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20-21 PT Mathématiques Colles

Colles

Colle 23, semaine 25

  • Surfaces

    • Trois modes de représentation : paramétrage, équation cartésienne explicite ou implicite.
    • Pour chaque mode de représentation, définition d'un point régulier et plan tangent en un point régulier.
    • Intersection avec un plan, tracé des courbes planes correspondantes.
    • Tangente à une courbe définie par l'intersection de deux surfaces dont on connaît des équations cartésiennes.
    • Surfaces réglées : définition, paramétrage. Exemples classiques : cônes et cylindres. Exemple d'obtention d'équation cartésienne.
    • Surfaces de révolution autour de \((Oz)\): définition, paramétrage (en lien avec les coordonnées polaires), exemples d'équations. Reconnaître une telle surface par intersection avec les plans perpendiculaires à l'axe. Extension aux surfaces de révolution autour des autres axes de coordonnées.
  • Probabilités : révisions de première année

    • Outils du calcul de probabilités : probabilité conditionnelles, indépendance, système complet d'événements
    • Variables aléatoires : loi de Bernoulli et binomiale
  • Questions de cours

    • Au choix du colleur : définition d'un point régulier d'une surface dans l'un des 3 cas, et description du plan tangent (par une équation, ou point + vecteur normal)
    • Obtenir en pratique un paramétrage d'une surface de révolution dans le cadre où on connaît un paramétrage de la courbe.
    • Loi binomiale : donner l'ensemble de valeurs, la loi, l'interprétation et un cas concret de variable aléatoire suivant cette loi.

Colle 22, semaine 24

  • Géométrie du plan et de l'espace

    • Coniques : équation réduite, tracés correspondants. Réduction d'une équation de degré 2.
  • Surfaces

    • Trois modes de représentation : paramétrage, équation cartésienne explicite ou implicite.
    • Pour chaque mode de représentation, définition d'un point régulier et plan tangent en un point régulier.
    • Intersection avec un plan, tracé des courbes planes correspondantes.
    • Tangente à une courbe définie par l'intersection de deux surfaces dont on connaît des équations cartésiennes.
    • Surfaces réglées : définition, paramétrage. Exemples classiques : cônes et cylindres. Exemple d'obtention d'équation cartésienne.
    • Surfaces de révolution autour de \((Oz)\): définition, paramétrage (en lien avec les coordonnées polaires), exemples d'équations. Reconnaître une telle surface par intersection avec les plans perpendiculaires à l'axe. Extension aux surfaces de révolution autour des autres axes de coordonnées.
  • Questions de cours

    • Citer les équations réduites des 3 coniques, tracer les 3 courbes.
    • Au choix du colleur : définition d'un point régulier d'une surface dans l'un des 3 cas, et description du plan tangent (par une équation, ou point + vecteur normal)
    • Obtenir en pratique un paramétrage d'une surface de révolution dans le cadre où on connaît un paramétrage de la courbe.

Colle 21, semaine 23

Attention, pas de colle la semaine de la rentrée

  • Géométrie du plan et de l'espace

    • Isométries du plan : ce sont des rotations ou des réflexions. Matrices orthogonales.
    • Isométries de l'espace. Décrire géométriquement l'endomorphisme canoniquement associé à une matrice orthogonale de taille 3, calculer la matrice d'une isométrie de \(\R^3\).
    • Coniques : équation réduite, tracés correspondants. Réduction d'une équation de degré 2.
  • Surfaces

    • Trois modes de représentation : paramétrage, équation cartésienne explicite ou implicite.
    • Pour chaque mode de représentation, définition d'un point régulier et plan tangent en un point régulier.
    • Intersection avec un plan, tracé des courbes planes correspondantes.
  • Questions de cours

    • Pour \(A \in O_3(\R)\), donner les 4 formes possible de matrice réduite et l'interprétation géométrique pour chaque forme.
    • Citer les équations réduites des 3 coniques, tracer les 3 courbes.
    • Au choix du colleur : définition d'un point régulier d'une surface dans l'un des 3 cas, et description du plan tangent (par une équation, ou point + vecteur normal)

