I Sur les fonctions

I.1 Relations de comparaisons

I.1.1 Définition

Soit

I

un intervalle,

a \in \bar{I}

f, g : I \to R

(

a

est dans

I

ou est une borne de

I

, éventuellement infinie)

On dit que $f \underset{a}{\sim} g$ ssi $\frac{f}{g} \underset{a}{\to} 1$ et $\frac{g}{f} \underset{a}{\to} 1$ . (f et g sont équivalentes, au voisinage de $a$ )
Cette définition n'a du sens que lorsque le calcul de ces limites en a un. En particulier, les fonctions en jeu ne s'annulent pas au voisinage de $a$ .
On dit que $f \underset{a}{=} o (g) ou f \underset{}{=} o_{a} (g)$ ssi $\frac{f}{g} \underset{a}{\to} 0$ . (f est négligeable devant g, au voisinage de $a$ )

En particulier les fonctions

f et g

ne peuvent pas être la fonction nulle

I.1.2 Remarque

On ne peut donc pas écrire

f \underset{a}{\sim} 0

avec notre définition...

I.1.3 Piège

Ce n'est pas parce que

f_{1} \underset{a}{\sim} g_{1} et f_{2} \underset{a}{\sim} g_{2}

que

f_{1} + f_{2} \underset{a}{\sim} g_{1} + g_{2}

. Trouver un exemple où on a pas

f_{1} + f_{2} \underset{a}{\sim} g_{1} + g_{2}

.
De même, on a pas forcément

\exp (f_{1}) \underset{a}{\sim} \exp (g_{1})

I.1.4 Exemple

On a $f (x) \underset{x \to a}{\to} 0 ⟺ f (x) = o_{a} (1)$ et plus généralement, $f (x) \underset{x \to a}{\to} ℓ \in R ⟺ f (x) = ℓ + o_{a} (1)$ .
On a $f (x) \underset{x \to a}{\to} ℓ \in R ∖ {0} ⟺ f (x) \underset{a}{\sim} ℓ$ . Attention au fait que $ℓ \neq 0$ et est une limite finie.

I.2 Les outils de calcul

I.2.1 Théorème (Taylor-Young)

Soit

f

une fonction de classe

C^{n}

sur un intervalle

I

a \in I

. Alors

f

possède un développement limité à l'ordre n en a sous la forme

$\begin{aligned} f (x) & = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + f^{″} (a) \frac{(x - a)^{2}}{2!} + f^{(3)} (a) \frac{(x - a)^{3}}{3!} + \\ \dots + f^{(n)} (a) \frac{(x - a)^{n}}{n!} + o_{a} ((x - a)^{n}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (a) \frac{(x - a)^{k}}{k!} + o_{a} ((x - a)^{n}) \end{aligned}$

I.2.2 Ecriture en 0

Dans le cas des formules usuelles,

a

est pris égal à 0 et on obtient

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + o_{0} (x^{n})

Une chose à bien retenir : les facteurs des puissances de

x

sont des nombres qui sont en fait les coefficients d'un certain polynôme.

I.2.3 Les développements usuels

Soient

α \in R

n \in N

. On a au voisinage de

0

les développements limités usuels suivant (à connaître !)

Exponentielle, logarithme, puissances
$e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + o_{0} (x^{n}) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o_{0} (x^{n})$
$\ln (1 + x) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} \frac{x^{k}}{k} + o (x^{n}) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x^{n}}{n} + o_{0} (x^{n})$
$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{n} x^{k} + o_{0} (x^{n}) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o_{0} (x^{n})$
$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \frac{α (α - 1) (α - 2)}{6} x^{3} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o_{0} (x^{n})$
Trigonométrie circulaire
$\sin x = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} + o_{0} (x^{2 k + 1}) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} o_{0} (x^{2 n + 1})$
$\cos x = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} + o_{0} (x^{2 n}) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + o_{0} (x^{2 n})$
Trigonométrie hyperbolique.
$s h x = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} + o_{0} (x^{2 k + 1}) = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + \dots + \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} o_{0} (x^{2 n + 1})$
$c h x = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} + o_{0} (x^{2 n}) = 1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \dots + \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + o_{0} (x^{2 n})$

I.2.4 Proposition

Avec les notations de la définition précédente, on a

f \underset{a}{\sim} g ⟺ f = g + o_{a} (g) ⟺ g = f + o_{a} (f)

. Il s'agit de l'outil le plus pratique pour passer d'un équivalent à un ``développement'', et réciproquement. On retrouve ici que l'équivalent en

a

d'une fonction est le premier terme non nul dans un développement limité en

a

I.2.5 Exemple

Une application directe : $e^{x} - 1 \underset{0}{\sim} x$ .
Avec des croissances comparées : $x^{2} + x + 1 = x^{2} + o_{+ \infty} (x^{2}) \underset{+ \infty}{\sim} x^{2}$ .

