Dans tout ce cours,
désigne un intervalle non vide et non réduit à un point.
I Etude métrique
I.1 Longueur d'une courbe
I.1.1 Notion intuitive de longueur
La longueur de la courbe entre les points de paramètres
et
est
= vitesse
temps.
Si on intègre entre
, on trouve donc la longueur de la courbe entre les points de paramètres
.
I.1.2 Définition
Soient
. On appelle longueur (algébrique) de
entre les points de paramètres
le réel
.
I.1.3 Exemple
Calculer la longueur du cercle trigonométrique.
Calculer la longueur de l'arc de la parabole
entre les abscisses 0 et 2.
On considère la courbe paramétrée
dont le support est cette parabole. En effet,
vérifie
ssi il existe
tel que
.
est une courbe
et on a
La longueur
cherchée vaut donc
. On sait que
est une bijection de
dans
.
On veut poser une nouvelle variable
telle que
(qui est un changement de variable
et bijectif) ie
. On pose
tel que
ie
.
On a de plus
Alors
car
est positive et
.
Ainsi
Or on a
car
. Ainsi
. En considérant que l'inconnue est
, on trouve que le discriminant est
. Ainsi
(l'autre racine du trinôme est strictement négative).
On en déduit que
et
.
De plus,
et donc
.
Finalement
.
On peut aisément vérifier en python
importscipy.integrateassciimportnumpyasnpdeff(t):returnnp.sqrt(1+4*t**2)sci.quad(f,0,2)# valeur approchée de l'intégrale de f entre 0 et 2np.sqrt(17)+np.log(4+np.sqrt(17))/4
I.1.4 Exemple
Calculons la longueur de la cycloïde sur
. Il s'agit de la courbe paramétrée par
.
On trouve
en utilisant
et
.
Alors la longueur cherchée est
car
est paire et
.
On obtient donc
, qui est la longueur d'une arche de cette cycloïde.
I.2 Abscisse curviligne
On considère maintenant
une courbe
régulière
(la vitesse ne s'annule pas), avec
.
I.2.1 Définition
Soit
.
On appelle abscisse curviligne de
d'origine
la fonction
.
A retenir :
et lorsque cela a du sens,
.
I.2.2 Remarque
L'information connue
a priori
sur
est la dérivée :
. Elle ne dépend pas de l'origine choisie. Dans la suite on supposera choisie une origine.
I.2.3 Exemple
On considère la courbe paramétrée
qui a pour support la courbe représentative de
.
Calculons l'abscisse curviligne d'origine 0.
I.2.4 Proposition
On considère une courbe régulière
de classe
.
L'abscisse curviligne d'origine
est une bijection
dont la réciproque est
.
Interprétation : on peut, dans le cas d'une courbe régulière, repérer un point de la trajectoire non plus par l'instant où on y passe mais par la distance (algébrique) à l'origine fixée. En effet tout point est à une distance donnée (surjectivité) et à une distance donnée correspond un seul point (injectivité).
De plus, on ne change pas la classe
de la courbe paramétrée si on choisi d'utiliser l'abscisse curviligne d'origine
pour paramétrer (repérer les points).
Preuve
Rappelons que l'application
est de classe
sur
.
Ainsi
est de classe
sur
car
ne s'annule pas. On a même
.
De plus,
est la primitive de
qui s'annule en
et est donc de classe
sur
. Comme
,
est strictement croissante et
est bien une bijection.
Comme
ne s'annule pas,
est également de classe
. Pour mémoire, on a
.
I.2.5 Paramétrage par l'abscisse curviligne
Notons
. Le résultat précédent permet de définir une nouvelle courbe de même support
.
On a en fait changé la manière de parcourir la même trajectoire, et on obtient immédiatement
(paramétrage normal). Remarquons que
.
I.2.6 Notation
La relation relation
est classiquement notée
, pour indiquer que le paramétrage choisi est celui par l'abscisse curviligne.
On a maintenant
.
Si on paramètre
par
, on repère en fait les points de la trajectoire non plus par le temps de parcours, mais par la distance depuis l'origine. Il semble cohérent que le vecteur vitesse soit de norme 1.
I.2.7 Proposition
Pour une courbe régulière
, on a
. C'est un vecteur directeur unitaire de la tangente pour chaque paramètre.
I.2.8 Exemple
Reprenons la courbe de l'exemple
I.2.3
.
L'abscisse curviligne considérée est
. Notons
la bijection réciproque de
. On a alors
donc
et on peut paramétrer la courbe (en abusant des notations, la fonction considérée n'est plus vraiment
) par
On a alors
. Or
et on trouve bien que la norme de
est 1.
I.3 Repère de Frenet
I.3.1 Définition
Soit
. On note
(vecteur unitaire tangent de
en
) et
(vecteur unitaire normal de
en
) le vecteur unitaire directement orthogonal à
.
Le repère
est appelé repère de Frenet de
en
.
La droite affine
(passant par
et dirigée par
) est appelée droite
normale
à la courbe au point
.
Lorsque
est une courbe régulière et
,
est toujours colinéaire à
.
De même
est toujours colinéaire à
.
Preuve
Notons
. Alors
.
De plus, pour tout
,
.
En dérivant chaque membre (c'est possible car
sont dérivables et
ne s'annulent pas) on obtient
Ainsi
est orthogonal à
(le produit scalaire, qui est le numérateur précédent, est nul).
Pour la seconde partie, il suffit de remarquer que
et
est un scalaire.
I.4 Courbure
I.4.1 Définition
Soit
une courbe régulière et de classe
définie sur l'intervalle
.
En tout
, on note
le nombre vérifiant
Cette formule est appelée
formule de Frenet
.
Une analyse immédiate des unité montre que
s'exprime en
car
est une longueur.
