I Séries convergentes

I.1 Vocabulaire

I.1.1 Définition

Soit

(u_{n}) \in C^{N}

une suite.

On appelle série de terme général $u_{n}$ et on note $\sum u_{n}$ ou $\sum_{n \geq 0} u_{n}$ la suite $(S_{N})$ définie par $\forall N \in N S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ On dit que $S_{N}$ (le nombre) est la $N$ ième somme partielle de cette série.

0

n_{0}

u_{n} = 0

n \in ⟦ 0, n_{0} - 1 ⟧

\sum_{n \geq n_{0}} u_{n}

On dit que la série $\sum u_{n}$ converge ssi la suite des somme partielles converge. Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Sa nature est d'être convergente ou divergente.

S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}

Dans le cas d'une série convergente, la suite des restes de la série est la suite définie par $R_{N} = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_{n} = S - S_{N}$

I.1.2 Exemple

Considérons la série

\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}

. On note

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n}

N

-ième somme partielle, pour

N \in N ∖ {0}

.
Alors

$\begin{aligned} S_{1} & = 1 \\ S_{2} & = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ S_{3} & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \\ S_{4} & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} \\ \dots \end{aligned}$

La figure I.1.2 illustre l'évolution des valeurs de

S_{N}

: on place sur un graphique des points de coordonnées

(N, S_{N})

pour différentes valeurs de

N

.
Sur la dernière figure, on a également fait figurer la fonction

x \mapsto \ln (x) + γ

où

γ

est une certaine constante.

Sommes partielles de la série harmonique

I.1.3 Proposition

Soit

(z_{n})_{n} \in C^{N}

une suite de complexes et notons

z_{n} = x_{n} + i y_{n}

la forme algébrique de chaque terme.

\sum_{n \in N} z_{n}

converge ssi

\sum_{n \in N} x_{n}

\sum_{n \in N} y_{n}

convergent. En cas de convergence on a

\sum_{n = 0}^{+ \infty} z_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x_{n} + i \sum_{n = 0}^{+ \infty} y_{n}

Preuve

Simple traduction de la même propriété sur les suites, en considérant les suites de sommes partielles.

I.1.4 Modifier une série

On ne change pas la nature convergente ou divergente d'une série en modifiant les

k

premières valeurs de

u_{n}

pour un

k

fixé. Par contre on modifie la valeur de la somme...
Par exemple,

\sum_{n \geq 0} u_{n}

converge ssi

\sum_{n \geq 2} u_{n}

converge (ce qui revient à fixer à 0 les deux premiers termes de

u_{n}

I.1.5 Définition-proposition

Soit

(u_{n}) \in C^{N}

.
SI

u_{n} \underset{n \to + \infty}{↛} 0

ALORS

\sum u_{n}

diverge.
Dans ce cas on dit que

\sum u_{n}

diverge grossièrement.

Preuve

Supposons, au contraire, que

\sum u_{n}

converge. Notons

(S_{N})

la suite des sommes partielles.
Alors on a

S_{N} - S_{N - 1} = u_{N}

et comme

(S_{N})

converge,

u_{N} \underset{N \to + \infty}{\to} 0

. Contradiction.

I.1.6 Utilisation

Ce résultat n'a qu'une seule utilité : prouver qu'une série diverge. La contraposée est : si

\sum u_{n}

converge alors

(u_{n})

converge et sa limite est 0.
Exemple : montrer que

\sum {(1 - \frac{1}{n})}^{n}

diverge.

I.1.7 Proposition

Considérons 2 séries

\sum u_{n} et \sum v_{n}

Si $\sum u_{n} et \sum v_{n}$ convergent alors $\forall λ, μ \in C \sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ converge. Dans ce cas
$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (λ u_{n} + μ v_{n}) = λ \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} + μ \sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n}$
Si $\sum u_{n}$ converge et $\sum v_{n}$ diverge alors $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge.
Si $\sum u_{n} et \sum v_{n}$ divergent, on ne peut rien dire a priori sur $\sum (u_{n} + v_{n})$ (cette dernière série peut être convergente ou divergente, suivant les cas).

Preuve

Trivial. Revenir aux sommes partielles.
On fait un raisonnement par l'absurde. Si $\sum (u_{n} + v_{n})$ converge, alors, d'après le point précédent, $\sum ((u_{n} + v_{n}) - u_{n})$ converge. Contradiction.
Par exemple $\sum (1 + (- 1))$ converge.

I.1.8 Attention

Le premier point est très pratique. Il s'agit de la linéarité de la somme de séries, mais il ne s'applique que lorsque

\sum u_{n} et \sum v_{n}

convergent toutes les deux.

I.2 Séries de référence

I.2.1 Proposition (Séries géométriques)

Soit

q \in C

\sum_{n \geq 0} q^{n}

converge ssi

| q | < 1

\sum_{n = 0}^{+ \infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q} .

