Compléments sur les espaces vectoriels

I Sommes et produits d'espaces

I.1 Produit d'espaces vectoriels

I.1.1 Proposition (Espace produit)

Soient

E, F

deux

K

-espaces vectoriels. Les opérations suivantes font de

E \times F

K

-espace vectoriel :

$\forall (x, y), (x^{'}, y^{'}) \in E \times F (x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'})$ .
$\forall (x, y) \in E \times F \forall λ \in K λ (x, y) = (λ x, λ y)$ .

Preuve

On prouve que cette loi + possède les bonnes propriétés dans

E \times F

très facilement. Soient

(x, y), (x^{'}, y^{'}) \in E \times F

Soient maintenant

λ, μ \in K

$λ . ((x, y) + (x^{'}, y^{'})) = λ . (x + x^{'}, y + y^{'}) = (λ . (x + x^{'}), λ . (y + y^{'})) = (λ . x + λ . x^{'}, λ . y + λ . y^{'}) = (λ . x, λ . y) + (λ . x^{'}, λ . y^{'}) = λ . (x, y) + λ . (x^{'}, y^{'})$
$(λ + μ) . (x, y) = . . .$
$λ . (μ . (x, y)) = . . .$
$1. (x, y) = . . .$

I.1.2 Corollaire

E_{1} \dots, E_{n}

sont des

K

-espaces vectoriels, alors

\prod_{i = 1}^{n} E_{i}

est un

K

-espace vectoriel pour la loi produit définie précédemment (c'est à dire qu'on somme composante par composante les

n

-uplets et qu'on les multiplie toutes par

λ \in K

).
Rappelons que le produit cartésien d'ensembles est associatif, ce qui justifie la notation

\prod_{i = 1}^{n}

I.1.3 Exemple

Les exemples les plus classiques sont

R^{n} = R \times R \times \dots \times R

C^{n}

I.1.4 Proposition

Soit

E, F

deux

K

-espaces vectoriels de dimension finie. Alors

E \times F

est un

K

-espace vectoriel de dimension finie et

\dim (E \times F) = \dim E + \dim F

Preuve

Soient

(e_{1}, \dots, e_{n})

une base de

E

(f_{1}, \dots, f_{p})

une base de

F

. On considère la famille

B = ((e_{1}, 0_{F}), \dots, (e_{n}, 0_{F}), (0_{E}, f_{1}), \dots, (0_{E}, f_{p})))

. On va montrer que

B

est une base de

E \times F

Méthode 1.
Montrons que $B$ est libre. Soient $α_{1}, \dots, α_{n}, β_{1}, \dots, β_{n}$ des scalaires.
Supposons $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} (e_{i}, 0_{F}) + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} (0_{E}, f_{i}) = (0_{E}, 0_{F})$ .
Le membre de gauche est, par définition des opérations dans $E \times F$ , $(\sum_{i = 1}^{n} α_{i} e_{i}, \sum_{i = 1}^{n} β_{i} f_{i})$ .
Par unicité des composantes on a donc $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} e_{i} = 0_{E}$ et $\sum_{i = 1}^{n} β_{i} f_{i} = 0_{F}$ .
Comme les familles $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $(f_{1}, \dots, f_{p})$ sont libres on en déduit que $α_{1} = \dots = α_{n} = 0_{K}$ et $β_{1}, \dots, β_{p} = 0_{K}$ ce qui prouve bien la liberté de $B$
Montrons maintenant que $B$ est génératrice de $E \times F$ . On ne peut pas utiliser un argument de cardinal et de dimension, car on chercher justement à calculer la dimension de $E \times F$ ...
Soit $(x, y) = E \times F$ . Comme $x \in E$ et que $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est génératrice de $E$ on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}$ pour certains scalaires $x_{1}, \dots, x_{n}$ .
De même $y = \sum_{i = 1}^{p} y_{i} f_{i}$ pour certains scalaires $y_{1}, \dots, y_{p}$ . Alors on a directement
$(x, y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (e_{i}, 0_{F}) + \sum_{i = 1}^{p} y_{i} (0_{E}, f_{i})$
ce qui prouve que $B$ est génératrice de $E \times F$ .
Finalement $\dim (E \times F) = C a r d (B) = n + p = \dim (E) + \dim (F)$ .
Méthode 2.
Il suffit de montrer que l'application (clairement linéaire) $ϕ : {\begin{array}{rcl} K^{n + p} & \to & E \times F \\ (λ_{1}, \dots, λ_{n}, μ_{1}, \dots, μ_{p}) & \mapsto & \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (e_{i}, 0_{F}) + \sum_{i = 1}^{p} μ_{i} (0_{E}, f_{i}) \end{array}$ est bijective. Or l'application qui à $(x, y) \in E \times F$ associe la famille des coordonnées de $x$ (dans $(e_{1}, \dots, e_{n})$ ) suivie de la famille des coordonnées de $y$ (dans $(f_{1}, \dots, f_{p})$ ) est clairement la réciproque de $ϕ$ . Ceci prouve que $E \times F$ est de dimension finie et $\dim (E \times F) = \dim E + \dim F$ .

