Surfaces

Dans ce chapitre on rapporte l'espace usuel euclidien à

R^{3}

par le choix d'un repère orthonormé de référence

(O, \vec{ı}, \vec{ȷ}, \vec{k})

et on identifie les points avec leur colonne de coordonnées.

I Représentation des surfaces

I.1 Surface paramétrée

I.1.1 Définition

On appelle nappe paramétrée ou surface paramétrée une fonction de classe

C^{k}

(

k \geq 1

) définie sur un ouvert

U

R^{2}

et à valeurs dans

R^{3}

. Une telle fonction

f

sera notée

f : (u, v) \mapsto \vec{O M} (u, v) = (\begin{matrix} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{matrix})

.
Le support d'une surface paramétrée est l'ensemble

S = {M (u, v) | (u, v) \in U} = f (U)

.
On a alors

A = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix}) \in S ⟺ \exists (u, v) \in U {\begin{cases} x_{0} = x (u, v) \\ y_{0} = y (u, v) \\ z_{0} = z (u, v) \end{cases}

I.1.2 Exemple

On considère le plan affine

P = A + V e c t (\vec{u}, \vec{v})

où

A = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), \vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), \vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

.
Alors

M : (\begin{matrix} x \\ y \\ y \end{matrix}) \in P ⟺ \exists u, v \in R M = A + u \vec{u} + v \vec{v} ⟺ (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 + u + 2 v \\ 2 + 0 u + v \\ 1 + u + 2 v \end{matrix})

et donc

P

est le support de la nappe paramétrée

f : (u, v) \mapsto (\begin{matrix} - 1 + u + 2 v \\ 2 + 0 u + v \\ 1 + u + 2 v \end{matrix})

On écrit souvent que

P

est paramétré par

{\begin{cases} x = - 1 + u + 2 v \\ y = 2 + v \\ z = 1 + u + 2 v \end{cases}, (u, v) \in R^{2}

I.1.3 Exemple

Pour

u, v \in [- π, π] \times [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

on pose

M (u, v) = (\begin{matrix} \sin (u) \cos (v) \\ \sin (u) \sin (v) \\ \cos (u) \end{matrix})

(Si on veut définir

f

sur un ouvert on peut la définir sur

R^{2}

)

I.1.4 Définition

Soit

f : U \to R^{3}

une nappe paramétrée et

(u_{0}, v_{0}) \in U

.
Au point

M_{0} = M (u_{0}, v_{0})

on peut définir deux courbes paramétrées de l'espace appelées courbes coordonnées de

f

M_{0}

$Γ_{1} : u \mapsto f (u, v_{0})$ .
$Γ_{2} : v \mapsto f (u_{0}, v)$ .

I.1.5 Explication

Il s’agit de courbes, car on utilise un seul paramètre
Ces courbes passent par le point $M_{0}$ .

Lien géogébra : Lancer l’animation sur seulement u ou v pour voir des exemples.
Au point

M_{0}

, on peut définir la droite tangente à

Γ_{1}

lorsque

\frac{d Γ_{1}}{d u} (u_{0}) \neq \vec{0}

( ce n’est pas le seul cas, pour l’étude locale des courbes ) ie

\frac{\partial f}{\partial u} (u_{0}, v_{0}) \neq \vec{0}

.
De même, pour

Γ_{2}

où on obtient la condition

\frac{\partial f}{\partial v} (u_{0}, v_{0}) \neq \vec{0}

. Lorsque ces deux droites ne sont pas confondues, elles définissent un plan affine passant par

M_{0}

I.1.6 Définition

Soit

f : (u, v) \mapsto \vec{O M} (u, v)

une surface paramétrée définie sur un ouvert

U \subset R^{2}

. On note

S

son support. Soit

(u_{0}, v_{0}) \in U

M_{0} = M (u_{0}, v_{0})