Preuve

D'après le chapitre précédent

(q^{n})

converge vers 0 ssi

| q | < 1

, ce qui prouve la divergence grossière si

| q | \geq 1

.
Pour la convergence dans le cas

| q | < 1

, on effectue le calcul classique, pour

N \in N

\sum_{n = 0}^{N} q^{n} = \frac{1}{1 - q} - q^{N + 1} \frac{1}{1 - q}

avec

q^{N + 1} \underset{N \to + \infty}{\to} 0

car

| q | < 1

I.2.2 Théorème

Soit

α \in R

\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{α}}

converge ssi

α > 1

Preuve

On évacue directement le cas

α \leq 0

: la sériediverge grossièrement.
Pour les cas

α > 0

, on utilise une méthode très utile.
Soit

N \geq 2

. On note

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{α}}

. Remarquons que

S_{N + 1} - S_{N} = \frac{1}{(N + 1)^{α}} \geq 0

et donc

(S_{N})

est une suite réelle croissante.
Pour

n > 1

, on a

\int_{n}^{n + 1} \frac{1}{t^{α}} d t \leq \frac{1}{n^{α}} \leq \int_{n - 1}^{n} \frac{1}{t^{α}} d t

car la fonction

t \mapsto \frac{1}{t^{α}}

est décroissante sur

] 0, + \infty [

.
En sommant pour

n

allant de 2 à

N

on obtient

\int_{2}^{N + 1} \frac{1}{t^{α}} d t \leq S_{N} - 1 \leq \int_{1}^{N} \frac{1}{t^{α}} d t

Distinguons maintenant 3 cas :

Si $α = 1$ , l'encadrement devient $\ln (N + 1) - \ln (2) + 1 \leq S_{N} \leq \ln (N) + 1$ . Par encadrement, $S_{N} \underset{N \to + \infty}{\to} + \infty$ et donc la série harmonique $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}$ diverge.
Si $α \neq 1$ , une primitive de $t \mapsto t^{- α}$ sur $R_{+}^{*}$ est $t \mapsto \frac{1}{- α + 1} t^{- α + 1}$ .
Dans ce cas on obtient l'encadrement
$\frac{1}{1 - α} ((N + 1)^{1 - α} - 2^{1 - α}) + 1 \leq S_{N} \leq \frac{1}{1 - α} ((N + 1)^{1 - α} - 1) + 1$
Pour étudier le comportement lorsque $N \to + \infty$ , nous devons connaître le signe de $1 - α$ .
Traitons pour commencer le cas $1 - α > 0$ c'est à dire $α < 1$ . Dans ce cas $S_{N} \to + \infty$ par encadrement et la série $\sum \frac{1}{n^{α}}$ diverge.
Si $α > 1$ , c'est à dire $1 - α < 0$ , on obtient l'inégalité $S_{N} \leq \frac{1}{α - 1} (1 - \frac{1}{N^{α - 1}}) + 1 \leq \frac{1}{α - 1} + 1$ .
Alors la suite $(S_{N})$ est majorée en plus d'être croissante et converge donc.

En résumant tous les cas traités,

\sum \frac{1}{n^{α}}

converge ssi

α > 1

(et donc diverge ssi

α \leq 1

I.2.3 Série divergente

La série

\sum \frac{1}{n}

est une série divergente appelée série harmonique.

I.2.4 Théorème (Taylor avec reste intégral)

Soit

f \in C^{n + 1} (I, K)

une fonction définie sur un intervalle

I

a \in I

\forall x \in I f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!} f^{(n + 1)} (t) d t

Preuve

Soit

x \in I

Le cas $n = 0$ est simplement $f (x) = f (a) + \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t$ qui est bien vérifié lorsque $f$ est $C^{1}$ .
Supposons, pour un $n \geq 1$ fixé, qui la formule est valide pour l'entier $n - 1$ et une fonction $f$ de classe $C^{n}$ .
Alors, par intégration par parties, on a
$\int_{a}^{x} \frac{(x - t)^{n - 1}}{(n - 1)!} \times f^{(n)} (t) d t = {[- \frac{(x - t)^{n}}{n!} f^{(n)} (t)]}_{a}^{x} - \int_{a}^{x} - \frac{(x - t)^{n}}{n!} f^{(n + 1)} (t) d t$
Le crochet vaut $- 0 + \frac{(x - a)^{n}}{n!} f^{(n)} (a)$ qui est exactement le terme d'indice $n$ dans la somme proposée.
Finalement, par récurrence, la théorème est vrai pour tous les entiers $n$ .