I.1.5 Corollaire

Soient

E_{1} \dots, E_{n}

des

K

-espaces vectoriels de dimensions finies. Alors

\prod_{i = 1}^{n} E_{i}

est de dimension finie et

\dim (\prod_{i = 1}^{n} E_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \dim (E_{i})

Preuve

Le cas

n = 1

est trivial et le cas

n = 2

est le résultat précédent.
L'associativité du produit cartésien et de la somme d'entiers prouve immédiatement l'hérédité d'une récurrence sur

n

et on conclut par le principe de récurrence.

I.1.6 Exemple

\dim R^{n} = n

\dim_{R} C^{n} = 2 n

I.2 Espaces supplémentaires

I.2.1 Définition

Soient

E

K

-espace vectoriel et

F, G

deux sous-espaces. La somme de

F

G

est

F + G = {x_{F} + x_{G} | x_{F} \in F et x_{G} \in G}

.
C'est un espace vectoriel qui contient

F et G

, et on a même

F + G = V e c t (F \cup G)

I.2.2 Famille génératrice

Si on dispose d'une famille

(u_{i})

génératrice de

F

et d'une famille

(v_{i})

génératrice de

G

, alors la concaténation de ces familles engendre

F + G

.
Ainsi, en dimension finie,

\dim (F + G) \leq \dim (F) + \dim (G), \dim (F + G) \geq \dim (F), \dim (F, + G) \geq \dim (G)

I.2.3 Exemple

On se place dans

R^{3}

.
Donner une base de

P_{1} + P_{2}

où

P_{1} : x - y + 2 z = 0

P_{2} = V e c t ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}))

.
On a

P_{1} = V e c t ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}))

( en résolvant le système à 3 inconnue et une seule équation, on a posé

y, z

comme paramètres ).
Alors

P_{1} + P_{2} = V e c t ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}))

( cette famille génératrice ne peut pas être libre car elle est de cardinal 4 dans un espace de dimension 3 ). On remarque la présence de deux fois le même vecteur. Alors

P_{1} + P_{2} = V e c t ((\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}))

il reste à prouver que cette dernière famille est libre. Considérons sa matrice dans la base canonique,

M = (\begin{matrix} - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

. Par l'opération

L_{1} \leftarrow L_{1} + 2 L_{3}

puis développement par rapport à la première ligne,

det (M) = + 1 \times | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 1

et donc

M \in G L_{3} (R)

. Ainsi la famille de ses colonnes forme une base de

R^{3}

donc est libre et est une base de

P_{1} + P_{2}

.
Deuxième méthode :

P_{1} \subset P_{1} + P_{2} \subset R^{3}

donc

2 \leq \dim (P_{1} + P_{2}) \leq 3

. De plus,

\dim (P_{1} + P_{2}) = 2

ssi

P_{1} + P_{2} = P_{1}

(car

P_{1}

est un sous espace de

P_{1} + P_{2}

). Or

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \notin P_{1}

( il ne vérifie pas l'équation ) et donc

P_{1} + P_{2} \neq P_{1}

et la seule possibilité restante est

\dim (P_{1} + P_{2}) = 3

et donc

P_{1} + P_{2} = R^{3}

.
Finalement une base de

P_{1} + P_{2}

est la base canonique de

R^{3}

I.2.4 Définition

Soient

E

K

-espace vectoriel et

F, G

deux sous-espaces de

E

.
On dit que

F et G

sont supplémentaires dans

E

et on note

E = F \oplus G

ssi

\forall x \in E \exists! (x_{F}, x_{G}) \in F \times G x = x_{F} + x_{G}

Avec ces notations,

x_{F}

est appelé le projeté de

x

sur

F

dans la direction

G

(ou parallèlement à

G

) et

x_{G}

le projeté de

x

sur

G

dans la direction

F

I.2.5 Lemme

Soient

E

K

-espace vectoriel et

F, G

deux sous-espaces de

E

F \oplus G = E ⟺ ϕ : {\begin{array}{rcl} F \times G & \to & E \\ (x_{F}, x_{G}) & \mapsto & x_{F} + x_{G} \end{array} est un isomorphisme.

Preuve

ϕ \in L (F \times G, E)

facilement.
La définition donnée est exactement là même que celle de la bijectivité de

ϕ

(pour tout élément de l'ensemble d'arrivé il existe un unique antécédent par

ϕ

I.2.6 Corollaire

En dimension finie, SI

E = F \oplus G

Alors

\dim (E) = \dim (F) + \dim (G)

Preuve

Lorsque

ϕ

est un isomorphisme entre espaces de dimensions finies, on a

\dim (F \times G) = \dim (E) .