On dit $M_{0}$ est un point regulier de $S$ (ou de $f$ ) ssi $(\frac{\partial \vec{O M}}{\partial u} (u_{0}, v_{0}), \frac{\partial \vec{O M}}{\partial v} (u_{0}, v_{0}))$ est libre c'est à dire ssi
$\frac{\partial \vec{O M}}{\partial u} (u_{0}, v_{0}) \land \frac{\partial V e c t O M}{\partial v} (u_{0}, v_{0}) \neq \vec{0}$ .
Sinon on dit que $M_{0}$ est un point singulier ou stationnaire.
Si $M_{0}$ est régulier, on appelle plan tangent à $S$ en $M_{0}$ le plan $M_{0} + V e c t (\frac{\partial M}{\partial u} (u_{0}, v_{0}), \frac{\partial M}{\partial v} (u_{0}, v_{0})) .$

I.1.7 Exemple

Pour

(u, v) \in R^{2}

on pose

{\begin{cases} x (u, v) = u + v \\ y (u, v) = u - v \\ z (u, v) = u v \end{cases}

. Trouvons les points réguliers ainsi que le plan tangent en

(u, v) = (0, 0)

\frac{\partial M}{\partial u} (u, v) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ v \end{matrix}), \frac{\partial M}{\partial v} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ u \end{matrix})

. Alors

\frac{\partial M}{\partial u} (u, v) \land \frac{\partial M}{\partial v} (u, v) = (\begin{matrix} u + v \\ u + v \\ - 2 \end{matrix}) \neq \vec{0}

.
En

(0, 0)

le plan tangent est normal à

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

donc a une équation de la forme

z + c = 0

où

c \in R

est à trouver. Or

M (0, 0) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

, donc le plan cherché est d'équation

z = 0

.
Plus généralement, au point

M (u_{0}, v_{0})

, le plan tangent est normal à

(\begin{matrix} u_{0} + v_{0} \\ u_{0} + v_{0} \\ - 2 \end{matrix})

et possède donc une équation de la forme

(u_{0} + v_{0}) x + (u_{0} + v_{0}) y - 2 z + c = 0

où

c \in R

est à trouver. Or ce plan passe par

M (u_{0}, v_{0})

donc

(u_{0} + v_{0})^{2} + u_{0}^{2} - v_{0}^{2} - 2 u_{0} v_{0} + c = 0

. Après simplification on trouve

c = - 2 u_{0}^{2}

.
Donner une représentation paramétrique de ce plan.
Lien géogébra : Faire varier u et v pour voir les plans tangents

I.1.8 Définition

On considère

M_{0} = M (u_{0}, v_{0})

un point régulier d’une nappe paramétrée. La droite normale à cette nappe en

M_{0}

est la droite passant par

M_{0}

et perpendiculaire au plan tangent en

M_{0}

(elle est dirigée par un vecteur normal à ce plan).

I.2 Surface définie par une équation cartésienne

I.2.1 Définition

Soit

U

un ouvert de

R^{3}

f \in C^{1} (U, R)

. On appelle surface d'équation (implicite)

f (x, y, z) = 0

l'ensemble

Σ = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3} | f (x, y, z) = 0}

(l'ensemble des solutions de l'équation).
Un point

M \in Σ

est dit régulier ssi

\vec{g r a d} f (M) \neq \vec{0}

et singulier sinon.

I.2.2 Cas particulier des surfaces représentatives

L’équation se met sous la forme

z = ϕ (x, y)

où

ϕ

est

C^{1}

sur un ouvert de

R^{2}

. Une telle surface peut être paramétrée par

M (u, v) = (\begin{matrix} u \\ v \\ f (u, v) \end{matrix})

.
Tous les points sont réguliers, car on obtient

\frac{\partial M}{\partial u} (u, v) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} (u, v) \end{matrix}), \frac{\partial M}{\partial v} (u, v) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} (u, v) \end{matrix})

et le plan tangent est normal à

(\begin{matrix} - \frac{\partial ϕ}{\partial x} (u, v) \\ - \frac{\partial ϕ}{\partial y} (u, v) \\ 1 \end{matrix})

