Dans ce chapitre

K

désigne

R ou C

n

un entier naturel non nul.

I Trace

I.1 Trace d'une matrice

I.1.1 Définition

Soit

A = (a_{i, j})_{(i, j) \in {⟦ 1, n ⟧}^{2}} \in M_{n} (K)

. On appelle la trace de

A

et on note

T r (A)

le nombre

\sum_{i = 1}^{n} a_{i, i}

qui est la somme de ses coefficients diagonaux.

I.1.2 Exemple

Pour

A = (a_{i j}) \in M_{n} (K)

, calculer

T r (A^{T} A)

I.1.3 Proposition

Soient

A, B \in M_{n} (K)

$T r (A^{T}) = T r (A)$
$\forall α, β \in K T r (α A + β B) = α T r (A) + β T r (B)$ .

Ainsi la trace est une forme linéaire :

T r \in L (M_{n} (K), K)

I.1.4 Exercice

Montrer que le noyau de la trace est un hyperplan et en donner une base. On pourra commencer par traiter le cas des matrices carrées de tailles 2.

I.1.5 Effet du produit

Montrer que dans le cas général on a pas

T r (A^{2}) = T r (A)^{2}

I.2 Trace d'un endomorphisme

I.2.1 Théorème (Trace d'un produit)

Soient

A \in M_{n, p} (K) et B \in M_{p, n} (K)

( remarquer les tailles ).

T r (A B) = T r (B A)

Preuve

Notons

C = A B \in M_{n} (K) et D = B A \in M_{p} (K)

avec

A = (a_{i, j}), B = (b_{i, j}) et C = (c_{i, j}), D = (d_{i, j})

.
Pour

(i, j) \in ⟦ 1, n^{2} ⟧

on a

c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{p} a_{i, k} b_{k, j}

et donc

T r (C) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{p} a_{i, k} b_{k, i} = \sum_{k = 1}^{p} \sum_{i = 1}^{n} b_{k, i} a_{i, k}

en échangeant les sommes.
De la même manière,

T r (D) = \sum_{i = 1}^{p} \sum_{k = 1}^{n} b_{i, k} a_{k, i}

. Au nom des indices près ( qui sont des variables muettes, rappelons le ) on a bien

T r (C) = T r (D)

I.2.2 Exercice

Montrer que

T r (A^{T} B) = T r (A B^{T})

, dans le cas de matrices carrées, avec les notations du théorème.
En déduire la valeur de cette trace dans le cas où

A

est symétrique et

B

anti-symétrique.

I.2.3 Définition

Soient

A, B \in M_{n} (K)

deux matrices carrées.
On dit que

A et B

sont semblables ssi il existe une matrice inversible

P \in G L_{n} (K)

telle que

A = P^{- 1} B P

I.2.4 Lever l’ambiguïté

La définition précédente n'est pas bien formulée !
En effet, la formule donnée n'est pas symétrique en première lecture, alors qu'on dit que ``

A

B

sont semblables'' (ce qui implique que

A

est semblable à

B

B

semblable à

A

).
Une lecture plus éclairée montre qu'avec les notations de la définition, si on peut écrire

A = P^{- 1} B P

alors on a aussi

B = P A P^{- 1} = Q^{- 1} A Q

en posant comme matrice inversible la matrice

Q = P^{- 1}

I.2.5 Matrices semblables

A, B \in M_{n} (K)

sont semblables alors

T r (A) = T r (B)

.
En effet, si on a

A = P^{- 1} B P

pour une matrice inversible

P

(voir

P

comme une matrice de passage), alors

T r (A) = T r ((P^{- 1} B) B) = T r (P (P^{- 1} B)) = T r (B)

I.2.6 Invariants

On peut maintenant dire que deux matrices semblables ont :

le même rang
la même trace

I.2.7 Définition-proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

f \in L (E)

. Le scalaire

T r ({M a t}_{B} (f))

ne dépend pas de la base

B

E

choisie pour calculer la matrice. On le note

T r (f)

I.2.8 Exemple

Soit

f : {\begin{array}{rcl} R_{3} [X] & \to & R_{3} [X] \\ P & \mapsto & X P^{'} \end{array}

. Calculer

T r (f)

I.2.9 Exercice

Soit

p

un projecteur dans

E

de dimension finie. Montrer que

T r (p) = r g (p)

I.2.10 Linéarité

Pour

f, g \in L (E)

α, β \in K

on a

T r (α f + β g) = α T r (f) + β T r (g)

II Déterminant

II.1 Déterminant de taille $n$

II.1.1 Définition-proposition

Il existe une unique application

det : M_{n} (K) \to K

telle que

$det (I_{n}) = 1$
$det$ est linéaire par rapport à chaque colonne.
$det$ est anti-symétrique ie change de signe si on échange deux colonne de sa variable.

