Réduction

Motivation

Matrices diagonales

Les produits et puissances de matrices sont beaucoup plus aisés sur les matrices diagonales.

Endomorphismes

Nous avons constaté que certains endomorphismes ont une matrice diagonale pour un bon choix de base

B

Traduction sur la base

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension 3.
Soit

f \in L (E)

B = (u, v, w)

une base de

E

. On suppose que

{M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})

.
Traduisons cette hypothèse :

f (u) = 2 u, f (v) = - v et f (w) = 3 w

Noyaux

Poursuivons notre analyse de la situation précédente.
On a

u

qui vérifie

f (u) - 2 u = 0_{E}

(f - 2 I d_{E}) (u) = 0_{E}

. Or

u

fait partie d'une famille libre donc est non nul. Ainsi

\ker (f - 2 I d_{E}) \neq {0_{E}}

, ou encore l'endomorphisme

f - 2 I d_{E}

n'est pas bijectif.
De même

f + I d_{E} et f - 3 I d_{E}

ne sont pas bijectifs.

I Elements propres

I.1 Valeurs et vecteurs propres

Les deux définitions suivantes sont équivalentes

I.1.1 Définition (Valeur propre et vecteur propre)

Soit

E

K

-espace vectoriel et

f \in L (E)

.
Soit

λ \in K

. On dit que

λ

est une valeur propre de

f

ssi il existe un

x \in E

non nul tel que

f (x) = λ x

. Un tel

x

non nul est appelé un vecteur propre de

f

associé à la valeur propre

λ

.
L'ensemble des valeurs propres de

f

est appelé le spectre de

f

et noté

S p (f)

I.1.2 Définition (Vecteur propre et valeur propre)

Soit

E

K

-espace vectoriel et

f \in L (E)

.
Soit

x \in E

. On dit que

x

est un vecteur propre de

f

ssi

{\begin{cases} x \neq 0_{E} \\ \exists λ \in K f (x) = λ x \end{cases}

On dit que

x

est un vecteur propre de

f

associé à la valeur propre

λ

I.1.3 Exemple

On prend

E = C^{\infty} (R, R)

D : f \mapsto f^{'} \in L (E)

. Trouvons les valeurs propres de

D

. Soit

λ \in R

. On se demande s'il existe une fonction

f

qui n'est pas la fonction nulle telle que

D (f) = λ f

ou encore

f^{'} = λ f

.
La réponse est oui, par exemple

t \mapsto e^{λ t}

. On connaît même toutes les solutions :

t \mapsto K e^{λ t}

où

K \in R^{*}

.
Conclusion : tout réel est valeur propre de

D

ou encore

S p (D) = R

I.1.4 Proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel et

f \in L (E)

.
Soit

λ \in K

. Alors on a

λ est une valeur propre de f ⟺ \ker (f - λ I d_{E}) \neq {0_{E}}

Preuve

Pour

x \in E

on a

f (x) = λ x ⟺ f (x) - λ x = 0_{E} ⟺ x \in \ker (f - λ I d_{E}) = \ker (λ I d_{E} - f)

.
Ainsi il existe un tel

x

non nul ssi

\ker (f - λ I d_{E}) \neq {0_{E}}

I.1.5 Définition

Soit

A \in M_{n} (K)

.
Soit

λ \in K

. On dit que

λ

est une valeur propre de

A

ssi il existe un

X \in K^{n}

non nul tel que

A X = λ X

. Un tel

X

non nul est appelé un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre

λ

.
En résumé : les valeurs propres et vecteurs propres de

A

sont les valeurs propres et vecteurs propres de l'application linéaire canoniquement associée à

A

f_{A} : {\begin{array}{rcl} K^{n} & \to & K^{n} \\ X & \mapsto & A X \end{array}

.
On note

S p (A) = S p (f_{A})

le spectre de

A

(l'ensemble de ses valeurs propres)

I.1.6 Exemple

Soit

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

.
Trouver les valeurs propres de

A

. Soit

λ \in R

. On cherche s'il y a une solution non nulle

X \in R^{2}

A X = λ X

. Posons

X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

A X = λ X ⟺ {\begin{cases} 2 x + y = λ x \\ x + 2 y = λ y \end{cases} ⟺ {\begin{cases} (2 - λ) x + y = 0 \\ x + (2 - λ) y = 0 \end{cases}