I.2.5 Proposition (Série exponentielle)

Pour tout

x \in R

la série

\sum \frac{x^{n}}{n!}

converge et on a

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x}

Preuve

Soit

x \in R

. La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à l'ordre

n

\exp

entre 0 et

x

(

\exp

est de classe

n + 1

sur ce segment) donne

e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!} e^{t} d t

Ainsi

| e^{x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} | \leq \frac{1}{n!} | \int_{0}^{x} | (x - t)^{n} e^{t} | d t | \leq \frac{1}{n!} | \int_{0}^{x} | x |^{n} e^{t} d t | = \frac{| x |^{n} | e^{x} - 1 |}{n!}

.
Par croissances comparées,

\frac{| x |^{n}}{n!} \underset{n \to + \infty}{\to} 0

et donc

\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}

I.2.6 Une série télescopique

Exemple : Calculer la somme

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n (n + 1)}

I.3 Séries à termes positifs

I.3.1 Cadre

On s'intéresse dans ce paragraphe aux séries

\sum u_{n}

où

(u_{n})

est une suite de réels positifs .
En posant, pour

N \in N

S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}

, on voit que

S_{N + 1} - S_{N} = u_{N + 1} \geq 0

. Ainsi la suite

(S_{N})

des sommes partielles est une suites croissantes de réels.

I.3.2 Théorème

Soit

(u_{n})_{n}

une suite de réels positifs .

\sum u_{n}

converge ssi la suite des sommes partielles est majorée.
Dans ce cas,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} = sup ({\sum_{k = 0}^{N} u_{n} | N \in N})

I.3.3 Remarque

Le théorème suivant est fondamental pour la compréhension et l'intuition des séries à termes positifs convergentes. Le terme général ne doit pas ``être trop grand'', ou encore il doit tendre vers 0 (sinon : divergence grossière) ``suffisamment vite''.

I.3.4 Théorème (Comparaison des séries à termes positifs)

Soient

(u_{n})_{n}, (v_{n})_{n}

des suites de réels positifs .

Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et $\sum v_{n}$ converge alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $u_{n} = O_{+ \infty} (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ converge alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $u_{n} = o_{+ \infty} (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ converge alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $u_{n} \underset{+ \infty}{\sim} v_{n}$ , $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ ont la même nature.

Preuve

On note

(S_{N})

(T_{N})

les suites des sommes partielles des séries

\sum u_{n}

\sum v_{n}

respectivement.

On fait la preuve dans le cas où le certain rang est le rang 0. Sinon, comme dit précédemment, on peut ignorer les premiers termes de chaque séries sans changer leurs natures.
On a alors, par somme d'inégalités, $S_{N} \leq T_{N}$ pour tout $N \in N$ . Comme $\sum v_{n}$ converge, $(T_{N})$ est une suite majorée. Notons $M$ un majorant. On a finalement $\forall N \in N S_{N} \leq M$ et donc $(S_{N})$ est majorée donc converge.
On a cette fois, pour un certain $M \in R^{+}$ fixé, $\forall n \in N u_{n} \leq M v_{n}$ (car $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est majorée et on note $M$ un majorant). Par linéarité, $\sum M v_{n}$ converge et on applique le point précédent.
Dans ce cas, on a (cf TD) $u_{n} = O (v_{n})$ et on applique le point précédent.
Dans ce cas on a à la fois $u_{n} = O (v_{n}) et v_{n} = O (u_{n})$ ...

I.3.5 Remarque

Ce théorème sera notre meilleur outil pour prouver la convergence ou la divergence des séries. L'idée fondamentale pour son application : on trouve

(v_{n})

qui permet de vérifier les hypothèses de 3. ou 4. en cherchant

\sum v_{n}

parmi les séries de référence.

I.3.6 Exemple

$\sum \frac{1}{n^{n}}$ converge.
On a $\frac{1}{n^{n}} = o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{2}})$ . Or $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge et donc, par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \frac{1}{n^{n}}$ converge.
$\sum \frac{n + 3}{n^{3} - n}$ converge.
Cette fois, $\frac{n + 3}{n^{3} - n} \underset{+ \infty}{\sim} \frac{1}{n^{2}}$ . On conclut en utilisant exactement la même rédaction qu'au 1).

I.3.7 Convergence et croissances comparées

Rappelons qu'avec la notation

<<

signifiant ``est négligeable devant'', on avait

\frac{1}{n^{n}} << \frac{1}{n!} << q^{n} << \frac{1}{n^{α}} << \frac{1}{\ln (n)^{β}}

lorsque

α, β > 0

| q | < 1

. On peut résumer l'interaction avec le théorème précédent par

\underset{la série converge}{\underset{⏟}{\frac{1}{n^{n}} << \frac{1}{n!} << q^{n} << \frac{1}{n^{α}} (α > 1)}} << \underset{la série diverge}{\underset{⏟}{\frac{1}{n^{α}} (α \leq 1) << \frac{1}{\ln (n)^{β}}}}

I.3.8 Séries à termes négatifs

Pour traiter une série dont les termes sont négatifs (à partir d'un certain rang) on utilise le résultat (facile !) suivant :

\sum u_{n} converge ssi \sum (- u_{n}) converge

I.3.9 Méthode

Après avoir vérifié que

u_{n} \geq 0

, on commence par calculer un équivalent simple si possible et on raisonne sur l'équivalent, par exemple en essayant de la comparer à un terme général de série de Riemann. On peut également calculer un développement asymptotique pour trouver cet équivalent.