.
On retrouve le résultat du cours sur les fonctions de deux variables. Au point

M_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix})

de la surface

S : z = ϕ (x, y)

, le plan tangent est d'équation

z - \underset{= ϕ (x_{0}, y_{0})}{\underset{⏟}{z_{0}}} = (x - x_{0}) \frac{\partial ϕ}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + (y - y_{0}) \frac{\partial ϕ}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

I.2.3 Exemple

On peut par exemple considérer les surfaces d'équation

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

x^{2} + y^{2} = 4

(décrire cette dernière).
Lien géogébra : Faire varier la valeur de a pour voir l’effet.

I.2.4 Egalité avec une surface paramétrée

Reprenons

M (u, v) = (\begin{matrix} \sin (u) \cos (v) \\ \sin (u) \sin (v) \\ \cos (u) \end{matrix})

et notons

S

le support de la nappe paramétrée.
Si

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = M (u, v) \in S

alors

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

et donc

S \subset Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

. Dans le cas général, montrer l'égalité est délicat. Le cas favorable est quand les surfaces ne sont pas égales et il suffit de trouver un point de

Σ

qui ne soit pas dans

S

(on raisonne souvent sur les signes d'une ou plusieurs coordonnées).
Dans notre exemple, il y a égalité et nous allons le montrer.
Soit

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in Σ

. Ainsi

(x^{2} + y^{2}) + z^{2} = 1

. Donc il existe un

α \in] - π, π]

(unique d'ailleurs) tel que

z = \cos (α) et x^{2} + y^{2} = \sin^{2} α

.
Si

\sin (α) = 0

, alors

x = y = 0

z = \pm 1

Alors

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = M (0, 0) ou M (0, π)

.
Sinon,

{(\frac{x}{\sin α})}^{2} + {(\frac{y}{\sin α})}^{2} = 1

et donc (toujours d'après le cours de sup), il existe

β \in] - π, π]

tel que

\frac{x}{\sin α} = \cos β et \frac{y}{\sin α} = \sin β

.
En posant

u = α

v = β

, on a bien

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = M (u, v)

et donc

Σ \subset S

I.2.5 Théorème (Plan tangent)

Soit

U

un ouvert de

R^{3}

f \in C^{1} (U, R)

. Soit

Σ

la surface d'équation

f (x, y, z) = 0

M_{0} \in Σ

un point régulier.
Alors le plan tangent à

Σ

M_{0}

est le plan passant par

M_{0}

et normal à

\vec{g r a d} f (M_{0})

ie le plan d'équation

(x - x_{0}) \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (y - y_{0}) \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (z - z_{0}) \frac{\partial f}{\partial z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

Preuve

En partie admise.
On admet que lorsque

\vec{g r a d} f (M_{0}) \neq \vec{0}

, on peut trouver une nappe paramétrée régulière égale à

Σ

au voisinage de

M_{0}

sous la forme

(u, v) \mapsto (\begin{matrix} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{matrix}) = M (u, v)

M_{0} = M (0, 0)

.
Alors,

f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) = 0

et en dérivant par rapport à

u

on obtient

\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial f}{\partial z} = 0

et de même pour

v

. Alors, en interprétant ces relations comme produit scalaire, on voit que le gradient est bien orthogonale aux deux vecteurs dérivés partiels de

\vec{O M}

I.2.6 Exemple

Calculons l'équation du plan tangent et une représentation paramétrique de la normale en tout point régulier de

S : z = x^{2} - y^{2}

.
Tous les points sont réguliers (le gradient en

M_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix})

est

\vec{g r a d} f (M_{0}) = (\begin{matrix} 2 x_{0} \\ - 2 y_{0} \\ - 1 \end{matrix}) \neq \vec{0}

) et en

M_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ x_{0}^{2} - y_{0}^{2} \end{matrix}) \in S