.
Un système linéaire homogène possède une solution non nulle ssi sa matrice n'est pas inversible. Ainsi

λ

est une valeur propre ssi

| \begin{matrix} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{matrix} | = 0

ssi

| \begin{matrix} 3 - λ & 1 \\ 3 - λ & 2 - λ \end{matrix} | = 0

ssi

(3 - λ) | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{matrix} | = 0

ssi

(3 - λ) (1 - λ) = 0

.
Finalement, les valeurs propres de

A

sont

1 et 3

S p (A) = {1, 3}

I.1.7 Remarque

Pour

A \in M_{n} (K)

λ \in K

, on a

λ \in S p (A) ⟺ \ker (A - λ I_{n}) \neq {0_{K^{n}}}

I.2 Espaces propres

I.2.1 Définition

Soit $f \in L (E)$ et $λ \in K$ une valeur propre de $f$ . L'espace propre associée à $λ$ est l'espace $E_{λ} (f) = \ker (f - λ I d_{E}) = \ker (λ I d_{E} - f) \neq {0_{E}}$ .

λ

E_{λ}

Soit $A \in M_{n} (K)$ et $λ \in K$ une valeur propre de $A$ .
L'espace propre associée à $λ$ est l'espace $E_{λ} (A) = \ker (A - λ I_{n}) = \ker (λ I_{n} - A) \neq {0_{K^{n}}}$ .

I.2.2 Éléments propres

Les éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice sont : ses valeurs propres et les espaces propres associés.

I.2.3 Noyau

f

est injective ssi

0

n'est pas valeur propre de

f

. De manière plus générale,

λ

est valeur propre de

f

ssi

f - λ I d_{E}

n'est pas injective.

I.2.4 Exemple

On reprend l'exemple I.1.6 . Calculons

E_{1} (A) et E_{3} (A)

.
D'après notre analyse,

X \in E_{1} (A) ⟺ A X = X

. On trouve le système

x + y = 0

dont l'ensemble des solutions est

V e c t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

. Ainsi

E_{1} (A) = V e c t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

.
On résout de même

A X = 3 X

. On obtient le système

- x + y = 0

. Ainsi

E_{3} (A) = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

.
Remarquons que

B = ((\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}))

est une base de

R^{2}

(famille libre de 2 vecteurs. Elle est en plus orthogonale et indirecte).
Notons

f : {\begin{array}{rcl} R^{2} & \to & R^{2} \\ X & \mapsto & A X \end{array}

l'endomorphisme canoniquement associé à

A

. Alors

{M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})

est une matrice diagonale.
Ici, l'endomorphisme est canoniquement associé donc on a

E_{1} (A) = E_{1} (f), E_{3} (A) = E_{3} (f)

I.2.5 Remarque

λ

est une valeur propre de

A

, alors

\dim (E_{λ}) = n - r g (λ I_{n} - A) = n - r g (A - λ I_{n})

I.2.6 Exemple

Vérifier que

0

est une valeur propre de

A = (\begin{matrix} 1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 6 & 10 & 14 \\ 3 & 7 & 11 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{matrix})

et calculer

E_{0} (A)

.
On montre facilement que le rang de

A

est 2 (retrancher

C_{1}

à chaque autre colonne pour commencer). Ainsi on trouve un espace propre

E_{0} (A)

de dimension

\dim (E_{0} (A)) = 4 - r g (A - 0 I_{4}) = 2

I.2.7 Inversibilité

A \in M_{n} (K)

est inversible ssi

r g (A) = n

ssi

0

n'est pas valeur propre de

A

I.2.8 Théorème

Soit

f \in L (E)

λ_{1}, \dots λ_{p}

des valeurs propres 2 à 2 distinctes de

f

. Pour

i \in ⟦ 1, p ⟧

on pose

v_{i}

un vecteur propre associé à

λ_{i}

(il est donc non nul).
La famille

(v_{1}, \dots, v_{p})

est libre.