Colle 20, semaine 21

  • Équations différentielles linéaires

    • Équation du premier ordre, du second ordre à coefficients constants : révisions de 1ère année.
    • Équations linéaires d'ordre 2 à coefficients non constants : théorème de Cauchy-Lipschitz, description de l'ensemble des solutions et forme des solutions. Recherche d'une solution développable en série entière.
    • Résolution d'un système différentiel linéaire à coefficients constants, et dont la matrice est diagonalisable : forme des solutions en fonction des vecteurs propres et valeurs propres.
  • Géométrie du plan et de l'espace

    • Isométries du plan : ce sont des rotations ou des réflexions. Matrices orthogonales.
    • Isométries de l'espace. Décrire géométriquement l'endomorphisme canoniquement associé à une matrice orthogonale de taille 3, calculer la matrice d'une isométrie de \(\R^3\).
    • Coniques : équation réduite, tracés correspondants. Réduction d'une équation de degré 2.
  • Questions de cours

    • Citer le théorème spectral. Savoir l'appliquer à une matrice de taille 2 ou 3.
    • Résolution en pratique d'un système différentiel de taille 2, à coefficients constants.
    • Pour \(A \in O_3(\R)\), donner les 4 formes possible de matrice réduite et l'interprétation géométrique pour chaque forme.

Colle 19, semaine 20

  • Espaces préhilbertiens et euclidiens

    • Projection et symétrie orthogonales.
    • Isométries en dimension finie : conservation de la norme, du produit scalaire, image d'une base orthonormée.
    • Matrices orthogonales : interprétation en tant que matrice d'isométrie, de matrice de passage d'une BON à une BON.
    • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux deux à deux, théorème spectral.
  • Équations différentielles linéaires

    • Équation du premier ordre, du second ordre à coefficients constants : révisions de 1ère année.
    • Équations linéaires d'ordre 2 à coefficients non constants : théorème de Cauchy-Lipschitz, description de l'ensemble des solutions et forme des solutions. Recherche d'une solution développable en série entière.
    • Résolution d'un système différentiel linéaire à coefficients constants, et dont la matrice est diagonalisable : forme des solutions en fonction des vecteurs propres et valeurs propres.
  • Questions de cours

    • Montrer que pour \(A \in S_n(\R)\), deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Justifier que \((X|AY) = (AX|Y)\) pour toutes colonnes \(X, Y\)
    • Citer le théorème spectral. Savoir l'appliquer à une matrice de taille 2 ou 3.
    • Résolution en pratique d'un système différentiel de taille 2, à coefficients constants.

Colle 18, semaine 19

  • Espaces préhilbertiens et euclidiens

    • Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
    • Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
    • Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
    • Bases orthonormées : calcul des coordonnées par produit scalaire. Procédé de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sev de dimension finie.
    • Projection et symétrie orthogonales.
    • Isométries en dimension finie : conservation de la norme, du produit scalaire, image d'une base orthonormée.
    • Matrices orthogonales : interprétation en tant que matrice d'isométrie, de matrice de passage d'une BON à un BON.
    • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux deux à deux, théorème spectral.
  • Révisions

    • Donner les solutions de l'équation différentielle \(y'(x) + a(x)y(x) = 0\) où \(a\) est continue sur l'intervalle \(I\).
    • Donner, avec son domaine de validité, le développement en série entière d'une fonction usuelle (puissance, inverse, ln, exp, trigonométrique circulaire ou hyperbolique).
    • Donner un vecteur normal d'un plan de \(\R^3\) ou d'une droite de \(\R^2\) en fonction d'une équation (donner la forme d'une telle équation, puis un vecteur qui s'en déduit).
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\phi : (X, Y) \mapsto \T{}XY\) est un produit scalaire sur \(\R^n\) considéré comme espace des colonnes de taille \(n\).
    • Déterminer une base puis un base orthonormale d'un plan de \(\R^3\) (donné par une équation) en utilisant le procédé de Gram-Schimdt.
    • Montrer que pour \(A \in \S_n(\R)\), deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Colle 17, semaine 18

  • Intégrales à paramètre

    • Forme des intégrales considérées, ne pas confondre avec l'application du théorème fondamental du calcul différentiel.
    • Continuité en dérivabilité des intégrales à paramètre. La domination locale peut être utilisée, mais seulement en précisant l'intervalle.
  • Espaces préhilbertiens et euclidiens

    • Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
    • Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
    • Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
    • Bases orthonormées : calcul des coordonnées par produit scalaire. Procédé de Gram-Schmidt.
  • Révisions