, le plan tangent est

P_{0} : z = z_{0} + (x - x_{0}) 2 x_{0} + (y - y_{0}) \times (- 2 y_{0}) = 2 x_{0} x - 2 y_{0} y - x_{0}^{2} + y_{0}^{2}

La normale est alors

(\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ x_{0}^{2} - y_{0}^{2} \end{matrix}) + V e c t (\begin{matrix} 2 x_{0} \\ - 2 y_{0} \\ - 1 \end{matrix})

. Elle est paramétrée par

{\begin{cases} x = x_{0} + 2 x_{0} t \\ y = y_{0} - 2 y_{0} t \\ z = x_{0}^{2} - y_{0}^{2} - t \end{cases}, t \in R

Bilan des représentations : on se donne un point

M : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3}

Dire que $M$ est un point d'une surface d'équation donnée,
c'est dire que les coordonnées de $M$ vérifient cette équation.
Dire que $M$ est un point d'une nappe paramétrée, c'est dire
qu'on peut exprimer les coordonnées de $M$ en fonctions de deux réels (notés $u et v$ plus haut).

I.3 Courbes tracées sur des surfaces

On a déjà croisé les courbes coordonnées sur les nappes paramétrées. Généralisons le résultat.

I.3.1 Modes de définition

Pour une nappe paramétrée $S$ , les courbes tracées sur $S$ sont des courbes de la forme $t \mapsto \vec{O M} (u (t), v (t))$ .
Le cas des courbes coordonnées est un cas particulier où l’une des fonctions $u ou v$ est constante et l’autre l’identité.
Pour une surface $Σ$ donnée par une équation $f (x, y, z) = 0$ , les courbes tracées sur $Σ$ sont les courbes de la forme $t \mapsto (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \\ z (t) \end{matrix})$ où pour tout $t$ on a $f (x (t), y (t), z (t)) = 0$ .

I.3.2 Exemple

On considère la sphère paramétrée comme plus haut et la courbe

Γ : t \mapsto M (t, t) = (\begin{matrix} \cos (t) \sin t \\ \sin^{2} (t) \\ \cos (t) \end{matrix})

.
Lien géogébra : Lancer la lecture sur u pour voir apparaître la courbe
On peut par exemple vouloir projeter cette courbe sur un plan et tracer la courbe obtenue. Le faire sur le plan d’équation

y = 0

. Pour projeter on note

C

la courbe projetée, il faut traduire la condition

M = (\begin{matrix} x \\ 0 \\ z \end{matrix}) \in C

ssi il existe

M_{0} = (\begin{matrix} x \\ y_{0} \\ z \end{matrix}) \in Γ

On trouve immédiatement une paramétrisation de

C

, car un

y_{0}

existe toujours

C : {\begin{cases} x (t) = \cos (t) \sin (t) = \frac{1}{2} \sin (2 t) \\ y (t) = \cos (t) \end{cases}

Voir le cours sur les courbes paramétrées (il y a un exemple similaire) et on peut tracer le support dans le plan

(x O y)

(d'équation

y = 0

).
On a placé l'axe

(O z)

verticalement (et donc

(O y)

pointe vers le dos de l'écran/de la feuille)

I.3.3 Proposition

Soit

Γ

une courbe paramétrée tracée sur une surface

Σ

.
Si

M_{0}

est un point de

Γ

régulier pour la courbe paramétrée

Γ

et régulier pour la surface

Σ

(il y a deux définitions possibles, suivant la description de

Σ

), alors la tangente à

Γ

M_{0}

est contenue dans le plan tangente à

Σ

M_{0}

Preuve

Nous prouvons ce résultat pour les deux manières de définir

Σ

Si $Σ$ est paramétrée par $M (u, v)$ et $M_{0} = M (u_{0}, v_{0})$ .
Alors $Γ$ est définie par $Γ : t \mapsto M (u (t), v (t))$ .