Preuve

Le cas $p = 1$ est évident (une famille de 1 vecteur est libre ssi le vecteur est non nul)
Supposons le théorème vrai pour $p$ valeurs propres distinctes.
Prenons $p + 1$ vecteurs propres associés à des valeurs propres 2 à 2 distinctes.
Soient $α_{1}, \dots, α_{p + 1} \in K$ tels que
$\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 1}^{p + 1} α_{i} v_{i} = 0_{E} \end{matrix}$
En composant par $f$ on obtient
$\begin{matrix} (2) & \sum_{i = 1}^{p + 1} α_{i} λ_{i} v_{i} = 0_{E} \end{matrix}$
En calculant $(1) - λ_{p + 1} (2)$ on obtient $\sum_{i = 1}^{p} α_{i} (λ_{i} - λ_{p + 1}) v_{i} = 0_{E}$ .
Or, par hypothèse de récurrence, la famille $(v_{1}, \dots, v_{p})$ est libre. Ainsi pour $i \in ⟦ 1, p ⟧$ on a $α_{i} (λ_{i} - λ_{p + 1}) = 0$ .
Comme $λ_{i} \neq λ_{p + 1}$ , on a $α_{i} = 0$ .
Il reste à voir que $α_{p + 1} v_{p + 1} = 0_{E}$ avec $v_{p + 1} \neq 0_{E}$ (la moindre des choses pour un vecteur propre !).
Finalement, la famille $(v_{1}, \dots, v_{p + 1})$ est libre.
Par récurrence, pour tout $p \in N ∖ {0}$ , $p$ vecteurs propres associés à $p$ valeurs propres distinctes deux à deux forment une famille libre.

I.2.9 Exemple

La famille

(t \mapsto e^{λ t})_{λ \in R}

est libre car toute sous famille finie est libre.

I.2.10 Exercice

Montrer que

(\cos (n .))_{n \in N}

est libre.

I.2.11 En dimension finie

\dim (E) = n

, un endomorphisme de

E

ne peut pas avoir plus de

n

valeurs propres distinctes.

I.2.12 Théorème

Soit

f \in L (E)

λ_{1}, \dots λ_{k}

des valeurs propres 2 à 2 distinctes de

f

.
La somme

\sum_{i = 1}^{k} E_{λ_{i}} (f)

est directe ie

\sum_{i = 1}^{k} E_{λ_{i}} = ⨁_{i = 1}^{k} E_{λ_{i}}

Preuve

Soient

(u_{1}, u_{2} \dots, u_{k}) \in \prod_{i = 1}^{k} E_{λ_{i}}

. On suppose que

\sum_{i = 1}^{n} u_{i} = 0_{E}

. On doit montrer que tous les

u_{i}

sont nuls. Or des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre d'après le résultat précédent. Ainsi une somme de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ne peut être nulle. On en déduit qu'aucun des

u_{i}

n'est un vecteur propre et qu'ils sont donc tous nuls.

I.2.13 Exemple

Soit

F

un plan de

R^{3}

D

une droite non contenue dans

F

. Alors

F \oplus D = R^{3}

.
Soit

p

le projecteur sur

F

parallèlement à

D

. On a

F = I m (p) = \ker (p - I d) = E_{1}

G = \ker (p) = E_{0}

et on a bien

E_{1} \oplus E_{0} = E_{1} + E_{0}

I.3 Stabilité ( $⋆$ )

I.3.1 Proposition

Soit

f \in L (E)

.
Si

D

est une droite de

E

stable par

f

, alors

D

est dirigée par un vecteur propre de

f

Preuve

Supposons qu'on ait

f (D) \subset D

pour une droite

D

ie. que la droite

D

est stable par

f

.
Notons

D = V e c t (u)

pour un

u \neq 0_{E}

(qui dirige

D

). Alors

f (u) \in D

donc

f (u) = λ u

pour un certain

λ \in K

. Ainsi

u

est un vecteur propre de

f

associé à la valeur propre

λ

. On a même

D \subset E_{λ} (f)

I.3.2 Proposition

Soit

f \in L (E)

λ \in K

une valeur propre de

f

. Alors

E_{λ} (f)

est stable par

f

Preuve

Soit

x \in E_{λ} (f)

. Alors

f (x) = λ x

par définition et donc

f (x) \in E_{λ} (f)

(stabilité par produit par un scalaire).