I.3.10 $n^{α} u_{n}$

Soit

(u_{n})_{n}

une suite de réels positifs et

α > 1

Si on a $n^{α} u_{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0$ alors $\sum u_{n}$ converge.

u_{n} = o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{α}})

Si on a $n^{α} u_{n} \underset{+ \infty}{\to} ℓ \neq 0$ alors $\sum u_{n}$ converge car $u_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \frac{ℓ}{n^{α}}$ qui est un terme général de signe constant d'une série convergente.

On utilise généralement ce raisonnement après avoir calculé un équivalent, si possible. Voir le point précédent.

I.3.11 Exemple

Montrer que la série $\sum_{n \geq 0} \frac{n}{2^{n}}$ converge. Question 5/2 : quelle est sa somme ? Quel chapitre utiliser ?
On pose $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ pour tout $n$ . Alors $n^{2} u_{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ et donc $u_{n} = o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{2}})$ .
Comme $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge, par comparaison de série à termes positifs, $\sum u_{n}$ converge.
Montrer que la série $\sum_{n \geq 1} \frac{(n + 3) \ln (n)}{n^{3} + 3 n + 2}$ converge.
En posant $u_{n}$ le terme général pour $n \geq 1$ , on a $u_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \frac{n \ln (n)}{n^{3}} = \frac{\ln (n)}{n^{2}}$ . Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_{n} et \sum \frac{\ln (n)}{n^{2}}$ ont la même nature.
De plus, $n^{α} \frac{\ln (n)}{n^{2}} \underset{+ \infty}{\to} 0 ⟺ α < 2$ par croissances comparées. Ainsi $\frac{\ln (n)}{n} = o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}})$ ; Comme $\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_{n}$ converge.

I.3.12 Proposition

Si on a

(u_{n}) et (v_{n})

positives :

Si $v_{n} \leq u_{n}$ à partir d'un certain rang et $\sum v_{n}$ diverge alors $\sum u_{n}$ diverge.
Si $v_{n} = o_{+ \infty} (u_{n})$ et $\sum v_{n}$ diverge alors $\sum u_{n}$ diverge.

I.3.13 Remarque

Pour prouver la divergence, les relations entre les suites

(u_{n})

(v_{n})

sont inversées.

I.3.14 Exemple

Montrer que la série $\sum \frac{n + 2}{n^{2} - 4}$ diverge. On calcule un équivalent
Montrer que la série $\sum \frac{1}{\ln (n)}$ diverge.
Cette fois on a $\frac{1}{n} = o_{+ \infty} (\frac{1}{\ln (n)})$ ( calculer le quotient ).
Par l'absurde. Si $\sum \frac{1}{\ln (n)}$ converge, alors par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \frac{1}{n}$ converge. Contradiction. Donc $\sum \frac{1}{\ln (n)}$ diverge.

I.3.15 Pour montrer la divergence

On a trois principales méthodes :

le terme général ne tend même pas vers 0 : divergence grossière.
on calcule un équivalent qui est un terme général de série divergente.
$n u_{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty$ , ce qui donne $\frac{1}{n} = o_{+ \infty} (u_{n})$ .

I.3.16 Théorème (Règle de d'Alembert)

Soit

(u_{n}) \in R^{N}

telle que

\forall n \in N u_{n} > 0

. Supposons que

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{}{\to} ℓ

Si $ℓ < 1$ alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $ℓ > 1$ alors $\sum u_{n}$ diverge.
Si $ℓ = 1$ la série peut être divergente ou convergente.

Preuve

On reprend le théorème correspondant dans le chapitre précédent et on applique le théorème de comparaison des séries à termes positifs à

\sum u_{n}

et une série géométrique convergente ( pour 1) ou divergente (pour 2).
Pour prouver le point 3, remarquer que les séries de Riemann sont toutes dans le cas

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = {(\frac{n}{n + 1})}^{α} \underset{+ \infty}{\to} 1

(composition par une puissance FIXÉE). Pourtant, suivant les valeurs de

α

la série converge ou diverge.

I.3.17 Utilisation

En général, le calcul de la limite du quotient n'est pas aisé, et en pratique vaut souvent 1...
Si l'expression de $u_{n}$ fait apparaître des quantité $n!$ ou $α^{n}$ en facteur, la règle de d'Alembert peut être efficace.