II.1.2 Conséquences de la définition

Notons

C_{1}, \dots, C_{n}

les colonnes de la matrice

A \in M_{n} (K)

Si on a $C_{i} = 0$ pour un certain $i$ alors $det (A) = 0$ par linéarité par rapport à la $i$ ème colonne.
Si on a $C_{i} = C_{j}$ pour $i \neq j$ alors $det (A) = - det (A)$ par échange de ces deux colonnes donc $det (A) = 0$ .

II.1.3 Exemple

Calculer

d = | \begin{matrix} 7 & - 42 \\ - 3 & 18 \end{matrix} |

On voit que

C_{2} = - 6 C_{1}

et donc

d = - 6 | \begin{matrix} 7 & 7 \\ - 3 & - 3 \end{matrix} | = 0

d'après la deuxième remarque de II.1.2

II.1.4 Cas n = 2

On trouve par linéarité par rapport à chaque colonne que

$\begin{aligned} | \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | & = a | \begin{array}{c} 1 & b \\ 0 & d \end{array} | + c | \begin{array}{c} 0 & b \\ 1 & d \end{array} | car (\begin{array}{c} a \\ c \end{array}) = a (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) + c (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) \\ = a (b | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} | + d | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |) + c (b | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} | + d | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |) \\ = a d - b c \end{aligned}$

après un échange de colonne et d'après II.1.2 .
Ce calcul, bien que pénible, permet de retrouver la règle de Sarrus dans le cas

n = 3

et explique l'unicité dans la définition. Reste l'existence...

II.1.5 Interprétation géométrique

En dimension 2 : il s'agit de l'aire (algébrique, ie on obtient un nombre négatif dans le cas d'un sens indirect) d'un parallélogramme

En dimension 3 :il s'agit du volume (algébrique) d'un parallélépipède. Dans la figure suivante, on construit un parallélépipède sur les 3 vecteurs

\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}

| det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) |

(où les coordonnées sont calculées dans la base canonique) vaut le volume du parallélépipède.

II.1.6 Notation

Comme en dimension 2 et 3, on note un déterminant sous forme d'un tableau de nombre entouré de barres verticales.

II.1.7 Proposition (Opérations sur les déterminants)

Soit

A \in M_{n} (K)

. On fait subir une opération élémentaire sur les colonnes de

A

et on note

A^{'}

la matrice obtenue.

Si l'opération est $C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ avec $i \neq j$ alors $det (A^{'}) = - det (A)$ .
Si l'opération est $C_{i} \leftarrow λ C_{i}$ avec $λ \neq 0$ alors $det (A^{'}) = λ det (A)$
Si l'opération est $C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j}$ avec $λ \in K$ et $i \neq j$ alors $det (A^{'}) = det (A)$ .

II.1.8 Corollaire

Soit

A \in M_{n} (K)

λ \in K

alors

det (λ A) = λ^{n} det (A)

II.1.9 Calcul en pratique

Soit

A \in M_{n} (K)

. On réduit

A

par colonnes pour calculer son déterminant. Attention aux opérations d'échange ou de multiplication par un scalaire.

II.1.10 Exemple

Calculer

| \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{matrix} |

II.1.11 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

A

est inversible ssi

det (A) \neq 0

Preuve

En reprenant les notations de II.1.7 , on remarque que

det (A) = 0 ⟺ det (A^{'}) = 0

Réduisons la matrice par colonne et notons

R

la matrice réduite. On a

det (R) = 0 ⟺ det (A) = 0

A \in G l_{n} (K) ⟺ R = I_{n}

. Ainsi si

A \in G L_{n} (R)

alors

det (A) \neq 0

car

det (I_{n}) = 1 \neq 0

.
Supposons au contraire que

A \neq G L_{n} (K)

. Alors

R

possède au moins une colonne nulle (autant que la dimension du noyau de

A

d'ailleurs) et

det (R) = 0

donc

det (A) = 0

II.1.12 Remarque

Le déterminant est toujours une expression polynomiale des coordonnées (s'exprime comme produits et sommes des coordonnées de la matrice)

II.1.13 Exemple

Calculer le déterminant de

(\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

.
Notons

Δ

ce déterminant. On factorise la première colonne par 2 puis on effectue les opérations