I.2.7 Proposition

Avec les notations de la définition,

E = F \oplus G ⟺ {\begin{cases} E = F + G \\ F \cap G = {0_{E}} \end{cases} .

Preuve

Par définition,

E = F + G

ssi l'application

ϕ

est surjective car

I m (ϕ) = F + G

.
Montrons que

ϕ

est injective ssi

F \cap G = {0_{E}}

.
Supposons que

F \cap G = {0_{E}}

. Soit

(x_{F}, x_{G}) \in F \times G

. On a

(x_{F}, x_{G}) \in \ker (ϕ) ⟺ x_{F} = - x_{G}

mais alors

x_{F}, x_{G}

sont alors des éléments de

F \cap G

et donc

x_{F} = x_{G} = 0_{E}

ϕ

est donc injective.
Supposons réciproquement que

ϕ

est injective. Soit

x \in F \cap G

( on montre que

x = 0_{E}

). On a

ϕ (x, 0_{E}) = x = ϕ (0_{E}, x)

( calcul licite car

x

est à la fois dans

F et G

). Or

ϕ

est injective et donc

x = 0_{E} et 0_{E} = x

. Finalement, on a bien

F \cap G = {0_{E}}

I.2.8 Théorème (Théorème de la base adaptée)

Soit

E

un espace de dimension fini et

F, G

des sous-espaces de

E

E = F \oplus G

ssi la concaténation d'une base de

F

et d'une base de

G

est une base de

E

. On dit que la base obtenue (par concaténation) est adaptée à la somme

F \oplus G

Preuve

Soient

(f_{1}, \dots, f_{p})

une base de

F

(g_{1}, \dots, g_{r})

une base de

G

.
Alors

B = ((f_{1}, 0_{E}), \dots, (f_{p}, 0_{E}), (0_{E}, g_{1}), \dots, (0_{E}, g_{r}))

est une base de

F \times G

d'après la preuve du théorème I.1.4 .
On sait que l'application linéaire

ϕ

est bijective ssi

ϕ (B)

est une base de

E

. Comme

ϕ (B) = (f_{1}, \dots, f_{p}, g_{1}, \dots g_{r})

le théorème est une conséquence directe de I.2.5 .

I.2.9 Proposition (Caractérisation des supplémentaires)

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie,

F, G

deux sous-espaces de

E

$\begin{aligned} F \oplus G = E & ⟺ {\begin{cases} E = F + G \\ \dim (E) = \dim (F) + \dim (G) \end{cases} \\ ⟺ {\begin{cases} F \cap G = {0_{E}} \\ \dim (E) = \dim (F) + \dim (G) \end{cases} \\ ⟺ la concaténation d'une base de F et d'une base de G est une base de E. \end{aligned}$

Preuve

Il s'agit d'applique le théorème de Grassman pour les deux premiers points.

I.2.10 Exemple

Dans

R^{2}

puis dans

R^{3}

trouver les espaces qui sont supplémentaires.
Dans

R^{2}

, on a

F \oplus G = E

ssi

{F, G} = {{0_{R^{2}}}, R^{2}}

F, G

sont deux droites non confondues.
Dans

R^{3}

, on a

F \oplus G = E

ssi

{F, G} = {{0_{R^{3}}}, R^{3}}

F, G

sont un plan et une droite vérifiant que la droite n'est pas incluse dans le plan.

I.2.11 Définition

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soient également

F, G

deux sous-espaces de

E

, supplémentaires dans

E

. Tout

x \in E

s'écrit donc de manière unique comme

x_{F} + x_{G}

avec

x_{F} \in F

x_{G} \in G

. L'application

p : {\begin{array}{rcl} E & \to & E \\ x & \mapsto & x_{F} \end{array}

est appelé projecteur sur

F

parallèlement à

G

(ou de direction

G

). L'application

s : {\begin{array}{rcl} E & \to & E \\ x & \mapsto & x_{F} - x_{G} \end{array}

est appelé symétrie par rapport à

F

parallèlement à

G

(ou de direction

G

I.2.12 Illustration

On représente les deux projections d'un vecteur

u

R^{2}

sur les droites

F et G

supplémentaires dans

R^{2}

, avec les mêmes conventions de notation que la définition.

Pour obtenir les projections, on a tracé en pointillés les parallèles à

F

G

passant par l'extrémité de

u

. les projections sont obtenues par intersection de ces parallèles avec

G et F

respectivement.
Remarquons qu'on a bien

u = u_{F} + u_{G}

ou encore

u_{G} = u - u_{F}

I.2.13 Liens entre ces applications

On a les liens important entre ces applications : $s = 2 p - I d et p = \frac{s + I d}{2}$ .
Si $p^{'} et s^{'}$ désignent les projection et symétrie sur $G$ et de direction $F$ , on a $p + p^{'} = I d, p \circ p^{'} = 0 = p^{'} \circ p, s + s^{'} = 0, s \circ s^{'} = s^{'} \circ s = - I d$ ..