I.3.3 Endomorphisme induit

Dans le cadre de la proposition, on note

g : {\begin{array}{rcl} E_{λ} (f) & \to & E_{λ} (f) \\ x & \mapsto & f (x) \end{array}

.La restriction de l'ensemble d'arrivé a du sens d'après la proposition précédente.
Pour tout

x \in E_{λ} (f)

on a

g (x) = f (x) = λ x

. Ainsi

g = λ I d_{E_{λ} (f)}

.
En résumé : la restriction d'une application linéaire à un espace propre est une homothétie.
Si

E

est de dimension finie, on peut trouver

F

un supplémentaire de

E_{λ}

et la matrice de

f

est alors de la forme

(\begin{matrix} λ I_{p} & ? \\ 0 & ? \end{matrix})

I.3.4 Proposition

Soient

f, g \in L (E)

tels que

f \circ g = g \circ f

$\ker (f) et I m (f)$ sont stables par $g$ .
Tout espace propre de $f$ est stable par $g$ .

Evidemment, on peut échanger les rôles de

f et g

dans ces résultats.

Preuve

Soit $x \in \ker (f)$ . Montrons que $g (x) \in \ker (f)$ .
Or $f (g (x)) = g (f (x)) = g (0_{E}) = 0_{E}$ . Donc $g (x) \in \ker (f)$ .
Soit $y \in I m (f)$ . Notons $y = f (x)$ . Alors $g (y) = g (f (x)) = f (g (x)) \in I m (f)$ .
Pour $λ \in K$ , $g \circ (f - λ I d_{E}) = (f - λ I d_{E}) \circ g$ donc $\ker (f - λ I d_{E})$ est stable par $g$ d'après le point précédent.

I.3.5 Proposition

Soient

f, g \in L (E)

. On suppose

f \circ g = g \circ f

.
Toute droite propre de

f

est aussi une droite propre pour

g

et toute droite propre pour

g

est une droite propre pour

f

II En dimension finie

Dans toute la suite du chapitre,

E

désigne un

K

-espace vectoriel de dimension

n \in N ∖ {0}

II.1 Rappels sur la bijectivité et l'inversibilité

II.1.1 Proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n \neq 0

f \in L (E)

.
On a les équivalences suivantes

$\begin{aligned} f \in G L (E) & ⟺ l'image par f d'une base de E est une base de E \\ ⟺ f est surjective ⟺ I m (f) = E \\ ⟺ r g (f) = n \\ ⟺ f est injective ⟺ \ker (f) = {0_{E}} \\ ⟺ \exists g \in L (E) g \circ f = I d_{E} \\ ⟺ det (f) \neq 0 \end{aligned}$

II.1.2 Proposition

Soit

A \in M_{n} (K)

. Notons

C_{1}, \dots C_{n}

les colonnes de

A

L_{1}, \dots, L_{n}

ses lignes.
On a les équivalences suivantes

$\begin{aligned} A \in G L_{n} (K) & ⟺ (C_{1}, \dots C_{n}) est une base de M_{n, 1} (K) \\ ⟺ (L_{1}, \dots L_{n}) est une base de M_{1, n} (K) \\ ⟺ r g (A) = n ⟺ I m (A) = K^{n} \\ ⟺ \forall Y \in K^{n} \exists! X \in K^{n} A X = Y \\ ⟺ \ker (A) = {0_{K^{n}}} \\ ⟺ \exists B \in M_{n} (K) A B = I_{n} \\ ⟺ det (A) =\neq 0 \end{aligned}$

II.2 Polynôme caractéristique

II.2.1 Définition-proposition

Soit

A \in M_{n} (K)

. Le polynôme caractéristique de

A

est le polynôme

χ_{A}

associée à la fonction

χ_{A} : {\begin{array}{rcl} K & \to & K \\ x & \mapsto & det (x I_{n} - A) \end{array}

χ_{A}

est un polynôme unitaire (son coefficient dominant est 1) de degré $n$ , la taille de

A

Preuve

On doit prouver que

x \mapsto det (x I_{n} - A)

est polynomiale de degré

n

et unitaire. Notons

E_{1}, \dots E_{n}

les colonnes de

I_{n}

Pour

p \in ⟦ 1, n ⟧

, on pose

P_{p}

la propriété : pour

C_{1}, \dots, C_{n} \in K^{n}

f_{p} : x \mapsto det (x E_{1} - C_{1}, \dots, x E_{p} - C_{p}, - C_{p + 1}, \dots, - C_{n})

est une fonction polynomiale de degré au plus

p

et le coefficient de

x^{p}

est

det (E_{1}, \dots, E_{p}, - C_{p + 1}, \dots, - C_{n})