I.3.18 Exemple

Montrer que la série de terme général

u_{n} = \frac{n!}{n^{n}}

converge. On peut ainsi retrouver un résultat bien connu de croissances comparées sur les suites.
On a bien

u_{n} > 0

pour tout

n \in N

. De plus,

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{n \to + \infty}{\to} e^{- 1} < 1

(voir le chapitre 0). Ainsi, d'après la règle de d'Alembert,

\sum u_{n}

converge.

I.4 Séries alternées

I.4.1 Théorème (Théorème des séries alternées)

Soit

(u_{n})_{n \in N}

une suite réelle.
Si

(u_{n})

est décroissante et converge vers 0 alors

\sum (- 1)^{n} u_{n}

converge.

Preuve

Posons, pour

N \in N

a_{N} = \sum_{n = 0}^{2 N} (- 1)^{n} u_{n} et b_{N} = \sum_{n = 0}^{2 N + 1} (- 1)^{n} u_{n}

. Alors

$b_{N} - a_{N} = - u_{2 N + 1} \underset{N \to + \infty}{\to} 0$ car $u_{n} \to 0$ (il s'agit de l'opposé d'une suite extraite de $(u_{n})$ )
$a_{N + 1} - a_{N} = u_{2 N + 2} - u_{2 N + 1} \leq 0$ ( car $(u_{n})$ est décroissante ) donc $(a_{N})$ est décroissante.
$b_{N + 1} - b_{N} = - u_{2 N + 3} + u_{2 N + 2} \geq 0$ donc $(b_{N})$ est croissante.

Finalement,

(a_{N}) et (b_{N})

sont deux suites adjacentes et convergent donc vers une limite commune

ℓ \in R

. Ainsi les sommes partielles de

\sum (- 1)^{n} u_{n}

convergent vers

ℓ

(leurs suites des termes d'indice pairs et impairs le font).

I.4.2 Remarque

Une suite réelle décroissante et convergeant vers 0 est forcément positive.

I.4.3 Exemple

La série

\sum \frac{(- 1)^{n}}{n}

converge. La preuve est simple.
Observons les sous-suites de sommes partielles qui sont adjacentes sur la figure I.4.3

I.4.4 Un contre exemple

On peut avoir

u_{n} \underset{}{\sim} v_{n}

\sum v_{n}

converge et

\sum u_{n}

diverge si la condition de positivité des suites n'est pas respectée.
Pour

n > 1

, posons

u_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n} + (- 1)^{n}}, v_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}}

Comme $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ en décroissant, $\sum v_{n}$ est une série alternée donc converge.
$u_{n} \underset{+ \infty}{\sim} v_{n}$ car $(- 1)^{n} = o_{+ \infty} (\sqrt{n})$ (comparaison d'une suite bornée à une suite de limite infinie).
$u_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} \frac{1}{1 + \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}}} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} (1 - \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} + o_{+ \infty} (\frac{1}{n})) = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} + \frac{(- 1)^{n}}{n \sqrt{n}} + o_{\infty} (\frac{1}{n \sqrt{n}})$ .
Ainsi $u_{n}$ est la somme de 3 termes généraux de séries convergentes et d'un terme général de série divergente donc $\sum u_{n}$ diverge.

I.4.5 Proposition (Encadrement de la somme)

Soit

\sum (- 1)^{n} u_{n}

une série alternée comme au théorème précédent. Notons, pour

N \in N

S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} (- 1)^{n} u_{n}

N

ième somme partielle. Alors

\forall N \in N S_{2 N + 1} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} u_{n} \leq S_{2 N}

Preuve

Simple conséquence de la preuve précédente.

I.4.6 Remarque

Les deux résultats précédents s'appliquent également aux séries de la forme

\sum (- 1)^{n + 1} u_{n}

mais les inégalités sont renversées.
L'idée étant que si on termine une somme partielle par un terme positif, alors la valeur est supérieure à la limite.

I.4.7 Proposition

Soit

(u_{n})_{n \in N}

une suite réelle, décroissante et convergeant vers 0. Notons

v_{n} = (- 1)^{n} u_{n}

pour tout

n \in N

Notons, pour

N \in N

R_{N} = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} v_{n}

le reste de rang

N

de la série convergente

\sum v_{n}

. Alors pour tout

N \in N

$R_{N}$ est du signe de $v_{N + 1}$ (son premier terme).
$| R_{N} | \leq | v_{N + 1} |$

Preuve

En reprenant la preuve du théorème I.4.1 , on a pour tout

N

b_{N} \leq ℓ \leq a_{N}

ou encore

0 \leq ℓ - b_{N} \leq a_{N} - b_{N} et b_{N} - a_{N} \leq ℓ - a_{N} \leq 0

Comme

ℓ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} u_{n}

et avec les notations de la proposition précédente, on a

\forall k \in N R_{k} = ℓ - S_{k}

Ainsi

0 \leq R_{2 N + 1} \leq u_{2 N + 1} et - u_{2 N + 1} \leq R_{2 N} \leq 0

ce qui prouve le premier point.
De plus,

| R_{2 N} | = S_{2 N} - ℓ = a_{N} - ℓ \leq a_{N} - b_{N} = u_{2 N + 1} = | v_{2 N + 1} |

| R_{2 N + 1} | = ℓ - S_{2 N + 1} = ℓ - b_{N}

Comme

ℓ \leq a_{N + 1}

on obtient

| R_{2 N + 1} | \leq a_{N + 1} - b_{N} = u_{2 N + 2} = | v_{2 N + 2} |

et la seconde propriété est vérifiée pour tous les indices, qu'ils soient pairs ou impairs.