I.2.6 Proposition (Méthode d'intégration terme à terme)

Soit

f : I \to R

une fonction dérivable sur l'intervalle

I

a \in I

.
Si

f^{'}

admet un développement limité à l'ordre

n

a

alors

f

admet un développement limité à l'ordre

n + 1

a

qui s'obtient en calculant terme à terme une primitive du développement de

f^{'}

et en choisissant comme constante la valeur

f (a)

I.2.7 A savoir retrouver

En utilisant la méthode d'intégration terme à terme (sans oublier de rajouter la bonne constante d'intégration, à savoir le terme

f (0)

dans Taylor-Young)

Le développement à tout ordre de $\arctan$
Les développements à un ordre donné de $\arcsin, \arccos$

I.2.8 Règles de calcul

Rappel :

On peut multiplier, diviser ou mettre à une puissance fixée une relation d'équivalence, mais pas sommer ni soustraire terme à terme. On ne peut pas composer de chaque côté une relation d'équivalence par une fonction (en particulier, par $\exp ou \ln$ ).
Les développements sont des égalités qui se manipulent donc comme telles, avec les règles de calculs connues sur les $o_{a}$ :
- $o_{a} (f) \pm o_{a} (f) = o_{a} (f)$ : quand plusieurs $o_{a}$ identiques apparaissent, on en conserve un seul
- Si $λ$ est une constante non nulle, $o_{a} (λ f) = o_{a} (f)$ .
- Dans le cas d'une forme $o_{a} (f) + o_{a} (g)$ on conserve un seul ``petit o'' : on retire celui qui est négligeable devant l'autre.
- $o_{a} (f) \pm o_{a} (f) = o_{a} (f)$ : rien ne sert de faire apparaître un signe moins devant un $o_{a}$ , ni d'avoir deux fois le même $o_{a}$ dans une somme.
- $f \times o_{a} (g) = o_{a} (f g)$ . à lire dans les deux sens !
- A l'intérieur d'un ``petit o'' ou d'un ``grand o'', on peut remplacer une expression par son équivalent.
- On peut effectuer des changements de variables dans les développement usuels en 0, à condition que la nouvelle expression tende bien vers 0.

Conclusion : à par pour une multiplication ou division (ou mise à une puissance fixe) terme à terme, on passera systématiquement par un développement en utilisant la règle

f \underset{a}{\sim} g ⟺ f = g + o_{a} (g) ⟺ g = f + o_{a} (f)

I.2.9 Exemple

Trouvons un équivalent de $\sqrt{x^{2} + 1}$ en $+ \infty$ . On a $x^{2} + 1 \underset{+ \infty}{\sim} x^{2}$ car $1 = o_{+ \infty} (x^{2})$ . Ainsi $\sqrt{x^{2} + 1} \underset{+ \infty}{\sim} \sqrt{x^{2}} = x$ (car on est au voisinage de $+ \infty$ et donc $x \geq 0$ ).
Donnons un développement de $\ln (x + 1)$ en $+ \infty$ . Ici on ne peut pas utiliser l'équivalent usuel qui n'est valable que lorsque $x \to 0$ .
Pour $x > 0$ , on a $\ln (x + 1) = \ln (x (1 + \frac{1}{x}))$ ( méthode importante : on a factorisé à l'intérieur par l'équivalent ), donc
$\ln (1 + x) = \ln (x) + \ln (1 + \frac{1}{x}) = \ln (x) + \frac{1}{x} + o_{+ \infty} (\frac{1}{x})$
où la dernière étape est un changement de variable $u = \frac{1}{x} \underset{x \to + \infty}{\to} 0$ dans l'équivalent usuel $\ln (1 + u) \underset{0}{\sim} u$ ou encore dans le développement $\ln (1 + u) = u + o_{0} (u)$ .
On ne peut pas sommer les équivalents, donc ici on est obligé de passer la forme développement.