    • Donner les solutions de l'équation différentielle \(y'(x) + a(x)y(x) = 0\) où \(a\) est continue sur l'intervalle \(I\).
    • Donner, avec son domaine de validité, le développement en série entière d'une fonction usuelle (puissance, inverse, ln, exp, trigonométrique circulaire ou hyperbolique).
    • Donner un vecteur normal d'un plan de \(\R^3\) ou d'une droite de \(\R^2\) en fonction d'une équation (donner la forme d'une telle équation, puis un vecteur qui s'en déduit).
  • Questions de cours

    • Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.
    • Montrer que \(\phi : (X, Y) \mapsto \T{}XY\) est un produit scalaire sur \(\R^n\) considéré comme espace des colonnes de taille \(n\).
    • Déterminer une base puis un base orthonormale d'un plan de \(\R^3\) (donné par une équation) en utilisant le procédé de Gram-Schimdt.

Colle 16, semaine 17

  • Réduction

    • Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille libre.
    • Une somme d'espaces propres est directe.
    • Éléments propres d'une matrice.
    • Interprétation du noyau en tant qu'espace propre lorsqu'il est non nul, lien avec le rang d'une matrice.
    • Polynôme caractéristique : il est unitaire, de degré \(n\) (la taille de la matrice) et on connaît les coefficients de \(X^{n - 1}\) et constants.
    • Dimension des espaces propres : comprise entre 1 et la multiplicité.
    • Caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'une certaine base, sur la somme des espaces propres, sur les dimensions des espaces propres.
    • Trigonalisation (résultat seulement théorique, aucune pratique exigible) : \(f\) est trigonalisable ssi \(\chi_f\) est scindé sur \(\K\).
    • Somme et produit des valeurs propres, avec multiplicité.
  • Intégrales à paramètre

    • Forme des intégrales considérées, ne pas confondre avec l'application du théorème fondamental du calcul différentiel.
    • Continuité en dérivabilité des intégrales à paramètre. La domination locale peut être utilisée, mais seulement avec une indication.
  • Révisions

    • Rappeler la forme diagonale d'une matrice de projecteur ou de symétrie.
    • Nature de \(\displaystyle{\int_0^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}\)
    • Nature de \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}\)
  • Questions de cours

    • Citer, sans démonstration, deux CNS pour que \(f \in \Li(E)\) soit diagonalisable.
    • Montrer que si \(\chi_f\) est scindé sur \(\K\) et à racines simples alors \(f\) est diagonalisable.
    • Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.

Colle 15, semaine 16

  • Réduction

    • Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille libre.
    • Une somme d'espaces propres est directe.
    • Éléments propres d'une matrice.
    • Interprétation du noyau en tant qu'espace propre lorsqu'il est non nul, lien avec le rang d'une matrice.
    • Polynôme caractéristique : il est unitaire, de degré \(n\) (la taille de la matrice) et on connaît les coefficients de \(X^{n - 1}\) et constants.
    • Dimension des espaces propres : comprise entre 1 et la multiplicité.
    • Caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'une certaine base, sur la somme des espaces propres, sur les dimensions des espaces propres.
    • Trigonalisation (résultat seulement théorique, aucune pratique exigible) : \(f\) est trigonalisable ssi \(\chi_f\) est scindé sur \(\K\).
    • Somme et produit des valeurs propres, avec multiplicité.
  • Révisions

    • Rappeler la forme diagonale d'une matrice de projecteur ou de symétrie.
    • Nature de \(\displaystyle{\int_0^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}\)
    • Nature de \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}\)
  • Questions de cours

    • Pour \(A \in \M_n(\K)\) et \(\lambda \in \K\), montrer que \(\lambda \in Sp(A) \iff \lambda\) est une racine de \(\chi_A\).
    • Citer, sans démonstration, deux CNS pour que \(f \in \Li(E)\) soit diagonalisable.
    • Montrer que si \(\chi_f\) est scindé sur \(\K\) et à racines simples alors \(f\) est diagonalisable.