I.5 Application à l'étude de suites

I.5.1 Proposition

Soit

(u_{n})_{n}

une suite. La suite

(u_{n} - u_{0})_{n \in N}

à la même limite (ou absence de limite) que

\sum (u_{n + 1} - u_{n})

Preuve

Il s'agit simplement d'observer que les sommes partielles sont des sommes télescopiques.

I.5.2 Exemple

u_{n} = \ln (\frac{n! e^{n}}{n^{n}})

. Convergence ?
Posons, pour

n \geq 1

v_{n} = u_{n} - u_{n - 1} = \ln (n) - n \ln (n) + (n - 1) \ln (n - 1) + 1 = (n - 1) \ln (\frac{n - 1}{n}) - 1 = (n - 1) \ln (1 - \frac{1}{n}) - 1

.
En utilisant

\ln (1 - u) = - u - \frac{u^{2}}{2} + o_{0} (u^{2})

avec

u = \frac{1}{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0

on trouve

(n - 1) \ln (1 - \frac{1}{n}) = (n - 1) (- \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}} + o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{2}})) = - 1 + \frac{1}{2 n} + o_{+ \infty} (\frac{1}{n})

Attention au produit

n \times o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{2}}) = o_{+ \infty} (\frac{1}{n})

Ainsi

v_{n} = \frac{1}{2 n} + o_{+ \infty} (\frac{1}{n})

et donc

v_{n} \underset{+ \infty}{\sim} (\frac{1}{2 n})

et donc

\sum v_{n}

diverge par comparaison de séries à termes positifs. On en déduit que

(u_{n})

diverge (et même

u_{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty

car

\sum v_{n}

est une série à termes positifs).

I.5.3 Exemple

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln (n)

. Montrer que

(u_{n})

converge en étudiant la convergence de

\sum (u_{n} - u_{n - 1})

.
Même technique, on calcule un équivalent de

v_{n} = u_{n} - u_{n - 1}

en utilisant un développement de

\ln (1 + u)

. On trouve un terme général de série de Riemann convergente cette fois-ci.

II Convergence absolue

II.1 Convergence d'une série complexe

II.1.1 Définition

Soit

\sum u_{n}

une série complexe. On dit que cette série est absolument convergente ssi

\sum_{n \geq 0} | u_{n} |

converge (prononcer module ou valeur absolue suivant les cas).

Explication

On regarde en fait la convergence d'une série positive, pour laquelle tous les théorèmes précédents s'appliquent.

II.1.2 Théorème

Soit

(u_{n}) \in C^{N}

. Si

\sum u_{n}

converge absolument alors

\sum u_{n}

converge et on a

| \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} | \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} |

Preuve

Cas réel.
On pose pour tout $n \in N$ , $u_{n}^{+} = max (u_{n}, 0)$ et $u_{n}^{-} = max (- u_{n}, 0)$ .
C'est à dire que $u_{n}^{+}$ est $u_{n}$ si $u_{n} \geq 0$ et 0 sinon.
$u_{n}^{-}$ est $| u_{n} |$ si $u_{n} \leq 0$ et 0 sinon.
Ainsi ces deux nombres sont positifs et on a $u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}, | u_{n} | = u_{n}^{+} + u_{n}^{-}$ .
On pose pour $N \in N$ , $S_{N} = \sum_{0}^{N} u_{n} et S_{n}^{'} = \sum_{0}^{N} | u_{n} |$ .
On sait que $S_{N}^{'} \underset{+ \infty}{\to} l \in R^{+}$ . Or $S_{N}^{'} = \sum_{0}^{N} u_{n}^{+} + \sum_{0}^{N} u_{n}^{-}$ .
Ces deux dernières sommes sont à termes positifs et majorées par $l$ donc les séries $\sum u_{n}^{+} et \sum u_{n}^{-}$ convergent.
Ainsi $\sum u_{n}$ converge par différence de série convergente.
Cas complexe.
Cette fois on pose $u_{n} = x_{n} + i y_{n}$ et on sait que $\sum | x_{n} + i y_{n} |$ converge.
Soit $n \in N$ . On a $| x_{n} | \leq | u_{n} | et | y_{n} | \leq | u_{n} |$ donc les séries $\sum x_{n} et \sum y_{n}$ convergent absolument donc convergent par le point précédent.
Ainsi la combinaison linéaire $\sum (x_{n} + i y_{n})$ converge.