I.2.14 Méthode

Pour déterminer la projection

p (x)

d'un vecteur

x

sur

F

parallèlement à

G

on exprime deux conditions sur

p (x)

$p (x) \in F$
$x - p (x) \in G$

I.2.15 Exemple

Soient

u = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) et v = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{2}

. Alors

(u, v)

est une base de

R^{2}

( deux vecteurs libres dans un espace de dimension 2 ).
Ainsi

F = V e c t (u) et G = V e c t (v)

sont supplémentaires dans

R^{2}

d'après le théorème de la base adaptée. Notons

p

la projection sur

F

dans la direction

G

et déterminons

p (X)

où

X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

On a $p (X) \in F$ et donc $p (X) = α u$ pour un $α \in R$ .
On a $X - p (X) \in G$ et donc $X - p (X) = β v$ pour un $β \in R$ .

Ainsi

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = X = α u + β v = (\begin{matrix} α - 2 β \\ - α + β \end{matrix})

et donc

- α = x + 2 y

.
Finalement,

p (X) = α u = (- x - 2 y) (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - x - 2 y \\ x + 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

.
On constate que

p \in L (R^{2})

et est canoniquement associée à la matrice

(\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix})

.
Si on note

s

la symétrie associée, on a

s = 2 p - I d_{R^{2}}

et on en déduit sa matrice canoniquement associée.

I.2.16 Théorème

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soient également

F, G

deux sous-espaces de

E

, supplémentaires dans

E

Soit $p$ le projecteur sur $F$ de direction $G$ . On a alors :
- $p \in L (E)$
- $p^{2} = p$
- $\ker p = G$
- $I m p = F = \ker (I d_{E} - p)$
Réciproquement si $f \in L (E)$ vérifie $f^{2} = f$ alors $f$ est le projecteur sur $I m (f) = \ker (f - I d)$ dans la direction $\ker (f)$ (et on a donc $\ker (f) \oplus I m (f) = E$ ).

I.2.17 Théorème

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soient également

F, G

deux sous-espaces de

E

, supplémentaires dans

E

Soit $s$ la symétrie par rapport à $F$ dans la direction $G$ . Alors :
- $s \in G L (E)$ et $s^{2} = I d_{E}$ ie. $s = s^{- 1}$
- $F = \ker (s - I d_{E}) = {x \in E | s (x) = x}$
- $G = \ker (s + I d) = {x \in E | s (x) = - x}$
Réciproquement, soit $f \in L (E)$ . Si $f^{2} = I d_{E}$ alors $f$ est la symétrie par rapport à $\ker (f - I d_{E})$ parallèlement à $\ker (f + I d_{E})$ qui sont donc supplémentaires dans $E$ .

I.2.18 Matrices réduites

On ne place en dimension finie, avec les notations de la définition précédente.
Construire les matrices de

p et s

dans une base adaptée à

F \oplus G = E

I.2.19 Exemple

Soit

n \in N

n \geq 2

. L'application de transposition

T : {\begin{array}{rcl} M_{n} (K) & \to & M_{n} (K) \\ M & \mapsto & M^{T} \end{array}

est linéaire et vérifie que

T^{2} = T

.
Ainsi

T

est une symétrie. C'est la symétrie par rapport à

\ker (T - I d) = {M; M^{T} = M} = S_{n} (K)

par rapport à

\ker (T + I d) = A_{n} (K)

. On retrouve ainsi que ces ensembles de matrices sont supplémentaires dans

M_{n} (K)

.
La projection sur

S_{n} (R)

parallèlement à

A_{n} (R)

est alors

p = \frac{s + I d}{2} : M \mapsto \frac{M + M^{T}}{2}

I.3 Somme et somme directe

I.3.1 Définition-proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel et

F_{1} \dots F_{p}

des sous espaces de

E

La somme des espaces $(F_{i})_{i \in ⟦ 1, p ⟧}$ est $\sum_{i = 1}^{p} F_{i} = {u_{1} + \dots + u_{p} | u_{1} \in F_{1} et u_{2} \in F_{2} et \dots et u_{p} \in F_{p}}$ .
C'est le sous espace de $E$ engendré par les $F_{i}$
On dit que la somme $F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}$ est une somme directe et on note $F = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ ssi tout vecteur $u \in F$ s'écrit de manière unique sous la forme $u = u_{1} + \dots + u_{p}$ avec $\forall i \in ⟦ 1, p ⟧ u_{i} \in F_{i}$ .