Colle 14, semaine 15

  • Courbes paramétrées

    • Brève introduction aux fonctions à valeurs vectorielles : on traite la continuité, la dérivabilité et la dérivation coordonnées par coordonnées.
    • Courbe paramétrée du plan : support, points réguliers, réduction du domaine d'étude.
    • Tangente à une courbe en un point régulier.
    • Etude locale : points de rebroussements, point d'inflexion.
    • Etude des éventuelles branches infinies.
  • Réduction

    • Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille libre.
    • Une somme d'espaces propres est directe.
    • Éléments propres d'une matrice.
    • Interprétation du noyau en tant qu'espace propre lorsqu'il est non nul, lien avec le rang d'une matrice.
    • Polynôme caractéristique : il est unitaire, de degré \(n\) (la taille de la matrice) et on connaît les coefficients de \(X^{n - 1}\) et constants.
  • Révisions

    • Pour \(A \in \M_n(\K)\), donner 4 conditions nécessaires et suffisantes pour que \(A \in GL_n(\K)\).
    • Définition de la trace d'un endomorphisme.
    • Caractérisation (CNS) du fait que la somme de sev \(\sum\limits_{k = 1}^p{F_k}\) est une somme directe.
  • Questions de cours

    • Pour une courbe paramétrée \(f\) et \(t_0\) fixé, donner la définition des entiers \(p \et q\) permettant l'étude locale, et illustrer les différents cas.
    • Pour \(f : t \mapsto \col{x(t)}{y(t)}{}\), on suppose que \(x(t) \tend{a} \pm \infty \et y(t) \tend{a} \pm\infty\). Citer et illustrer les différents cas de branches infinies possible.
    • Pour \(A \in \M_n(\K)\) et \(\lambda \in \K\), montrer que \(\lambda \in Sp(A) \iff \lambda\) est une racine de \(\chi_A\).

Colle 13, semaine 14

  • Courbes paramétrées

    • Brève introduction aux fonctions à valeurs vectorielles : on traite la continuité, la dérivabilité et la dérivation coordonnées par coordonnées.
    • Courbe paramétrée du plan : support, points réguliers, réduction du domaine d'étude.
    • Tangente à une courbe en un point régulier.
    • Etude locale : points de rebroussements, point d'inflexion.
    • Etude des éventuelles branches infinies.
  • Révisions

    • Pour \(A \in \M_n(\K)\), donner 4 conditions nécessaires et suffisantes pour que \(A \in GL_n(\K)\).
    • Définition de la trace d'un endomorphisme.
    • Caractérisation (CNS) du fait que la somme de sev \(\sum\limits_{k = 1}^p{F_k}\) est une somme directe.
  • Questions de cours

    • Pour la courbe \(f : \fonc{\R}{\R^2}{t}{\col{\cos(t)}{\sin(t)}{}}\) et \(t_0 \in \R\), donner un point et un vecteur directeur de la tangente en \(t_0\) puis donner une équation de cette tangente.
    • Pour une courbe paramétrée \(f\) et \(t_0\) fixé, donner la définition des entiers \(p \et q\) permettant l'étude locale, et illustrer les différents cas.
    • Pour \(f : t \mapsto \col{x(t)}{y(t)}{}\), on suppose que \(x(t) \tend{a} \pm \infty \et y(t) \tend{a} \pm\infty\). Citer et illustrer les différents cas de branches infinies possible.

Colle 12, semaine 13

  • Intégration sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur le théorème fondamental du calcul différentiel : expression intégrale d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.
    • Définition de l'intégrale sur \([a, b[\) ou sur \(]a, b]\) d'une fonction continue. Extension à \(]a, b[\).
    • Intégrales de référence : \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{e^{-\alpha t}\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\).
    • Théorème de comparaison des fonctions positives : \(\le, O_a, o_a, \eq{a}\) et conséquences.
    • Application à la preuve de divergence.
    • Fonctions intégrables sur un intervalle I : définition, l'intégrabilité implique la convergence de l'intégrale.
    • Changement de variable dans une intégrale impropre (ils conservent la nature, mais doivent être bijectif)
    • Intégration par parties.
  • Courbes paramétrées

    • Brève introduction aux fonctions à valeurs vectorielles : on traite la continuité, la dérivabilité et la dérivation coordonnées par coordonnées.
    • Courbe paramétrée du plan : support, points réguliers, réduction du domaine d'étude.
    • Tangente à une courbe en un point régulier.
  • Révisions

    • Donner la forme d'une matrice réduite d'un projecteur
    • Donner la forme d'une matrice réduite d'une symétrie
    • Citer, avec le domaine de validité, deux développements en séries usuels.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}{t^{\alpha - 1}e^{-t}\d t}}\) converge ssi \(\alpha > 0\)
    • En notant \(\Gamma(\alpha)\) l'intégrale précédente, montrer que \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \).
    • Pour la courbe \(f : \fonc{\R}{\R^2}{t}{\col{\cos(t)}{\sin(t)}{}}\) et \(t_0 \in \R\), donner un point et un vecteur directeur de la tangente en \(t_0\) puis donner une équation de cette tangente.