II.1.3 Méthode obligatoire

Pour étudier une série complexe ou une série dont le signe n'est pas constant, on étudiera toujours d'abord la convergence absolue.

II.1.4 Exemple

Montrer que

\sum_{n \geq 0} \frac{\sin (n)}{n!}

converge.
Solution : Majorer la valeur absolue par un terme général (positif) de série convergente.

II.1.5 Proposition

Soit

z \in C

\sum_{n \geq 0} \frac{z^{n}}{n!}

converge.
Lorsque

x \in R

on a de plus

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x}

Preuve

Pour

z \neq 0

posons

u_{n} = | \frac{z^{n}}{n!} | \geq 0

u_{n} \neq 0

car

z \neq 0

. Alors

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{+ \infty}{\to} 0

d'après le chapitre 0 et donc

\sum u_{n}

converge d'après la règle de d'Alembert.
Ainsi

\sum \frac{z^{n}}{n!}

converge absolument donc converge. Le cas

z = 0

est trivial car la suite des sommes partielles est constante égale à 1.

II.1.6 Attention

La réciproque est fausse. Par exemple la série

\sum \frac{(- 1)^{n}}{n + 1}

converge (en tant que série alternée), mais ne converge pas absolument.
Calculons la somme de cette série. Pour le voir, prenons

x \neq 1

et notons que

\sum_{k = 0}^{n} x^{k} = \frac{1}{1 - x} - \frac{x^{n + 1}}{1 - x}

. En intégrant sur

[- 1, 0]

on obtient

\sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} = \ln (2) - \int_{- 1}^{0} \frac{x^{n + 1}}{1 - x} d x

. Or

0 \leq \frac{| x^{n + 1} |}{1 - x} \leq | x^{n + 1} |

sur l'intervalle

[- 1, 0]

et par croissance de l'intégrale et inégalité triangulaire

0 \leq | \int_{- 1}^{0} \frac{x^{n + 1}}{1 - x} d x | \leq \frac{1}{n + 1}

.
Finalement,

\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} = \ln (2)

II.2 Propriétés

II.2.1 Proposition

Soient

(u_{n}), (v_{n}) \in C^{N}

Si $| u_{n} | \leq | v_{n} |$ et $\sum v_{n}$ converge absolument alors $\sum u_{n}$ converge absolument.
Si $u_{n} = O_{+ \infty} (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ converge absolument alors $\sum u_{n}$ converge absolument.
Si $u_{n} = o_{+ \infty} (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ converge absolument alors $\sum u_{n}$ converge absolument.
Si $u_{n} \underset{+ \infty}{\sim} v_{n}$ alors $\sum v_{n}$ converge absolument si et seulement si $\sum u_{n}$ converge absolument.

Preuve

Simple comparaison de séries à termes positifs.
Par définition de la relation de domination, on a aussi $| u_{n} | = O_{+ \infty} (| v_{n} |)$ et on applique le théorème de comparaison des séries à termes positifs.
Idem
Reprendre la preuve du cas positif.

II.2.2 Théorème

Soient

\sum a_{n} et \sum b_{n}

deux séries de complexes absolument convergentes. Pour tout

n \in N

on pose

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}

. Alors la série

\sum c_{n}

converge absolument et

\sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} \times \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n}