I.2.10 Proposition (Équivalent par encadrement)

Soient

f, g, h : I \to R

a \in \bar{I}

(

a \in I

a

est une borne de

I

, éventuellement ouverte).
Si on a

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

pour

x

au voisinage de

a

, et

f (x) \underset{a}{\sim} h (x)

alors

g (x) \underset{a}{\sim} f (x) \underset{a}{\sim} h (x)

Preuve

On a

h (x) = f (x) + o_{a} (f (x))

et donc, au voisinage de

a

f (x) \leq g (x) \leq f (x) + o_{a} (f (x))

. Ainsi

0 \leq g (x) - f (x) \leq o_{a} (f (x))

.
Comme

f

ne s'annule pas au voisinage de

a

(on a supposé qu'on connaît un équivalent de

f

, voir la définition),

| f (x) | > 0

pour

x

au voisinage de

a

et en divisant par

| f (x) | > 0

on obtient

0 \leq | \frac{g (x) - f (x)}{f (x)} | \leq o_{a} (\frac{f (x)}{| f (x) |})

car ici

g (x) - f (x) = | g (x) - f (x) |

. De plus,

\frac{f (x)}{| f (x) |}

est une quantité qui vaut toujours 1 ou -1 et donc le

o_{a}

tend vers 0 lorsque

x \to a

.
D'après le théorème d'encadrement,

| \frac{g (x) - f (x)}{f (x)} | \underset{x \to a}{\to} 0

et donc

\frac{g (x) - f (x)}{f (x)} \underset{x \to a}{\to} 0

. Ce ci peut s'écrire

g (x) - f (x) = o_{a} (f (x))

ou encore

g (x) = f (x) + o_{a} (f (x))

. CQFD.
La preuve est technique dans le cas général car on ne connaît pas le signe de

f

alors qu'on veut diviser une inégalité. En pratique, le signe de

f

est souvent évident au voisinage de

a

et la preuve devient beaucoup plus simple.

I.3 Croissances comparées

I.3.1 Sur les puissances

Soient

α, β \in R

avec

α < β

. Les comportements en 0 et

+ \infty

sont opposés :

x^{α} = o_{+ \infty} (x^{β}) et x^{β} = o_{0} (x^{α})

I.3.2 Rappel

On peut se souvenir du résultat précédent grâce à un autre résultat important du cours : les positions relatives des fonctions puissances.

I.3.3 Théorème (Retour en terminale)

lim_{x \to 0} x \ln (x) = 0, lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x)}{x} = 0, lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0

Ces résultats nous permettrons de démontrer la version du théorème vue en 1ère année

Preuve

Montrons d'abord que $\frac{\ln (x)}{x} \underset{x \to + \infty}{\to} 0$ .
Soit $x \geq 1$ , alors on a $\ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ . Comme, pour $t \in [1, x]$ , on a $t \geq \sqrt{t} > 0$ , on a alors $\frac{1}{t} \leq \frac{1}{\sqrt{t}}$ et par croissance de l'intégrale
$\ln (x) \leq [2 \sqrt{t}]_{1}^{x} = 2 \sqrt{x} - x$
En divisant par $x > 0$ , on obtient $0 \leq \frac{\ln (x)}{x} \leq \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x}$ . D'après le théorème d'encadrement, on en déduit $\frac{\ln (x)}{x} \underset{x \to + \infty}{\to} 0$ .
On sait que $x = e^{t} \underset{t \to + \infty}{\to} + \infty$ . Par changement de variable dans la limite précédente, on obtient donc $\frac{\ln (e^{t})}{e^{t}} \underset{t \to + \infty}{\to} 0^{+}$ et par passage à l'inverse $\frac{e^{t}}{t} \underset{t \to + \infty}{\to} + \infty$ .
Montrons finalement que $x \ln (x) \underset{x \to 0^{+}}{\to} 0^{-}$ .
Cette fois on effectue le changement de variable $t = \frac{1}{x} \underset{x \to 0^{+}}{\to} + \infty$ et on avait $\frac{\ln (t)}{t} \underset{t \to + \infty}{\to} 0$ . On en déduit $x \ln (\frac{1}{x}) \underset{x \to 0^{+}}{\to} 0$ ou encore $- x \ln (x) \underset{x \to 0^{+}}{\to} 0$ . Il suffit de passer à l'opposé.

I.3.4 Théorème (Comparaison en $+\infty$)

Soient

α, β \in] 0, + \infty [

. Ces nombres sont strictement positifs.

