), montrer que la série \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge.
    • Pour \(z \in \C\), on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a, b \in \C\ f(a+b) = f(a)f(b)\).

Colle 2, semaine 3

  • Révisions sur les comparaisons

    • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Séries numériques

    • Notion de série (définie comme suite des sommes partielles) , convergence, somme d'une série.
    • Différence de notation entre : série, somme d'une série, somme partielle.
    • Divergence grossière, linéarité de la somme des séries convergentes.
    • Séries de références : géométriques et Riemann.
    • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.
  • Révisions

    • Formule de Taylor avec reste intégrale.
    • Définition de suites adjacentes.
    • Énoncé du théorème des suites adjacentes.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(q \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et donner la valeur de la somme en cas de convergence.

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions

    • Formule de Taylor avec reste intégrale.
    • Définition de suites adjacentes.
    • Énoncé du théorème des suites adjacentes.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Citer 4 développements limités parmi les développements usuels, sous forme de \(\Sigma\) et sous forme \(+ \dots +\) (avec au moins 3 termes avant les \(\dots\))