La somme et la somme directe sont associatives, ce qui permet de justifier a posteriori l'utilisation de

\sum

⨁

Preuve

Il s'agit de montrer que $\sum_{i = 1}^{n} F_{i}$ est un sous-espace de $E$ et que la somme d'espace est associative. Nous allons le montrer dans le cas $p = 3$ et on pourrait généraliser facilement (seule la formalisation est plus délicate).
Montrons que
$\underset{cette définition}{\underset{⏟}{F_{1} + F_{2} + F_{3}}} = \underset{somme de deux espaces}{\underset{⏟}{(F_{1} + F_{2}) + F_{3}}} = \underset{somme de deux espaces}{\underset{⏟}{F_{1} + (F_{2} + F_{3})}}$
Soit $x \in F_{1} + F_{2} + F_{3}$ . Alors on peut écrire $x = u_{1} + u_{2} + u_{3}$ où $u_{i} \in F_{i}$ pour $i \in ⟦ 1, 3 ⟧$ .
Alors $x = (u_{1} + u_{2}) + u_{3} \in (F_{1} + F_{2}) + F_{3}$ et $x = u_{1} + (u_{2} + u_{3}) \in F_{1} + (F_{2} + F_{3})$ et on a prouvé deux inclusions.
Soit maintenant $x \in (F_{1} + F_{2}) + F_{3}$ . Alors on peut écrire $x = u + u_{3}$ où $u \in F_{1} + F_{2}$ et $u_{3} \in F_{3}$ par définition de la somme de deux espaces. Comme $u \in F_{1} + F_{2}$ , on peut écrire $u = u_{1} + u_{2}$ où $u_{1} \in F_{1} et u_{2} \in F_{2}$ . Finalement on a bien $x \in F_{1} + F_{2} + F_{3}$ .
De la même manière $F_{1} + (F_{2} + F_{3}) \subset F_{1} + F_{2} + F_{3}$ et on a bien
$F_{1} + F_{2} + F_{3} = (F_{1} + F_{2}) + F_{3} = F_{1} + (F_{2} + F_{3})$
ce qui prouve au passage que $F_{1} + F_{2} + F_{3}$ est un sous-espace de $E$ en tant que somme de deux sous-espaces.
On a alors $F_{1} + F_{2} + F_{3} = V e c t ((F_{1} \cup F_{2}) \cup F_{3}) = V e c t (F_{1} \cup F_{2} \cup F_{3})$ .
Comme la somme d'espaces est associative, la somme directe l'est aussi.

I.3.2 Lemme

Soit

E

K

-espace vectoriel et

F_{1} \dots F_{p}

des sous espaces de

E

et notons

F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}

F = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i} ⟺ ψ : {\begin{array}{rcl} \prod_{i = 1}^{p} F_{i} & \to & F \\ (u_{1}, \dots, u_{n}) & \mapsto & \sum_{i = 1}^{p} u_{i} \end{array} est un isomorphisme.

Preuve

La linéarité n'est pas difficile et comme pour I.2.5 la définition d'une somme directe est la même que la définition de la bijectivité.
On peut remarquer en plus ici qu'on a prit

F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}

comme ensemble d'arrivée et donc

ψ

est toujours surjective.

I.3.3 Remarque

Le cas

p = 2

est déjà connu. La somme

F + G

est directe ssi

F et G

sont supplémentaires dans

F + G

. Autrement dit

F + G = F \oplus G ⟺ F \cap G = {0_{E}}

I.3.4 Théorème

Soient

F_{1}, \dots, F_{p}

des sous espaces de

E

. La somme

\sum_{i = 1}^{p} F_{i}

est directe ssi

\forall (u_{1}, \dots, u_{n}) \in \prod_{i = 1}^{p} F_{i} u_{1} + \dots + u_{p} = 0_{E} ⟺ u_{1} = u_{2} = \dots = u_{p} = 0_{E} .

Ainsi il suffit de vérifier que le vecteur nul possède une unique écriture sous forme de somme.

Preuve

C'est une ré-écriture de

\ker (ψ) = {0_{E}}

I.3.5 Définition-proposition (Théorème de la base adaptée)

Soient

F_{1}, \dots, F_{p}

des sous espaces de

E

, de dimensions finies. Notons

F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}

F = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}

ssi la concaténation de bases des

F_{i}

est une base de

F

.
Une telle base de

F

est dite adaptée à la somme directe.

Preuve

On procède comme pour les supplémentaires en utilisant l'application

ψ

I.3.6 Exercice

Trouver 3 espaces

D_{1}, D_{2}, D_{3}

tels que

R^{3} = D_{1} \oplus D_{2} \oplus D_{3}

II Espaces stables

II.1 Endomorphisme induit

II.1.1 Définition

Soit

f \in L (E)

F

un sous-espace de

E

. On dit que

F

est stable par

f

ssi

f (F) \subset F

, c'est à dire

\forall x \in F f (x) \in F

II.1.2 Exemple

Soit

f \in L (E)