${(\ln (x))}^{α} = o_{+ \infty} (x^{β})$ .
$x^{β} = o_{+ \infty} (e^{x})$

Preuve

La même technique de changement de variable permet de prouver seulement la première comparaison.
Or, pour

x > 1

\frac{(\ln (x))^{α}}{x^{β}} = {(\frac{\ln (x)}{x^{\frac{β}{α}}})}^{α}

. Remarquons, en posant

t = x^{\frac{β}{α}}

que

x = t^{\frac{α}{β}}

et donc

\ln (x) = \frac{α}{β} \ln (t)

.
De plus,

\frac{β}{α} > 0

et donc

t \underset{x \to + \infty}{\to} + \infty

. On a déjà vu, que

\frac{\ln (t)}{t} \underset{t \to + \infty}{\to} 0

. Il reste à voir, en posant

u = \frac{α}{β} \frac{\ln (t)}{t}

que

u \underset{t \to + \infty}{\to} 0

u^{α} \underset{u \to 0}{\to} 0

car

α > 0

pour conclure :

\frac{(\ln (x))^{α}}{x^{β}} \underset{x \to + \infty}{\to} 0

I.3.5 Théorème (Comparaison en 0)

Soient

α, β \in] 0, + \infty [

| \ln (x) |^{α} = o_{0} (\frac{1}{x^{β}})

ou encore

x^{β} | \ln (x) |^{α} \underset{0^{+}}{\to} 0

Preuve

Il s'agit simplement de poser

t = \frac{1}{x}

dans le théorème précédent car on a

x \to 0^{+} ⟺ t \to + \infty

II Sur les suites

Ici la situation est plus simple, car les seules limite que l'on peut étudier sont quand l'indice (souvent noté

n

) tend vers

+ \infty

Rappel

Pour une suite

(u_{n}) \in C^{N}

on a

u_{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0 ⟺ | u_{n} | \underset{n \to + \infty}{\to} 0

II.1 Rappels sur les suites géométriques

II.1.1 Forme des suites géométriques

Ce sont les suites

(u_{n})_{n \in N}

qui vérifient une relation de récurrence de la forme

u_{n + 1} = q u_{n}

où

q \in C

est fixé (comprendre, ne dépend pas de l'indice

n

).
On a alors, par une récurrence facile,

\forall n \in N u_{n} = u_{0} q^{n}

II.1.2 Lemme

Soit

q \in C ∖ {1}

. Si

(q^{n})_{n \in N}

converge alors sa limite est 0.

Preuve

Notons

\forall n \in N u_{n} = q^{n}

et supposons que

u_{n} \underset{+ \infty}{\to} l \in C

.
Alors

u_{n + 1} \underset{+ \infty}{\to} l

. Mais pour tout

n \in N

, on a

u_{n + 1} = q^{n + 1} = q u_{n}

et donc par produit de limites finies

u_{n + 1} \underset{+ \infty}{\to} q l

. Par unicité de la limite,

l = q l

et donc

l (q - 1) = 0

. Comme

q - 1 \neq 0

on a alors

l = 0

II.1.3 Théorème (Limites des suites géométriques)

Soit

q \in C

$q^{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ ssi $| q | < 1$ .
$(q^{n})_{n \in N}$ converge ssi $| q | < 1$ ou $q = 1$ .
Dans le cas où $q \in R$ on peut ajouter que $q^{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty$ ssi $q > 1$ .

II.2 Comparaison des suites

II.2.1 Proposition

Soient

(u_{n}) \in R^{N}

une suite bornée et

(v_{n}) \in R^{N}

une suite.

Si $v_{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ alors $u_{n} v_{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ .
Si $v_{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty$ alors $\frac{u_{n}}{v_{n}} \underset{+ \infty}{\to} 0$ ou encore $u_{n} = o_{+ \infty} (v_{n})$ .

II.2.2 Définition

Soient

(u_{n}), (v_{n}) \in C^{N}

deux suites avec

(v_{n})

qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On dit que

(u_{n})

est dominée par

(v_{n})

ssi la suite

(| \frac{u_{n}}{v_{n}} |)_{n \in N}

est majorée.
On note alors

u_{n} = O_{+ \infty} (v_{n})

(grand o).

II.2.3 Règles de calcul

Elles sont les mêmes que pour les petits o. En particulier on pourra écrire

$O_{+ \infty} (u_{n}) = u_{n} O_{+ \infty} (1)$
$O_{+ \infty} (u_{n}) \pm O_{+ \infty} (u_{n}) = O_{+ \infty} (u_{n})$

avec, comme d'habitude, la précaution élémentaire de se souvenir que chaque

O

représente une suite, et que ces suites ne sont pas égales même si elles s'écrivent sous la même forme.

II.2.4 Proposition (Comparaison à une suite géométrique)

Soit

(u_{n})

une suite à valeurs strictement positive . On suppose que

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{+ \infty}{\to} ℓ \in R^{+}

(ou

ℓ = + \infty

Si $ℓ < 1$ , alors pour tout $q \in] ℓ, 1 [$ , $u_{n} = o_{+ \infty} (q^{n})$ .
Si $ℓ > 1$ , alors pour tout $q >] 1, ℓ [$ , $q^{n} = o_{+ \infty} (u_{n})$ .