Γ

t \in I

γ^{'} (t) = u^{'} (t) \frac{\partial M}{\partial u} (u (t), v (t)) + v^{'} (t) \frac{\partial M}{\partial v} (u (t), v (t)) .

t_{0}

M_{0}

u^{'} (t_{0}) et v^{'} (t_{0})

Si $Σ : f (x, y, z) = 0$ et que $Γ$ est donnée par $t \mapsto (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \\ z (t) \end{matrix})$ alors on a pour tout $t$
$f (x (t), y (t), z (t)) = 0$
et en dérivant par rapport à $t$ (par composition), on obtient bien $\vec{g r a d} f (M_{0}) ⊥ Γ^{'} (t_{0})$ et donc la tangente à $Γ$ en $M_{0}$ (qui est dirigée par $Γ^{'} (t_{0})$ ) est bien contenue dans le plan passant par $M_{0}$ et normal à $\vec{g r a d} f (M_{0})$ qui est le plan tangent.

II Exemples de surfaces et de courbes

II.1 Surfaces réglées

II.1.1 Définition

Une surface

S

est dite réglée ssi elle peut être écrite comme la réunion d'une famille de droites.
Plus précisément,

S

est réglée ssi il existe une surface paramétrée dont le support est

S

de la forme

M (k, t) = A (t) + k \vec{u} (t)

où

A, \vec{u}

sont de classe

C^{k} (I, R^{3})

\vec{u}

ne s'annule pas.

M

est alors définie sur

I \times R

.
Pour un

t

fixé, la droite

D_{t} = A (t) + V e c t (\vec{u} (t))

est une génératrice de

S

et on a

S = ⋃_{t \in I} D_{t}

II.1.2 Exemple

Le cylindre d'équation

x^{2} + y^{2} = 1

est réglé. Ses génératrices sont parallèles à

(O z)

. Une paramétrisation possible est

M (k, t) = (\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ k \end{matrix})

II.1.3 Exemple

Considérons la jolie surface

Σ : x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1

(hyperboloïde de révolution à une nappe).

Nous allons démontrer que cette surface est réglée.
Soit

M = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3}

. Supposons pour l'instant

x \neq \pm 1

M \in Σ

ssi

(y - z) (y + z) = (1 - x) (1 + x)

.
Or

(1 - x) (1 + x) \neq 0

donc

M \in Σ

ssi il existe un

t \neq 0

tel que

(y - z) = t (1 - x) et (y + z) = \frac{1 + x}{t}

. C'est à dire

{\begin{cases} t x + y - z = t \\ - \frac{1}{t} x + y + z = \frac{1}{t} \end{cases}

. Il s'agit de l'intersection de 2 plans non parallèles et donc d'une droite.
Remarquons que cette droite passe par

A (t) = (\begin{matrix} - 1 \\ t \\ - t \end{matrix})

et en posant

x

comme paramètre dans le système homogène, elle est dirigée par

(\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} (\frac{1}{t} - t) \\ \frac{1}{2} (\frac{1}{t} + t) \end{matrix})

et donc par

(\begin{matrix} 2 t \\ 1 - t^{2} \\ 1 + t^{2} \end{matrix})

qui est bien non nul.
Ainsi les points de

Σ

d'abscisse

\neq \pm 1

sont décrits par une réunion de droites.
Le cas

x = \pm 1

est facile : on obtient

y = \pm z

{\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = \pm z \end{cases}

est la réunion de 4 droites.

II.1.4 Exemple (Un cône)

On considère l'ellipse

C : {\begin{cases} x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \\ z = 0 \end{cases}

et le point

A = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

. Donner une représentation de la surface réglée

Σ

engendrée par les droites qui passent par

A

et un point de

C

.
On peut donner une représentation paramétrique facilement, car les droites

D_{t}

qui sont génératrices de

Σ

sont de la forme

D_{t} = A + V e c t (\begin{matrix} \cos (t) - 1 \\ 2 \sin (t) - 1 \\ - 1 \end{matrix}) .