Preuve

Hors programme

On considère pour commencer que $(a_{n}) et (b_{n})$ sont des suite réelles positives.
Notons, pour $N \in N$ , $A_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n}, B_{N} = \sum_{n = 0}^{N} b_{n}, C_{N} = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} = \sum_{n = 0}^{N} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ . Posons de plus $A = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} et B = \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n}$
Alors $C_{N} = \sum_{k = 0}^{N} \sum_{n = k}^{N} a_{k} b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{N} (a_{k} \sum_{i = 0}^{N - k} b_{i})$ .
Remarquons de plus que $A_{N} B_{N} = \sum_{k = 0}^{N} a_{k} \sum_{i = 0}^{N} b_{i}$ (qui est une somme qui contient plus de termes).
Ainsi $C_{N} \leq A_{N} B_{N} \leq A B$ . La série $\sum c_{n}$ , qui est une série de termes positifs, est majorée et donc converge. On note $C$ sa somme.
Mais on a également $C_{2 N} = \sum_{k = 0}^{N} (a_{k} \sum_{i = 0}^{2 N - k} b_{i}) + \sum_{k = N + 1}^{2 N} (a_{k} \sum_{i = 0}^{2 N - k} b_{i}) \geq \sum_{k = 0}^{N} (a_{k} \sum_{i = 0}^{N} b_{i}) = A_{N} B_{N}$
la majoration étant valable car on retranche des termes positifs.
Finalement, $C_{N} \leq A_{N} B_{N} \leq C_{2 N}$ et par passage à la limite ( $N \to + \infty$ , les limites existent) on obtient bien $C = A B$ .
Revenons maintenant au cas général.
On note en plus, $c_{n}^{'} = \sum_{k = 0}^{n} | a_{k} | | b_{n - k} |$ , $A_{N}^{'} = \sum_{n = 0}^{N} | a_{n} |, B_{N}^{'} = \sum_{n = 0}^{N} | b_{n} |, C_{N}^{'} = \sum_{n = 0}^{N} c_{n}^{'}$ et $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ les sommes de ces 3 séries ( $A^{'}, B^{'}$ existent par hypothèse, $C^{'}$ d'après le cas réel positif).
On a, d'après le point précédent, $A_{N}^{'} B_{N}^{'} - C_{N}^{'} \underset{N \to + \infty}{\to} 0$ .
De plus, $\sum_{n = 0}^{N} | c_{n} | \leq C_{N}^{'} \leq C^{'}$ par inégalité triangulaire et donc $\sum c_{n}$ converge absolument (série à termes positifs majorée) et on note encore $C$ sa somme (l'existence de $C$ n'est pas nécessaire à la suite du raisonnement).
D'après les calculs du premier point, $A_{N} B_{N} - C_{N}$ est une somme $\sum_{(i, j) \in E} a_{i} b_{j}$ où $E \subset {⟦ 0, N ⟧}^{2}$ (qui représente les termes restant après simplification, ie. ceux qui n'apparaissent pas dans $C_{N}$ ), on a par inégalité triangulaire,
$| A_{N} B_{N} - C_{N} | \leq \sum_{(i, j) \in E} | a_{i} b_{j} | = A_{N}^{'} B_{N}^{'} - C_{N}^{'} .$
Par encadrement, $A_{N} B_{N} - C_{N} \underset{N \to + \infty}{\to} 0$ donc $C = A B$ .

II.2.3 Exemple

Posons pour

z \in C

f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!}

. Montrer que

\forall a, b \in C f (a + b) = f (a) f (b)

.
On a bien ici le produit de deux séries absolument convergentes. Notons, pour

n \in N

a_{n} = \frac{a^{n}}{n!} et b_{n} = \frac{b^{n}}{n!}

.
Alors la formule du produit de Cauchy donne

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{a^{k}}{k!} \frac{b^{n - k}}{(n - k)!} \frac{n!}{n!} = \frac{1}{n!} (a + b)^{n}

d'après le théorème du binôme de Newton.
Ainsi

f (a) f (b) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(a + b)^{n}}{n!} = f (a + b)

II.2.4 Définition

Pour

z \in C

quelconque, on définit

\exp (z)

par

\exp (z) = e^{z} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!}

I Séries convergentes

I.1 Vocabulaire

I.1.1 Définition

I.1.2 Exemple

I.1.3 Proposition

I.1.4 Modifier une série

I.1.5 Définition-proposition

I.1.6 Utilisation

I.1.7 Proposition

I.1.8 Attention

I.2 Séries de référence

I.2.1 Proposition (Séries géométriques)

I.2.2 Théorème

I.2.3 Série divergente

I.2.4 Théorème (Taylor avec reste intégral)

I.2.5 Proposition (Série exponentielle)

I.2.6 Une série télescopique

I.3 Séries à termes positifs

I.3.1 Cadre

I.3.2 Théorème

I.3.3 Remarque

I.3.4 Théorème (Comparaison des séries à termes positifs)

I.3.5 Remarque

I.3.6 Exemple

I.3.7 Convergence et croissances comparées

I.3.8 Séries à termes négatifs

I.3.9 Méthode

I.3.10 nαun

I.3.11 Exemple

I.3.12 Proposition

I.3.13 Remarque

I.3.14 Exemple

I.3.15 Pour montrer la divergence

I.3.16 Théorème (Règle de d'Alembert)

I.3.17 Utilisation

I.3.18 Exemple

I.4 Séries alternées

I.4.1 Théorème (Théorème des séries alternées)

I.4.2 Remarque

I.4.3 Exemple

I.4.4 Un contre exemple

I.4.5 Proposition (Encadrement de la somme)

I.4.6 Remarque

I.4.7 Proposition

I.5 Application à l'étude de suites

I.5.1 Proposition

I.5.2 Exemple

I.5.3 Exemple

II Convergence absolue

II.1 Convergence d'une série complexe

II.1.1 Définition

Explication

II.1.2 Théorème

II.1.3 Méthode obligatoire

II.1.4 Exemple

II.1.5 Proposition

II.1.6 Attention

II.2 Propriétés

II.2.1 Proposition

II.2.2 Théorème

II.2.3 Exemple

II.2.4 Définition

I.3.10 $n^{α} u_{n}$