C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}

C_{3} \leftarrow C_{3} + C_{1}

C_{4} \leftarrow C_{4} - 3 C_{1}

et alors

Δ = 2 | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} |

On effectue maintenant

C_{3} \leftarrow C_{3} + 2 C_{2}

C_{3} \leftarrow C_{3} + C_{2}

et alors

Δ = 2 | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} |

on peut maintenant factoriser par

- 1

la colonne

C_{3}

puis effectuer l'opération

C_{4} \leftarrow C_{4} - 2 C_{3}

pour obtenir

Δ = 2 \times (- 1) | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} |

Il reste à factoriser par

3

la dernière colonne et

Δ = 2 \times (- 1) \times 3 = - 6

II.1.14 Théorème

Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Preuve

Remarquer que le déterminant est nul ssi un des coefficient diagonaux est nul ssi la matrice triangulaire n'est pas inversible.
Dans ce cas d'une matrice inversible, le calcul est direct, sur le même modèle que l'exemple, que la matrice soit triangulaire inférieure ou supérieure.

II.1.15 Exemple

Trouver à quelle condition sur

a \in C

la matrice

A = (\begin{matrix} a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ - 1 & a^{2} & a \end{matrix})

est inversible.
Après l'opération

C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{1}

on a

det (A) = | \begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ - 1 & a^{2} & a + 1 \end{matrix} |

Après

C_{1} \leftarrow C_{1} - a C_{2}

on obtient

det (A) = | \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 - a^{2} & a & 0 \\ - 1 - a^{3} & a^{2} & a + 1 \end{matrix} |

Après échange des deux premières colonnes, on obtient une matrice triangulaire et donc

det (A) = - 1 \times (1 - a^{2}) \times (a + 1)

remarquer le signe - dû à l'échange de colonnes.
Finalement

A \in G L_{3} (C) ⟺ det (A) \neq 0 ⟺ a \neq \pm 1

II.1.16 Méthode

Une première méthode de calcul du déterminant :

Echelonner la matrice par opérations élémentaires (attention à la valeur du déterminant qui change parfois)
Calculer le produit des coefficients diagonaux.

II.2 Propriétés calculatoires

II.2.1 Théorème

Soient

A, B \in M_{n} (K)

det (A B) = det (A) det (B) .

Plus généralement, le déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants.

Preuve

A

n'est pas inversible,

A B

non plus et donc le résultat est vrai.
Sinon, considérons

f {\begin{array}{rcl} M_{n} (K) & \to & K \\ (C_{1}, \dots, C_{n}) & \mapsto & \frac{det (A C_{1}, \dots, A C_{n})}{det (A)} \end{array}

.
Si

M

est de colonnes

C_{1}, \dots, C_{n}

, alors le numérateur est exactement

det (A M)

.
Remarquons maintenant que

f (I_{n}) = 1

, et si on échange deux colonne de

M

f

change de signe. De plus,

f

est linéaire par rapport à chaque colonne par composition et produit par une constante (

X \mapsto A X \in L (K^{n})

et le déterminant est linéaire par rapport à cette colonne).
Ainsi

f = det

(par l'unicité du déterminant) et

f (B) = \underset{définition de f}{\underset{⏟}{\frac{det (A B)}{det (A)}}} = det (B)

On prouve l'affirmation générale par une récurrence immédiate.

II.2.2 M-Attention

On a surtout pas

det (A + B) = det (A) + det (B)

II.2.3 Corollaire

A

est inversible alors

det (A^{- 1}) = \frac{1}{det (A)}

.
Dans ce cas, on a également

\forall k \in Z det (A^{k}) = det (A)^{k}

Preuve

On a directement

det (A) det (A^{- 1}) = 1

ce qui prouve le cas

k = - 1

, le seul qu'il manquait dans le théorème précédent.

II.2.4 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

. Alors

det (A) = det (A^{T})

Preuve

Hors programme

On a $A \in G L_{n} (K) ⟺ A^{T} \in G L_{n} (K)$ . Ainsi $det (A) = 0 ⟺ det (A^{T}) = 0$ . Dans toute la suite on suppose que $A$ est inversible.
Soit $λ \in K$ . Rappelons que les matrices élémentaires sont d'un des trois type suivant : $E_{i, λ} = d i a g (1, \dots, 1, λ, 1, \dots, 1)$ (le $λ \neq 0$ en $i$ ème position, cette matrice traduit l'opération $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ ), $E_{i, j}$ qui est la matrice $I_{n}$ ayant subit l'opération $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ (traduit la dite opération) ou $E_{i, j, λ}$ qui la matrice $I_{n}$ ayant subit l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ .
Un calcul direct montre que ${E_{i, λ}}^{T} = E_{i, λ}$ et donc ces deux matrices ont le même déterminant, $det (E_{i, j}) = - 1 = det ({E_{i, j}}^{T})$ (à calculer par un échange de colonnes pour retrouver l'identité) et $det (E_{i, j, λ}) = 1 = det ({E_{i, j, λ}}^{T})$ (ces matrices sont triangulaires, l'une inférieure l'autre supérieure et avec des 1 sur la diagonale).
Ainsi le théorème est vrai pour les matrices élémentaires.
Rappelons que l'on suppose $A$ inversible. Alors on peut écrire $A = E_{r} E_{r - 1} \dots E_{1}$ , un produit de matrices élémentaires.
Alors $A^{T} = {E_{1}}^{T} {E_{2}}^{T} \dots {E_{r}}^{T}$ . Le théorème II.2.1 , ainsi que le point précédent permettent de conclure à l'égalité souhaitée.