On admet provisoirement que la fonction
ainsi définie sur
est de classe
lorsque
est de classe
.
I.4.2 Interprétation du signe de
Remarquons d'abord que, en
fixé, pour passer du vecteur
au vecteur
on tourne d'un angle de
"vers la gauche" (dans le sens trigonométrique, le cercle est un virage à gauche).
De plus,
représente les variations de
, c'est à dire les variables de la trajectoire.
Lorsque
, la courbe tourne "vers la gauche" au voisinage de
(à interpréter comme sur le cercle).
Lorsque
, la courbe tourne "vers la droite".
I.4.3 Exemple
Courbure du cercle de centre
et de rayon
. On trouve
(une fonction constante).
Pour la cycloïde, sur
, on avait
.
Ainsi
.
Donc
.
De plus,
et donc
.
I.4.4 Exemple
Calculer l'expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération en fonction de
.
On note
et
. Alors
par définition de
.
De plus,
.
I.4.5 Théorème (Détermination angulaire)
Il existe une fonction
telle que
Ainsi
est l'angle entre
(le premier vecteur de la base canonique) et
.
Preuve
Hors programme.
On considère la fonction
qui à
associe l'affixe de
.
On a
et donc
. il s'agit de montrer que
et que la fonction
est
. On sait que
est de classe
.
On a
et en dérivant on obtient
, c'est à dire que la fonction
(si
alors
) est imaginaire pure.
On fixe
.
Soit
. Alors
et est de classe
On a alors
Ainsi
est une fonction constante sur l'intervalle
.
avec
car
et donc
et
convient !
I.4.6 Illustration
I.4.7 Proposition
Avec les notations du théorème précédent,
Preuve
En notant
, on a
. Ne pas oublier que
dépend du paramètre (
ici) et qu'on doit donc utiliser une dérivée composée.
I.4.8 Interprétation de la courbure
Si
, c'est que la détermination angulaire croit, c'est à dire que la courbe tourne vers la gauche.
Si
, c'est que la détermination angulaire décroît, c'est à dire que la courbe tourne vers la droite.
Si
est grand en valeur absolue, c'est que
change rapidement, c'est à dire que la courbe tourne "vite".
II Enveloppe, développée
II.1 Courbe développée
II.1.1 Définition
Un point d'une courbe paramétrée est dit birégulier ssi les vecteurs vitesse et accélération en ce point ne sont pas colinéaires. On a donc (avec les notations classiques) les entiers
qui valent
.
II.1.2 Proposition
Pour une courbe régulière
, le point de paramètre
est birégulier ssi
.
Preuve
Si on calcule
(produit mixte, c'est le déterminant dans le plan qui ne dépend pas du ROND choisi pour le calculer), on obtient
en prenant les coordonnées dans la base de Frenet.
Hors,
et
.
Ainsi
(linéarité + caractère alterné). Finalement
II.1.3 Définition
Soit
une courbe birégulière (tous les points sont biréguliers). Le rayon de courbure au point
est
et le centre de courbure est le point
ie
.
On peut évidemment repérer
par son abscisse curviligne et exprimer toutes les quantités en fonction de
.
II.1.4 Interprétation
Au point de paramètre
, le cercle tangent en
qui ``ressemble'' le plus à la courbe est le cercle centré en
et de rayon
.
On l'appelle cercle de courbure en
.
II.1.5 Définition
Le lieu des centres de courbure d'une courbe s'appelle la courbe développée. C'est la courbe
.
II.1.6 Exemple
Prenons comme courbe l'ellipse
sur
. Trouvons sa courbe développée.
est de classe
. Soit
.
et donc
.
Trouvons
.
On a
Ainsi
Calculons la développée de la cycloïde (sur
, le reste s'obtenant par translation).
Ici
. De plus,
et
.
Ainsi
. On obtient une autre cycloïde.
II.2 Enveloppe d'une famille de droite
II.2.1 Définition
Soit
une famille de droite. On dit que
admet la courbe
comme enveloppe ssi pour tout
on a
est tangente à
en
.
II.2.2 Mise en équation
On se donne un points
et un vecteur directeur
pour chaque droite
. Ainsi
.
On cherche donc à écrire
et il faut en plus que la tangente en
soit dirigée par
.
On suppose les fonctions en jeu dérivables et on obtient
. La condition de tangence devient
qui peut se récrire
(le déterminant est alterné).
II.2.3 Proposition
Une enveloppe de la famille
est donnée par
où
est une fonction de classe
vérifiant
.
II.2.4 Exemple
Pour
, on considère le point
et le vecteur
.
Calculons l'enveloppe des droites
.
sont bien dérivables (
coordonnée par coordonnée
) et on cherche donc une fonction
telle que
.
On résout donc
On a donc
Ainsi la courbe
cherchée vérifie
Soit
une courbe birégulière.
La courbe développée de
est également l'enveloppe de la famille
(la famille des normales).
On peut remplacer le vecteur
par n'importe quel vecteur proportionnel et non nul.
Les normales à
sont tangentes à la courbe développée de
.
Preuve
Notons
la courbe développée de
que l'on a paramétré par l'abscisse curviligne.
Clairement chaque point de
est sur une normale.
Il reste à montrer que les normales sont tangentes à
. Or
. Ainsi les tangentes à
sont dirigées par
.
II.2.6 Conséquence géométrique
Les normales à
sont tangentes à la courbe développée.
II.2.7 Exemple
Calculons la développée de la demi-hyperbole paramétrée par
pour
.
On note
qui est
. De plus, pour
,
et donc
est proportionnel à
.
On cherche donc une courbe notée
qui vérifie
pour une fonction
telle que
.
Cette équation peut s'écrire
ou encore
c'est à dire
.
Finalement,