Colle 11, semaine 12

  • Compléments sur les espaces vectoriels

    • Espace stable par une application : définition, conséquence sur la forme d'une matrice dans une bonne base.
    • Projecteurs et symétries
  • Intégration sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur le théorème fondamental du calcul différentiel : expression intégrale d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.
    • Définition de l'intégrale sur \([a, b[\) ou sur \(]a, b]\) d'une fonction continue. Extension à \(]a, b[\).
    • Intégrales de référence : \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{e^{-\alpha t}\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\).
    • Théorème de comparaison des fonctions positives : \(\le, O_a, o_a, \eq{a}\) et conséquences.
    • Application à la preuve de divergence.
    • Fonctions intégrables sur un intervalle I : définition, l'intégrabilité implique la convergence de l'intégrale.
    • Changement de variable dans une intégrale impropre (ils conservent la nature, mais doivent être bijectif)
    • Intégration par parties.
  • Révisions

    • Donner la forme d'un matrice réduite d'un projecteur
    • Donner la forme d'un matrice réduite d'une symétrie
    • Citer, avec le domaine de validité, deux développements en séries usuels.
  • Questions de cours

    • \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\).
    • Montrer que \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}{t^{\alpha - 1}e^{-t}\d t}}\) converge ssi \(\alpha > 0\)
    • En notant \(\Gamma(\alpha)\) l'intégrale précédente, montrer que \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \).

Colle 10, semaine 11

  • Compléments sur les espaces vectoriels

    • Espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de la décomposition de 0 en somme, théorème de la base adaptée.
    • Rappels sur les applications linéaires : méthodes de preuve (définition, application canoniquement associée à une matrice, par opération).
    • Noyau et image, lien avec la bijectivité.
    • Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, caractérisation de la bijectivité.
    • Espace stable par une application : définition, conséquence sur la forme d'une matrice dans une bonne base.
    • Projecteurs et symétries
  • Intégration sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur le théorème fondamental du calcul différentiel : expression intégrale d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.
    • Définition de l'intégrale sur \([a, b[\) ou sur \(]a, b]\) d'une fonction continue. Extension à \(]a, b[\).
    • Intégrales de référence : \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\ln(t)\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{e^{-\alpha t}\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\), \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\)
  • Révisions

    • Donner une condition suffisante pour que la série à terme positif \(\sum{u_n}\) converge.
    • Donner une condition suffisante pour que la série à terme positif \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Citer le théorème de d'Alembert sur les séries numériques.
  • Questions de cours

    • Pour \(f \in \Li(E)\), montrer que \(\ker(f) \subset \ker(f^2)\).
    • Pour \(f \in \Li(E)\), montrer que \(\im(f^2) \subset \im(f)\).
    • \({\displaystyle{\int_{0}^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\).

Colle 9, semaine 10

  • Compléments sur les espaces vectoriels

    • Révisions sur la liberté d'une famille, sur la simplification d'une famille génératrice par opérations élémentaires.
    • Dimensions usuelles.
    • Somme de sous espaces, application de la dimension pour en calculer des exemples (dans les cas \(E\) de dimension 2 ou 3 par exemple).
    • Espaces supplémentaires : cas général, cas de la dimension finie. Théorème de la base adaptée.
    • Espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de la décomposition de 0 en somme, théorème de la base adaptée.
    • Rappels sur les applications linéaires : méthodes de preuve (définition, application canoniquement associée à une matrice, par opération).
    • Noyau et image, lien avec la bijectivité.
    • Applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, caractérisation de la bijectivité.
    • Espace stable par une application : définition, conséquence sur la forme d'une matrice dans une bonne base.
  • Révisions

    • Donner une condition suffisante pour que la série à terme positif \(\sum{u_n}\) converge.
    • Donner une condition suffisante pour que la série à terme positif \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Citer le théorème de d'Alembert sur les séries numériques.
  • Questions de cours

    • Montrer sur un exemple numérique qu'un plan et une droite de l'espace sont supplémentaires dans \(\R^3\).
    • Pour \(f \in \Li(E)\), montrer que \(\ker(f) \subset \ker(f^2)\).
    • Pour \(f \in \Li(E)\), montrer que \(\im(f^2) \subset \im(f)\).