II.2.5 Conséquences

On peut maintenant effectuer des opérations élémentaires sur les lignes au même titre que sur les colonnes, avec les mêmes effets.

II.2.6 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

avec

n \geq 2

A = (a_{i, j})_{(i, j) \in {⟦ 1, n ⟧}^{2}}

. Pour

i, j \in {⟦ 1, n ⟧}^{2}

on note

A_{i, j}

la matrice de

M_{n - 1} (K)

déduite de

A

en supprimant la

i

ème ligne et la

j

ème colonne.

$det (A) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i, j} det A_{i, j}$ (développement par rapport à la $j$ ème colonne)
$det (A) = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i, j} det A_{i, j}$ (développement par rapport à la $i$ ème ligne)

Preuve

Admis. Une idée de preuve (un peu pénible, mais pas si difficile) : on reprend les notations de II.1.7 et on prouve le premier point pour

j

fixé. On prouve alors que l'application de la formule à

A^{'}

est l'opposé de celle à

A

pour un échange de colonne et donne le même résultat pour une combinaison de colonnes. Ainsi la formule est vraie pour

A^{'}

ssi elle l'est pour

A

. Il suffit ensuite de réduire

A

et de remarquer que la formule est triviale pour l'identité.

II.2.7 Tableau des signes

On résume souvent les signes qui apparaissent dans cette formule par

| \begin{matrix} + & - & + & \dots \\ - & + & - & \dots \\ ⋮ \end{matrix} |

II.2.8 Exemple

Calculer le déterminant

d = | \begin{matrix} 1 & - 1 & 4 & 2 \\ - 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 1 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & - 1 \end{matrix} |

On effectue

C_{3} \leftarrow C_{3} - 4 C_{1}

et on développe par rapport à la

3

ième colonne :

d = - | \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 3 & - 5 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} | = (3 \times 1 - 2 \times (- 5)) = 13

II.2.9 Méthode

Une deuxième méthode de calcul du déterminant : Appliquer bêtement une des formules précédente.
Une bonne idée sera de faire apparaître des 0 sur une ligne ou colonne pour réduire le nombre de termes dans le développement.

II.2.10 Exemple

Calculer le déterminant

d_{n} = {| \begin{matrix} - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & \dots & 1 & - 3 \end{matrix} |}_{[n]}

. Pour

n = 1

il s'agit d'un nombre et

d_{1} = - 3

. Pour

n = 2

, un calcul direct donne

d_{2} = 7

.
On effectue, pour

n \geq 3

un développement par rapport à la première colonne.

d_{n} = (- 3) d_{n - 1} - 1 \times {| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & \dots & 1 & - 3 \end{matrix} |}_{[n - 1]}

et un développement par rapport à la première ligne donne maintenant

d_{n} = - 3 d_{n - 1} - 2 d_{n - 2}

Il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, dont les racines de l'équation caractéristiques (

r^{2} = - 3 r - 2

) sont

- 1 et - 2

. En utilisant les deux conditions initiales précédente, on trouve

d_{n} = 2 (- 2)^{n} - (- 1)^{n}

pour tout

n \geq 1

II.2.11 Corollaire

Soit

A \in M_{n} (C)

. Alors

det (\bar{A}) = \bar{det (A)}

Preuve

Immédiat par récurrence sur la taille de

A

et utilisant les propriétés calculatoires de la conjugaison (somme, produit).

II.3 Déterminant et espace vectoriel

II.3.1 Définition

Soit

E

K

-ev de dimension

n

F = (u_{1}, \dots, u_{n})

une famille de

n

vecteurs. Soit

B

une base. On appelle déterminant de

F

dans la base

B

le nombre

\underset{B}{det} (u_{1}, \dots, u_{n}) = det ({M a t}_{B} (u_{1}, \dots, u_{n}))

II.3.2 Lien avec la géométrie

Ce que l'on appelait déterminant d'une famille dans

R^{2} ou R^{3}

est en fait le déterminant dans la base canonique. Rappel : dans

R^{2}

det (\vec{u}, \vec{v}) = 0

ssi

\vec{u}, \vec{v}

sont colinéaires.