λ \in K

. Montrer que

F_{λ} = \ker (f - λ i d_{E})

est stable par

f

.
Soit

x \in F_{λ}

. Alors

(f - λ I d) (x) = 0_{E}

et donc

f (x) - λ x = 0_{E}

ou encore

f (x) = λ x

. Or

F_{λ}

est un sous-espace de

E

(car c'est un noyau d'endomorphisme) et donc

λ x \in F_{λ}

.
Ainsi

f (x) \in F_{λ}

F_{λ}

est effectivement stable par

f

II.1.3 Endomorphisme induit

F

est stable par

f

alors on peut définir

f_{| F} : {\begin{array}{rcl} F & \to & F \\ x & \mapsto & f (x) \end{array}

la restriction de

f

F

(le détail important ici est l'espace d'arrivé qui est illégal si

F

n'est pas stable).
Alors

f_{| F} \in L (F)

II.1.4 Familles génératrices

Soit

F = V e c t (e_{1}, \dots, e_{p})

F

est stable par

f

ssi

\forall j \in ⟦ 1, p ⟧ f (e_{j}) \in F

. En effet

f (F) = V e c t (f (e_{1}), \dots, f (e_{p}))

II.1.5 Proposition

Soient

f, g \in L (E)

deux endomorphismes d'un espace vectoriel

E

.
Si

f \circ g = g \circ f

alors

\ker (f)

est stable par

g

\ker (g)

est stable par

f

Preuve

Il suffit de montrer une stabilité d'après la symétrie de l'hypothèse

f \circ g = g \circ f

.
Soit

x \in \ker (f)

. Montrons que

g (x) \in \ker (f)

. Or

f (g (x)) = g (f (x)) = g (0_{E}) = 0_{E}

donc

g (x) \in \ker (f)

II.2 En dimension finie

II.2.1 Exemple

Considérons l'application

f : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} - x + y + z \\ x - y + z \\ x + y - z \end{matrix})

.
On pose

u = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), v = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), w = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

F = V e c t (u, v) et G = V e c t (w)

.
Montrer que

B = (u, v, w)

est une base de

R^{3}

, que

F, G

sont stables par

f

, calculer

{M a t}_{(u, v)} (f_{F}), {M a t}_{(v)} (f_{G}) et {M a t}_{B} (f)

.
Réponse : Le déterminant dans la base canonique de

(u, v, w)

vaut -6 (faire l'opération

C_{3} \leftarrow C_{3} - \frac{1}{2} C_{1}

pour trouver un déterminant triangulaire.) et donc

B

est bien une base de

R^{3}

.
On a

f (w) = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = - 2 w \in G

et donc

G

est stable par

f

. De plus,

f (u) = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = - \frac{1}{2} u + \frac{3}{2} v

( on a cherché

α, β \in R

tels que

f (u) = α u + β v

) et

f (v) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{3}{2} u - \frac{1}{2} v

et donc

F

est stable par

f

.
Ces calculs permettent d'écrire les matrices demandées

{M a t}_{(u, v)} (f_{| F}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}), {M a t}_{(w)} f_{| G} = (- 2) et {M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

où les 0 sont la conséquence du fait que

G

est stable par

f

(seul

w

est nécessaire à l'expression de

f (w)

) et les 0 la conséquence de la stabilité de

F

par

f

(

f (u), f (v)

s'expriment en fonction de seulement

u et v

II.2.2 Théorème

Soit

F

un sous-espace de

E

B_{F}

une base de

F

que l'on complète en une base

B

E

. On note

n = \dim (E) et p = \dim (F)

F

est stable par

f

ssi

{M a t}_{B} (f)

est de la forme

(\begin{matrix} A & B \\ 0 & C \end{matrix})

où

$A \in M_{p} (K)$ ( et on a alors $A = {M a t}_{B_{F}} (f_{| F})$ )
$B \in M_{p, n - p} (K)$
$C \in M_{n - p} (K)$
0 représente la matrice nulle de $M_{n - p, p} (K)$

Preuve

On note

M = (m_{i, j}) = {M a t}_{B} (f) \in M_{n} (K)

.
Supposons

F

stable par

f

et notons,

B = (e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})

(les

p

premiers sont dans

F

). Pour

j \in ⟦ 1, p ⟧

, on a

f (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i j} e_{i}

. Les derniers termes de cette somme sont nuls car

e_{j} \in F

, ainsi

f (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{p} m_{i j} e_{i}

. Ceci prouve que les n - p dernières lignes de

M

sont nulles dans les

p

premières colonnes.
Réciproquement, si

M

est de la forme annoncée, alors

f (e_{j})

n'a des coordonnées que sur

e_{1}, \dots, e_{p}

ie est dans

F

, et ce pour tout

j \in ⟦ 1, p ⟧

II.2.3 Exemple

Donner l'interprétation géométrique de l'endomorphisme

f

canoniquement associé à

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & - \sin θ \\ 0 & \sin θ & \cos θ \end{matrix})

Notons

B_{c} = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

la base canonique de

R^{3}

D = V e c t (e_{1}) et P = V e c t (e_{2}, e_{3})

.
Alors

D

P

sont stables par

f

et on a

D \oplus P = R^{3}

d'après le théorème de la base adaptée.
De plus, pour les vecteur de

D

f

est l'identité. Ainsi l'axe

D

est invariant par

f

.
De plus

f_{| P}

est une rotation d'angle

θ

du plan

P

. On peut interpréter

f

comme la rotation d'angle

θ

autour de l'axe

D

III Hyperplans et équations

III.1 Hyperplans ( $⋆$ )

III.1.1 Définition-proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n \in N ∖ {0}

. Soit

H

un sous-espace de

E

\dim (H) = n - 1 ⟺ il existe un supplémentaire de H qui soit une droite.