.
Pour nos calculs, fixons

x \in K

$f_{1} (x) = det (x E_{1} - C_{1}, - C_{2}, \dots, - C_{n}) = x det (E_{1}, - C_{2}, \dots, - C_{n}) + det (- A)$ qui est bien degré au plus 1 et le coefficient de $x^{1}$ est $det (E_{1}, - C_{2}, \dots, - C_{n})$ .
Supposons $P_{p}$ vérifiée pour un $p \in ⟦ 1, n - 1 ⟧$ .
Alors

$\begin{aligned} f_{p + 1} (x) & = x \underset{g (x)}{\underset{⏟}{det (x E_{1} - C_{1}, \dots, x E_{P} - C_{p}, E_{p + 1}, - C_{p + 2} \dots, - C_{n})}} + \\ \underset{h (x)}{\underset{⏟}{det (x E_{1} - C_{1}, \dots, x E_{P} - C_{p}, - C_{p + 1}, \dots, - C_{n})}} . \end{aligned}$

On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à chacun des deux déterminants (avec deux familles de colonnes différentes) : $g et h$ sont polynomiale de degré au plus $p$ donc $f_{p + 1}$ est de degré au plus $p + 1$ et le coefficient de $x^{p + 1}$ est le coefficient de $x^{p}$ dans $g (x)$ , ie $det (E_{1}, \dots, E_{p}, E_{p + 1}, - C_{p + 2}, \dots, - C_{n})$ (toujours par hypothèse de récurrence).
Par récurrence, $P_{p}$ est vraie pour tout $p \in ⟦ 1, n ⟧$ .

En appliquant le résultat précédent aux colonnes de

A

, on trouve que

χ_{A}

est polynomiale de degré au plus

n

et le coefficient de

x^{n}

est

det (E_{1}, \dots, E_{n}) = 1

II.2.2 Exemple

Calculer sous forme factorisée le polynôme caractéristique de

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix})

.
Pour

x \in K

χ_{A} (x) = | \begin{matrix} x & - 1 & 0 \\ 0 & x & - 1 \\ 1 & - 1 & x - 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} x - 1 & - 1 & 0 \\ x - 1 & x & - 1 \\ x - 1 & - 1 & x - 1 \end{matrix} | = (x - 1) | \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & x & - 1 \\ 1 & - 1 & x - 1 \end{matrix} |

. On a sommé toutes les colonnes dans

C_{1}

.
Ainsi

χ_{A} (x) = (x - 1) | \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & x + 1 & - 1 \\ 0 & 0 & x - 1 \end{matrix} | = (x + 1) (x - 1)^{2}

II.2.3 Proposition

Soit

A \in M_{n} (K)

. Le coefficient constant de

χ_{A}

est

(- 1)^{n} det (A)

et le coefficient de

X^{n - 1}

est

- T r (A)

. Ainsi

χ_{A} (X) = X^{n} - T r (A) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} det (A)

Ce résultat est également valable pour les endomorphismes.

Preuve

On a en effet

χ_{A} (0) = det (0 I_{n} - A) = det (- A) = (- 1)^{n} det (A)

qui est bien le coefficient constant.
Pour la trace, voir la fin du chapitre.

II.2.4 Exemple

A \in M_{2} (K)

alors

χ_{A} (X) = X^{2} - T r (A) X + det (A)

II.2.5 Matrices semblables

Soient

A, B \in M_{n} (K)

deux matrices semblables. Posons

P \in G L_{n} (K)

telle que

A = P^{- 1} B P

. Soit également

λ \in K

Alors

λ I_{n} - A = λ P^{- 1} P - P^{- 1} B P = P^{- 1} (λ I_{n} - A) P

. Ainsi

λ I_{n} - A

λ I_{n} - B

sont semblables et ont donc le même déterminant, ie

χ_{A} = χ_{B}

II.2.6 Définition

Soit

f \in L (E)

, où

E

est de dimension

n

. Le polynôme caractéristique

χ_{f}

f

est le polynôme associé à l'application

x \mapsto det (x I d_{E} - f)

. C'est un polynôme unitaire de degré

n

.
Si

A

est la matrice de

f

dans une base

B

quelconque de

E

alors

χ_{f} = χ_{A}

II.2.7 Exemple

On considère

f : {\begin{array}{rcl} R_{3} [X] & \to & R_{3} [X] \\ P & \mapsto & P + P^{'} \end{array}