II.3.3 Proposition

Soit

B

une base de

E

B^{'}

une famille de

n

vecteurs.

B^{'}

est une base de

E

ssi

\underset{B}{det} (B^{'}) \neq 0

II.3.4 Exercice

Que vaut

\underset{B^{'}}{det} B

dans ce cas ?

II.3.5 Exemple

Montrer que

((\binom{n}{k}) X^{k} (1 - X)^{n - k})_{k \in ⟦ 0, n ⟧}

est une base de

K_{n} [X]

. Dans la base canonique, la matrice est triangulaire supérieure et on peut calculer son déterminant par produit des coefficients diagonaux.

II.3.6 Théorème

Deux matrices carrées semblables ont le même déterminant.

Preuve

Posons a

A = P^{- 1} B P

pour

A, B \in M_{n} (K) et P \in G L_{n} (K)

.
On a alors

det (A) = det (P^{- 1}) det (B) det P = \frac{1}{det (P)} det (P) det (B) = det (B)

II.3.7 Invariants

Nous voilà avec 3 invariant de changement de base pour les endomorphismes : le rang, la trace et le déterminant.

II.3.8 Définition

Soit

f \in L (E)

avec

E

K

-ev de dimension

n

. Toutes les matrices de

f

(ie dans n'importe quelle base) ont le même déterminant, on le note

det (f)

et on l'appelle déterminant de

f

II.3.9 Exemple

On considère l'application

T : {\begin{array}{rcl} M_{2} (R) & \to & M_{2} (R) \\ M & \mapsto & M^{T} \end{array}

. Calculer son déterminant.
En prenant

M_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), M_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) M_{3} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) et M_{4} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

B = (M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4})

la base canonique de

M_{2} (R)

, on a

{M a t}_{B} (T) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Après un échange de colonne,

det (T) = - 1

II.3.10 Proposition

Soient

f, g \in L (E)

avec

E

de dimension

n

$det (I d_{E}) = 1$
Pour $λ \in K$ , $det (λ f) = λ^{n} det (f)$ .
$det (f \circ g) = det (f) det (g)$
$f$ est bijective (on dit aussi inversible) ssi $det (f) \neq 0$ et alors $det (f^{- 1}) = \frac{1}{det (f)}$ .

II.3.11 Puissances

On a directement

det (f^{n}) = det (f)^{n}

qui est valable par récurrence pour tout

n \in N

et même

n \in Z

f

est bijective.

I Trace

I.1 Trace d'une matrice

I.1.1 Définition

I.1.2 Exemple

I.1.3 Proposition

I.1.4 Exercice

I.1.5 Effet du produit

I.2 Trace d'un endomorphisme

I.2.1 Théorème (Trace d'un produit)

I.2.2 Exercice

I.2.3 Définition

I.2.4 Lever l’ambiguïté

I.2.5 Matrices semblables

I.2.6 Invariants

I.2.7 Définition-proposition

I.2.8 Exemple

I.2.9 Exercice

I.2.10 Linéarité

II Déterminant

II.1 Déterminant de taille n

II.1.1 Définition-proposition

II.1.2 Conséquences de la définition

II.1.3 Exemple

II.1.4 Cas n = 2

II.1.5 Interprétation géométrique

II.1.6 Notation

II.1.7 Proposition (Opérations sur les déterminants)

II.1.8 Corollaire

II.1.9 Calcul en pratique

II.1.10 Exemple

II.1.11 Théorème

II.1.12 Remarque

II.1.13 Exemple

II.1.14 Théorème

II.1.15 Exemple

II.1.16 Méthode

II.2 Propriétés calculatoires

II.2.1 Théorème

II.2.2 M-Attention

II.2.3 Corollaire

II.2.4 Théorème

II.2.5 Conséquences

II.2.6 Théorème

II.2.7 Tableau des signes

II.2.8 Exemple

II.2.9 Méthode

II.2.10 Exemple

II.2.11 Corollaire

II.3 Déterminant et espace vectoriel

II.3.1 Définition

II.3.2 Lien avec la géométrie

II.3.3 Proposition

II.3.4 Exercice

II.3.5 Exemple

II.3.6 Théorème

II.3.7 Invariants

II.3.8 Définition

II.3.9 Exemple

II.3.10 Proposition

II.3.11 Puissances

II.1 Déterminant de taille $n$