Dans chacun de ces deux cas, on dit que

H

est un hyperplan.

Preuve

Immédiat en appliquant le théorème de la base incomplète pour

\Rightarrow

III.1.2 Exemple

Les droites dans

R^{2}

, les plans dans

R^{3}

.
On peut remarquer sur ces deux exemples que nos hyperplans vectoriels sont solutions d'une équation homogène (et d'ailleurs le cours de géométrie nous apprend que l'on peut lire un vecteur normal sur ces équations).

III.1.3 Droites supplémentaires

Soit

H

un hyperplan de

E

D

une droite. On a

H \oplus D = E ⟺ H \cap D = {0_{E}} ⟺ D

n'est pas incluse dans

H

.
Ainsi tout vecteur

u \notin H

dirige un supplémentaire de

H

III.1.4 Formes linéaires

Soit

f \in L (E, K)

une application linéaire dont l'ensemble d'arrivé est

K

(le même que dans ``

E

est un

K

-espace vectoriel''). On suppose que

f

n'est pas l'application nulle.
Alors

I m (f) \neq {0_{K}}

et donc

r g (f) > 0

. Or, a priori,

r g (f) \leq 1

et donc finalement

r g (f) = 1

. Ainsi, d'après le théorème du rang,

\dim (\ker (f)) = n - 1

Ainsi

\ker (f)

est un hyperplan de

E

. Le théorème suivant peut être vu comme réciproque de ce résultat.
Par exemple, le noyau de la forme linéaire

{\begin{array}{rcl} R^{3} & \to & R \\ (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) & \mapsto & 2 x - y + 3 z \end{array}

est un plan de

R^{3}

normal à

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

et il faut poser deux paramètre dans l'équation pour trouver une base.

III.1.5 Lemme

Soient

f, g \in L (E, K)

deux formes linéaires.

\ker (f) = \ker (g)

ssi

f

g

sont proportionnelles ssi il existe

α \in K^{*}

tel que

g = α f

Preuve

Remarquons que

\ker (f) = \ker (g)

est soit un hyperplan soit

E

(dans le cas où

f = g = O_{L (E, K)}

). On traite seulement le cas

\ker (f) = \ker (g) = H

un hyperplan de

E

.
Soit

u \in E ∖ H

. Alors

H \oplus V e c t (u) = E

. Alors

f (u) \in K^{*} et g (u) \in K^{*}

car

u

n'est pas dans le noyau de ces applications.
Pour

x \in E

, notons

x = x_{K} + λ u

où

x_{K} \in \ker (f)

λ \in K

. On a alors

g (x) = g (x_{K}) + λ g (u) = λ g (u) = λ \frac{g (u)}{f (u)} f (u) = \frac{f (u)}{g (u)} f (x)

En posant

α = \frac{g (u)}{f (u)} \in K^{*}

on a bien

\forall x \in E g (x) = α f (x)

III.1.6 Théorème

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie

n > 0

B = (e_{i})_{i \in ⟦ 1, n ⟧}

une base de

E

.
Pour un hyperplan

H

il existe

(\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) \in K^{n}

non nul tel qu'une équation de

H

dans la base

B

soit

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

ce qui signifie que

x \in E

de coordonnées

(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})

(dans

B

) appartient à

H

ssi

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

.
Toutes les autres équations de

H

dans

B

sont proportionnelles à celle-ci.

Preuve

Soit $(u_{1}, \dots, u_{n - 1})$ une base de $H$ . Soit $x \in E$
On a alors $x \in E ⟺ x \in V e c t (u_{1}, \dots, u_{n - 1}) ⟺ (u_{1}, \dots, u_{n - 1}, x)$ est liée $⟺ \underset{B}{det} (x, u_{1}, \dots, u_{n - 1}) = 0$ .

déterminant

x_{1} \times a_{1} + \dots + x_{n} \times a_{n} = 0

a_{1}, \dots, a_{n}

n - 1

u_{i}

(\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

x \in E

E \subset H

Il nous reste à montrer que toute autre équation de $H$ dans $B$ est proportionnelle à l'équation trouvée ici (qui, a priori, dépend au moins du choix de la base de $H$ ).
Notons $f : {\begin{array}{rcl} E & \to & K \\ x & \mapsto & \sum_{i = 1}^{n} a_{1} x_{i} \end{array}$ . Il s'agit d'une forme linéaire dont le noyau est $H$ .
Une autre équation de $H$ est donnée par $g \in L (E, K)$ telle que $\ker (g) = H = \ker (f)$ . Par les lemme précédent $g = α f$ et les équations sont bien proportionnelles.