Trouvons une équation cartésienne. On a, pour les points de

Σ

{\begin{cases} x = 1 + k (\cos t - 1) \\ y = 1 + k (2 \sin (t) - 1) \\ z = 1 - k \end{cases} ⟺ {\begin{cases} x - z = k \cos t \\ y - z = 2 k \sin t \\ k = 1 - z \end{cases}

.
Ainsi les points de

Σ

vérifient

4 (x - z)^{2} + (y - z)^{2} = 4 (1 - z)^{2}

(on a une inclusion, on peut vérifier la deuxième d'une manière similaire au raisonnement fait sur la sphère en posant

k = 1 - z

II.1.5 Proposition

Soit

S

une surface réglée. En un point régulier

M_{0}

, le plan tangent contient la génératrice passant par

M_{0}

Preuve

Avec les notations de la définition,

\frac{\partial \vec{O M}}{\partial k} (k, t) = \vec{u} (t)

est un des vecteurs qui engendre la direction du plan tangent.

II.2 Surface de révolution

II.2.1 Définition

On appelle surface de révolution la surface

S

obtenue par rotation d'une courbe

Γ

autour d'une droite

Δ

. Plus précisément, il s'agit de la réunion de toutes les images de

Γ

par les rotations d'axe

Δ

et d'angle quelconque.

$Δ$ est l'axe de $S$ .
Les intersections de $S$ avec les plans orthogonaux à $Δ$ sont
soit vide, soit un point, soit des cercles d'axe $Δ$
que l'on appelle parallèles de $S$ .
Un plan méridien de $S$ est un plan qui contient $Δ$ .
Une méridienne de $S$ est l'intersection de $S$ avec un
demi-plan méridien, délimité par $Δ$ .

II.2.2 Matrices de rotation autour d’un axe de coordonnées

Rappeler les matrices de rotation d’un angle

θ

autour d’un axe de coordonnées orienté par un vecteur de la base canonique.

II.2.3 Remarque

On peut traduire la condition

M

est l'image d'un point

M_{0}

par une certaine rotation autour de

D

par la condition

d (M, D) = d (M_{0}, D)

\vec{M M_{0}} ⊥ D

II.2.4 Exemple

Donner une paramétrisation et une équation de la surface de révolution

S

obtenue par rotation de

D = A + V e c t (u) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + V e c t (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

autour de l'axe

(O z)

Une paramétrisation de $D$ est ${\begin{cases} x (t) = 1 + t \\ y (t) = 2 t \\ z (t) = - 2 t \end{cases}$ .
Ainsi $M = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in S$ ssi il existe $M_{t} \in D$ tels que $M$ est obtenu par rotation de $M_{t}$ d'un angle $θ$ autour de $(O z)$ ssi il existe $t$ tel que $x = (1 + t) \cos θ - 2 t \sin θ$ , $y = (1 + t) \sin θ + 2 t \cos θ$ et $z = - 2 t$ pour un $θ \in [- π, π]$ .
On a calculé $R_{θ} \vec{O M_{t}}$ où $R_{θ}$ est la matrice de rotation d’angle $θ$ autour de l’axe orienté par $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .
Trouvons une équation cartésienne directement.
Un système d'équation de $D$ est $2 x - y = 2 et y + z = 0$ . Dans la suite, on veut se débarrasser du $\exists M_{0}$ c'est à dire montrer que les nombres $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ existent à une condition qui ne porte que sur $x, y, z$ .
$M = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in S$ ssi il existe $M_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix}) \in D$
tel que $d (M_{0}, (O z)) = d (M, (O z)) et z = z_{0}$ ssi il existe
$M_{0} \in D$ tel que $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = x^{2} + y^{2}$ et $z = z_{0}$ .
Or, pour $M_{0} \in D$ , $y_{0} = - z_{0}$ et $x_{0} = \frac{1}{2} y_{0} + 1 = - \frac{z_{0}}{2} + 1$ .
Ainsi, $M \in S$ ssi il existe $x_{0}, y_{0}, z_{0} \in R$ tels que $z_{0} = z, y_{0} = - z, z_{0} = - \frac{z}{2} + 1$ et $(- \frac{z}{2} + 1)^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2}$ . De tels nombres réels existent toujours.
$M \in S$ ssi $\frac{5}{4} z^{2} - z + 1 = x^{2} + y^{2}$ .