. Calculer

χ_{f}

. On trouve immédiatement

(X - 1)^{4}

II.3 Lien avec les valeurs propres

II.3.1 Théorème

Soit

f \in L (E)

A \in M_{n} (K)

. Soit

λ \in K

$λ$ est une valeur propre de $f$ ssi $χ_{f} (λ) = 0$ ie $λ$ est une racine de $χ_{f}$ .
$λ$ est une valeur propre de $A$ ssi $χ_{A} (λ) = 0$ ie $λ$ est une racine de $χ_{A}$ .

Preuve

Les deux énoncés sont équivalents. Prouvons le premier.

$\begin{aligned} λ \in S p (f) & ⟺ \exists x \in E ∖ {0} f (x) = λ x \\ ⟺ \exists x \in E ∖ {0} x \in \ker (λ I d_{E} - f) \\ ⟺ λ I d_{E} - f \notin G L (E) \\ ⟺ det (λ I d_{E} - f) = 0 \end{aligned}$

II.3.2 Cas des matrices triangulaires ou diagonales

Rappelons qu'un déterminant triangulaire se calcul par produit des éléments diagonaux.
On en déduit que pour une matrice triangulaire (et donc pour une diagonale), les valeurs propres se lisent sur la diagonale.

II.3.3 Exemple

Donner les éléments propres de

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})

II.3.4 Déterminer les éléments propres

On procède comme suit :

Calculer le polynôme caractéristique
Trouver les racines dudit polynôme
Calculer les espaces propres qui correspondent.

II.3.5 Exemple

Trouver les éléments propres de

A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \in M_{n} (C)

.
On a

χ_{A} = X^{2} - 2 X + 2

donc les valeurs propres de

A

sont

1 \pm i

Calcul de $E_{i + i}$ . Soit $X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \in C^{2}$ . $X \in E_{1 + i}$ ssi $A X = (1 + i) X$ ssi ${\begin{cases} x - y = (1 + i) x \\ x + y = (1 + i) y \end{cases}$ ssi $- i x - y = 0$ (on remarque que la deuxième ligne est forcément proportionnelle à la première car $1 + i$ est valeur propre donc $E_{1 + i} \neq {0}$ . Ici le facteur est $i$ ).
Ainsi $E_{1 + i} = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ .
Calcul de $E_{1 - i}$ . On trouve $E_{1 - i} = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$ .

II.3.6 Théorème (Rappel : d'Alembert-Gauss)

Soit

P \in C [X]

Si $P$ est non constant, alors $P$ possède un moins une racine dans $C$ .
Si $P$ est non nul, il possède exactement autant de racine dans $C$ (comptées avec multiplicités) que son degré. On dit que $P$ est scindé .

Conséquence ici : Toute matrice

A \in M_{n} (C)

possède au moins une valeur propre.

Preuve

Admis, comme en sup.

II.3.7 Proposition (Déterminant triangulaire par bloc)

Soit

M \in M_{n} (K)

de la forme

M = (\begin{matrix} A & B \\ 0 & C \end{matrix})

où

A, C

sont des matrices carrées (de tailles quelconques, y compris 1). Alors

det (M) = det (A) det (C)

Preuve

Notons

A \in M_{p} (K)

(ie notons

p

la taille de

A

Si $p = 1$ , alors le résultat est simplement l'application du développement par rapport à la première colonne.
Supposons le théorème vrai pour les matrices $A$ de taille $p \geq 1$ . Montrons le pour $A$ de taille $p + 1$
1. Si la première colonne de $A$ est nulle alors $det (A) = det (M) = 0$ et la formule est vérifiée.
2. Si $a_{1, 1} \neq 0$ alors on élimine tous les termes de la première colonne de $A$ par opérations élémentaires sans changer ni la valeur de $det (A)$ ni celle de $det (M)$ .
  Notons $A^{'} \in M_{p} (K)$ la matrice obtenue après opérations puis en retirant les premières lignes et colonnes de $A$ .
  On a alors $det (A) = a_{1, 1} det (A^{'})$ et $det (M) = a_{1, 1} | \begin{matrix} A^{'} & ? \\ 0 & C \end{matrix} | = a_{1, 1} det (A^{'}) det (C) = det (A) det (C)$ . par hypothèse de récurrence.
3. Si $a_{1, 1} = 0$ , on échange deux lignes dans $M$ (et dans $A$ ) pour placer un coefficient non nul en position $1, 1$ .
  Ceci oppose à la fois $det (A)$ et $det (M)$ . On est maintenant revenu au cas précédent, sauf que l'on calcule $- det (M) = (- det (A)) det (C)$ .
Par récurrence, le théorème est vrai pour toute taille de la matrice $A$ .