III.2 Systèmes d'équations

III.2.1 Exemple

Donner l'interprétation géométrique de l'ensemble des solutions de

{\begin{cases} 2 x + y - z = 0 \\ x + 2 y + z = 0 \end{cases}

.
Il s'agit d'une droite vue comme intersection de deux plans de l'espace.

III.2.2 Système et théorème du rang

On considère un système linéaire homogène à

n

équations et

p

inconnues noté matriciellement

A X = 0

où l'inconnue est

X \in K^{p}

A \in M_{n, p}

.
L'ensemble des solutions est

\ker (A)

est de dimension

p - r g (A)

. Cette dimension est exactement le nombre de paramètres à poser pour résoudre ce système.

r g (A)

est le nombre d'équations restantes une fois le système échelonné.

III.2.3 Intersection d'hyperplans

Soient

H_{1}, \dots H_{p}

des hyperplans de

E

de dimension

n \geq p

B

une base de

E

. L'intersection

H_{1} \cap H_{2} \cap \dots \cap H_{p}

est l'ensemble des solutions d'un système

S

n

inconnues (les coordonnées dans

B

) et

p

équations. Le rang de

S

est au maximum

p

donc l'ensemble des solutions (notre intersection) est de dimension au moins

n - p

.
Quel est le cas d'égalité pour les dimensions ?

III.2.4 Théorème

Soit

E

de dimension

n > 0

p \leq n

l'intersection de $p$ hyperplans de $E$ est de dimension au moins $n - p$ .
réciproquement, tout sous-espace de dimension $p$ est l'intersection de $n - p$ hyperplans (et possède donc un système d'équation à $n - p$ équations et $n$ inconnues dans une base fixée de $E$ ).

Preuve

Il nous reste à prouver le deuxième point.
Soit

F

un sous-espace de

E

de dimension

p

. Notons

(e_{1}, \dots, e_{p})

une base de

F

et complétons cette base en

B = (e_{1}, \dots, e_{n})

. Soit

x \in E

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{n} \end{matrix})

ses coordonnées dans

B

. Alors

x \in F ⟺ x_{p + 1} = 0 et \dots et x_{n} = 0

.
Si on note

H_{i} : x_{i} = 0

pour

i \in ⟦ p + 1, n ⟧

des hyperplans décrits par leurs équations dans

B

, alors

F = ⋂_{i = p + 1}^{n} H_{i}

. On obtient bien

n - p

hyperplans ie.

n - p

équations.

I Sommes et produits d'espaces

I.1 Produit d'espaces vectoriels

I.1.1 Proposition (Espace produit)

I.1.2 Corollaire

I.1.3 Exemple

I.1.4 Proposition

I.1.5 Corollaire

I.1.6 Exemple

I.2 Espaces supplémentaires

I.2.1 Définition

I.2.2 Famille génératrice

I.2.3 Exemple

I.2.4 Définition

I.2.5 Lemme

I.2.6 Corollaire

I.2.7 Proposition

I.2.8 Théorème (Théorème de la base adaptée)

I.2.9 Proposition (Caractérisation des supplémentaires)

I.2.10 Exemple

I.2.11 Définition

I.2.12 Illustration

I.2.13 Liens entre ces applications

I.2.14 Méthode

I.2.15 Exemple

I.2.16 Théorème

I.2.17 Théorème

I.2.18 Matrices réduites

I.2.19 Exemple

I.3 Somme et somme directe

I.3.1 Définition-proposition

I.3.2 Lemme

I.3.3 Remarque

I.3.4 Théorème

I.3.5 Définition-proposition (Théorème de la base adaptée)

I.3.6 Exercice

II Espaces stables

II.1 Endomorphisme induit

II.1.1 Définition

II.1.2 Exemple

II.1.3 Endomorphisme induit

II.1.4 Familles génératrices

II.1.5 Proposition

II.2 En dimension finie

II.2.1 Exemple

II.2.2 Théorème

II.2.3 Exemple

III Hyperplans et équations

III.1 Hyperplans ( ⋆ )

III.1.1 Définition-proposition

III.1.2 Exemple

III.1.3 Droites supplémentaires

III.1.4 Formes linéaires

III.1.5 Lemme

III.1.6 Théorème

III.2 Systèmes d'équations

III.2.1 Exemple

III.2.2 Système et théorème du rang

III.2.3 Intersection d'hyperplans

III.2.4 Théorème

III.1 Hyperplans ( $⋆$ )