II.2.5 Exemple

Montrer que la surface d'équation

S : z = x^{2} + y^{2}

est de révolution autour de

(O z)

.
Si

M \in S

alors

d (M, (O z))^{2} = x^{2} + y^{2}

et tous les points du cercle
centré en

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ z \end{matrix}) \in (O z)

et passant par

M

sont sur

S

. Ainsi

S

est bien de révolution.

II.2.6 Proposition

Une surface

S

est de révolution autour de

Δ

ssi pour tout plan

P

perpendiculaire à

Δ

S \cap P

est soit vide, soit un point,
soit un cercle dont le centre est sur

Δ

II.3 Intersection de surfaces

II.3.1 Définition

Soit

U

un ouvert de

R^{3}

f, g \in C^{1} (U, R)

.
On appelle courbe d'équation cartésienne

Γ : {\begin{cases} f (x, y, z) = 0 \\ g (x, y, z) = 0 \end{cases}

l'intersection des des surfaces ainsi définies (cette intersection peut être une surface, un ou des points, vide...).
Un point

M_{0} \in Γ

est dit régulier si et seulement si

\vec{g r a d} f (M_{0}) \land \vec{g r a d} g (M_{0}) \neq \vec{0}

II.3.2 Théorème

Avec les notations de la définition précédente, si

M_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix})

est un point régulier de

Γ

alors la tangente à

Γ

M_{0}

est la droite

M_{0} + V e c t (\vec{g r a d} f (M_{0}) \land \vec{g r a d} g (M_{0}))

Preuve

Une idée : la tangente à

Γ

est l'intersection des plans tangents à

Σ_{1} et Σ_{2}

M_{0}

. De plus, le gradient est normal au plan tangent.

II.3.3 Exemple

Décrire géométriquement la courbe plane

C : {\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ x - y + \frac{1}{\sqrt{2}} z = 0 \end{cases}

C

est l'intersection d'un plan et d'une sphère : il s'agit d'un cercle ou d'un point ou de l'ensemble vide.
Décrire la projection orthogonale de

C

sur

(x O y)

. Un point

M : (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix})

est sur la projection cherchée ssi il existe

z \in R

tel que

M_{1} : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in C

$\begin{aligned} ⟺ & \exists z \in R {\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ z = \sqrt{2} (y - x) \end{cases} ⟺ & {\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 (x - y)^{2} = 1 \\ \exists z \in R \z = \sqrt{2} (y - x) \end{cases} \end{aligned}$

la deuxième condition est toujours vérifiée.
On obtient une conique d'équation

x^{2} + y^{2} + 2 (x - y)^{2} = 1 ⟺ 3 x^{2} - 4 x y + 3 y^{2} = 1

La matrice associée est

(\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 2 & 3 \end{matrix})

dont les valeurs propres sont

1 et 5

. De plus

E_{1} (A) = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

E_{5} (A) = V e c t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

. Ainsi par rotation d'angle

\frac{π}{4}

on obtient l'équation réduite

x^{' 2} + 5 y^{' 2} = 1

qui est une équation d'ellipse que l'on sait tracer.

u=np.array([1,1])/np.sqrt(2)v=np.array([-1,1])/np.sqrt(2)T=np.linspace(-np.pi,np.pi,150)points=[np.cos(t)*u+np.sin(t)*v/np.sqrt(5)fortinT]X=np.array([p[0]forpinpoints])Y=np.array([p[1]forpinpoints])plt.plot(X,Y)