Colle 8, semaine 9

  • Séries entières

    • Forme des séries entières, la somme est une fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
    • Développement en série d'une fonction : développements usuels.
  • Compléments sur les espaces vectoriels

    • Révisions sur la liberté d'une famille, sur la simplification d'une famille génératrice par opérations élémentaires.
    • Dimensions usuelles.
    • Somme de sous espaces, application de la dimension pour en calculer des exemples (dans les cas \(E\) de dimension 2 ou 3 par exemple).
    • Espaces supplémentaires : cas général, cas de la dimension finie. Théorème de la base adaptée.
  • Révisions

    • Exemple numérique : caractère libre ou lié d'une famille de 3 vecteurs (colonnes ou polynômes)
    • Trouver une base d'un plan vectoriel de l'espace.
    • Calculer la matrice dans une base non canonique d'un endomorphisme de \(\R^2\)
  • Questions de cours

    • Développement en série entière de \(x \mapsto \ln(1+x)\).
    • Développement en série entière de \(\sin\) en utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange (rappeler l'énoncé général du théorème avant de l'appliquer).
    • Montrer sur un exemple numérique qu'un plan et une droite de l'espace sont supplémentaires dans \(\R^3\).

Colle 7, semaine 8

  • Matrices

    • Déterminant d'une matrice carrée : factorisation par colonne ou par ligne, effet des opérations élémentaires.
    • Inversibilité.
    • Développement par rapport à une ligne ou à une colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\).
    • Déterminant d'une famille (en précisant la base), d'un endomorphisme.
  • Séries entières

    • Forme des séries entières, la somme est une fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
    • Développement en série d'une fonction : développements usuels.
  • Révisions

    • Exemple numérique : caractère libre ou lié d'une famille de 3 vecteurs (colonnes ou polynômes)
    • Trouver une base d'un plan vectoriel de l'espace.
    • Calculer la matrice dans une base non canonique d'un endomorphisme de \(\R^2\)
  • Questions de cours

    • Calcul du déterminant carré de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
    • Développement en série entière de \(x \mapsto \ln(1+x)\).
    • Développement en série entière de \(\sin\) en utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange.

Colle 6, semaine 7

  • Matrices

    • Matrices inversibles.
    • Opérations sur les matrices triangulaires, diagonales.
    • Théorème du rang pour les matrices : traduction en terme de système homogène associé (nombre d'inconnues principales, de paramètres).
    • Matrices d'une famille, d'une application linéaire. Traduction de l'inversibilité en termes de propriétés des objets représentés. Rang.
    • Changement de base pour un endomorphisme..
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : factorisation par colonne ou par ligne, effet des opérations élémentaires.
    • Inversibilité.
    • Développement par rapport à une ligne ou à une colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\).
    • Déterminant d'une famille (en précisant la base), d'un endomorphisme.
  • Révisions

    • Énoncer le théorème du rang.
    • Définition de \(\ker(f)\) où \(f \in \Li(E, F)\).
    • Rappeler la valeur de \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{x^n}\) et \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}}\) en précisant à chaque fois pour quelles valeurs de \(x\) ceci est valable.
  • Questions de cours

    • Si \(f\) est un endomorphisme de \(E\) (de dimension finie) et \(\B\) est une base de \(E\), \(\forall n \in \N\ \mat_{\B}(f^n) = (\mat_{\B}(f))^n\)
    • Montrer que deux matrices semblables ont la même trace. Expliquer ce qu'est la trace d'un endomorphisme.
    • Calcul du déterminant carré de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)

Colle 5, semaine 6

  • Révisions de géométrie

    • Produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l'espace.
    • Produit vectoriel dans l'espace.
    • Droites du plan, plan dans l'espace : trouver une base, un vecteur normal, des points....
    • Équations de cercle et de sphère.
  • Matrices