Dans le cas

ℓ = 1

, on ne peut pas directement comparer

(u_{n})

à une suite géométrique à l'aide d'une relation de négligeabilité qui indiquerait la limite de

(u_{n})

Preuve

On traite le cas

0 \leq ℓ < 1

. Le cas

ℓ > 1

est une conséquence directe en passant à l'inverse.
Soit

q \in] ℓ, 1 [

. On pose

a = \frac{q + ℓ}{2}

(le milieu de

q et ℓ

, sur la droite réelle). Alors on a

ℓ < a < q < 1

.
A partir d'un certain rang

n_{0}

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \in] 0, a]

. Ainsi pour

n > n_{0}

, on peut écrire

u_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} \times \frac{u_{n - 1}}{u_{n - 2}} \times \dots \times \frac{u_{n_{0} + 1}}{u_{n_{0}}} \times u_{n_{0}}

Par multiplications d'inégalités entre nombres positifs, on a donc

u_{n} \leq a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} = a^{n} K

où

K = \frac{u_{n_{0}}}{a^{n_{0}}}

est une constante (on a fixé

q

).
Toujours par multiplication d'inégalités entre nombres positifs,

0 \leq \frac{u_{n}}{q^{n}} \leq K {(\frac{a}{q})}^{n}

. or

\frac{a}{q} \in [0, 1 [

et donc par le théorème d'encadrement,

u_{n} = o_{+ \infty} (q^{n})

II.2.5 Corollaire

Avec les mêmes notations, et toujours pour

(u_{n})

strictement positive

Si $l < 1$ , alors $u_{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ .
Si $l > 1$ alors $u_{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty$ .

Le résultat de la proposition est plus précis, car il indique que

(u_{n})

tend ``plus vite'' que certaines suites géométriques.

II.2.6 Théorème

Soient

α, β \in] 0, + \infty [

. Soit

q > 1

$\ln (n)^{α} = o_{+ \infty} (n^{β})$ .
$n^{β} = o_{+ \infty} (q^{n})$
$q^{n} = o_{+ \infty} (n!)$ .
$n! = o_{+ \infty} (n^{n})$ .

Preuve

Il s'agit d'un simple changement de variable dans le théorème sur les fonctions.
Idem, en rappelant que comme $q > 0$ , on a $q^{n} = e^{n \ln (q)}$ et comme $q > 1$ on a bien $\ln (q) > 0$ .
Cette fois on ne peut pas se fier aux fonctions, car nous ne connaissons pas (encore...) de fonction dont la restriction à $N$ serait la factorielle.
Utilisons le résultat de II.2.4 . Pour $n \geq 0$ , on pose $u_{n} = \frac{q^{n}}{n!} > 0$ . Alors
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{q^{n + 1}}{(n + 1)!} \times \frac{n!}{q^{n}} = \frac{q}{n + 1} \underset{+ \infty}{\to} 0$
On peut ainsi en conclure que $u_{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0$ qui est bien la définition de $q^{n} = o_{+ \infty} (n!)$ .
On a même prouvé un résultat plus fort et complètement naturel (si on y prend garde) : $(u_{n})$ tend vers $0$ ``plus vite'' que n'importe quelle suite géométrique, ou encore : on peut multiplier $(u_{n})$ par n'importe quelle suite géométrique, par exemple $(1000^{n})$ et on a encore $1000^{n} u_{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$
Utilisons la même technique. Posons, pour $n > 0$ , $u_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$ . On a bien $\forall n \in N ∖ {0} u_{n} > 0$ .
De plus,

$\begin{aligned} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} & = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{(} n + 1)} \times \frac{n^{n}}{n!} = \frac{n + 1}{(n + 1)^{n} \times (n + 1)} \times n^{n} \\ = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} = {(\frac{n + 1}{n})}^{- n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{- n} \\ = e^{- n \ln (1 + \frac{1}{n})} \end{aligned}$

Or $\ln (1 + u) \underset{u \to 0}{\sim} u$ et on a $\frac{1}{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ . Donc $\ln (1 + \frac{1}{n}) \underset{+ \infty}{\sim} \frac{1}{n}$ et par produit d'équivalents,
$- n \ln (1 + \frac{1}{n}) \underset{+ \infty}{\sim} - 1$
On ne peut pas composer cet équivalent par l'exponentielle pour obtenir un équivalent de $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$
Ainsi $- n \ln (1 + \frac{1}{n}) \underset{+ \infty}{\to} - 1$ et par composition de limites $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{+ \infty}{\to} e^{- 1} < 1$ .
Ainsi, d'après II.2.4 , $u_{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ et on a bien $n! = o_{+ \infty} n^{n}$ .