    • Révisions sur le produit matriciel, le calcul pratique d'inverse, la résolution de systèmes carrés ou non, avec ou sans paramètres.
    • Théorème du binôme de Newton, factorisation de \(A^n - B^n\).
    • Matrices inversibles.
    • Opérations sur les matrices triangulaires, diagonales.
    • Théorème du rang pour les matrices : traduction en terme de système homogène associé (nombre d'inconnues principales, de paramètres).
    • Matrices d'une famille, d'une application linéaire. Traduction de l'inversibilité en termes de propriétés des objets représentés. Rang.
    • Changement de base pour un endomorphisme..
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
  • Révisions

    • Énoncer le théorème du rang.
    • Définition de \(\ker(f)\) où \(f \in \Li(E, F)\).
    • Rappeler la valeur de \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{x^n}\) et \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}}\) en précisant à chaque fois pour quelles valeurs de \(x\) ceci est valable.
  • Questions de cours

    • Résolution ``propre'' d'un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues : identifications des pivots, inconnues principales et éventuels paramètres.
    • Si \(f\) est un endomorphisme de \(E\) (de dimension finie) et \(\B\) est une base de \(E\), \(\forall n \in \N\ \mat_{\B}(f^n) = (\mat_{\B}(f))^n\)
    • Montrer que deux matrices semblables ont la même trace. Interprétation pour un endomorphisme en dimension finie.

Colle 4, semaine 5

  • Séries numériques

    • Convergence absolue, elle implique la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
  • Révisions de géométrie

    • Produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l'espace.
    • Produit vectoriel dans l'espace.
    • Droites du plan, plan dans l'espace : trouver une base, un vecteur normal, des points....
    • Équations de cercle et de sphère.
  • Matrices

    • Révisions sur le produit matriciel, le calcul pratique d'inverse, la résolution de systèmes carrés ou non, avec ou sans paramètres.
    • Théorème du binôme de Newton, factorisation de \(A^n - B^n\).
  • Révisions

    • Savoir trouver un vecteur directeur et un point d'une droite du plan donnée par une équation cartésienne.
    • Trouver une équation d'une droite du plan donnée par un point et un vecteur directeur.
    • Calcul numérique d'un déterminant de taille 3.
  • Questions de cours

    • Dans le cas \(\alpha > 1\), montrer que la série \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge.
    • Pour \(z \in \C\), on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a, b \in \C\ f(a+b) = f(a)f(b)\).
    • Résolution ``propre'' d'un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues : identifications des pivots, inconnues principales et éventuels paramètres.

Colle 3, semaine 4

  • Séries numériques

    • Notion de série (définie comme suite des sommes partielles) , convergence, somme d'une série.
    • Différence de notation entre : série, somme d'une série, somme partielle.
    • Divergence grossière, linéarité de la somme des séries convergentes.
    • Séries de références : géométriques et Riemann.
    • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.
    • Règle de d'Alembert.
    • Convergence absolue, elle implique la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
  • Révisions

    • Savoir trouver un vecteur directeur et un point d'une droite du plan donnée par une équation cartésienne.
    • Trouver une équation d'une droite du plan donnée par un point et un vecteur directeur.
    • Calcul numérique d'un déterminant de taille 3.
  • Questions de cours

    • Pour \(q \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et donner la valeur de la somme en cas de convergence.
    • Dans le cas \(\alpha > 1\), montrer que la série \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge.
    • Pour \(z \in \C\), on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que \(\forall a, b \in \C\ f(a+b) = f(a)f(b)\).

Colle 2, semaine 3

  • Révisions sur les comparaisons

    • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Séries numériques

    • Notion de série (définie comme suite des sommes partielles) , convergence, somme d'une série.
    • Différence de notation entre : série, somme d'une série, somme partielle.
    • Divergence grossière, linéarité de la somme des séries convergentes.
    • Séries de références : géométriques et Riemann.
    • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.
  • Révisions

    • Formule de Taylor avec reste intégrale.
    • Définition de suites adjacentes.
    • Énoncé du théorème des suites adjacentes.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(q \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et donner la valeur de la somme en cas de convergence.

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions

    • Formule de Taylor avec reste intégrale.
    • Définition de suites adjacentes.
    • Énoncé du théorème des suites adjacentes.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Citer 4 développements limités parmi les développements usuels, sous forme de \(\Sigma\) et sous forme \(+ \dots +\) (avec au moins 3 termes avant les \(\dots\))
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