II.3.8 Théorème

Soit

f \in L (E)

λ \in S p (f)

. Notons

μ (λ)

la multiplicité de

λ

comme racine de

χ_{f}

(on appelle cette quantité la multiplicité de la valeur propre

λ

1 \leq \dim (E_{λ} (f)) \leq μ (λ)

Preuve

$λ$ est une valeur propre de $f$ donc $E_{λ} \neq {0_{E}}$ et donc $1 \leq \dim (E_{λ})$ .
Soient $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $E_{λ}$ . On complète cette base en $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ .
Alors ${M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} λ I_{p} & B \\ 0 & C \end{matrix})$ où $0, B, C$ sont des matrices. Ainsi, pour $x \in K$ , $χ_{f} (x) = | \begin{matrix} (x - λ) I_{p} & - B \\ 0 & x I_{n - p} - C \end{matrix} | = det ((x - λ) I_{p})) det (x I_{n - p} - C) = (x - λ)^{p} χ_{C} (x)$ .

λ

p

χ_{f}

II.3.9 Corollaire

λ

est une racine simple de

χ_{A}

χ_{f}

, alors

E_{λ}

est une droite.

II.3.10 Exemple

Reprendre II.2.2 et calculer les espaces propres. On trouve

E_{1} = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) et E_{- 1} = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

II.3.11 Exemple

Trouver un exemple où

\dim (E_{λ}) = μ (λ) > 1

. Prendre une matrice diagonale, ou une projection.

III Diagonalisation

Rappel :

E

est toujours un

K

-espace vectoriel de dimension finie

n \geq 1

III.1 Diagonalisabilité

III.1.1 Définition

Soit $f \in L (E)$ . On dit que $f$ est diagonalisable ssi il existe une base $B$ de $E$ telle que ${M a t}_{B} (f)$ est diagonale.
Soit $A \in M_{n} (K)$ . On dit que $A$ est diagonalisable ssi $A$ est semblable à une matrice diagonale (il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = P^{- 1} A P et A = P D P^{- 1}$ .)

III.1.2 Exemple

Les projecteurs et symétries.

III.1.3 Proposition

Soit

f \in L (E)

f

est diagonalisable ssi il existe une base

B

E

composée de vecteurs propres de

f

.
Dans ce cas

{M a t}_{B} (f)

est diagonale et sa diagonale est composée des valeurs propres de

f

associées aux vecteurs propres de

B

( les valeurs propres sont dans l'ordre des vecteurs de

B

Preuve

Simple traduction.

III.1.4 Proposition

Soit

A \in M_{n} (R)

A

est diagonalisable ssi il existe une base

B

composée de vecteurs propres de

A

. En notant

B_{c}

la base canonique de

K^{n}

P = {M a t}_{B_{c}} B

la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de

A

on a

D = P^{- 1} A P est diagonale

et la diagonale de

D

est composée des valeurs propres de

A

associées respectivement aux vecteurs propres de

B

(dans le même ordre).
On a alors

A = P D P^{- 1}

Preuve

Il s'agit de la traduction sur

f_{A} : X \mapsto A X

du théorème précédent.

III.1.5 Influence de $K$

Comme on l'a vu en pratique, il peut être insuffisant de chercher à diagonaliser un

R

-endomorphisme sur

R

. On peut parfois considérer

E

comme un

C

-espace vectoriel (polynôme, matrices, colonnes) si cela est autorisé par l'énoncé.

III.1.6 Exemple

La matrice de II.2.2 n'est pas diagonalisable. En effet les seuls vecteurs propres de $A$ sont dans $E_{1} ou E_{- 1}$ . Si on prend 3 vecteurs propres, au moins deux appartiennent à l'une des deux droites $E_{1} ou E_{- 1}$ donc la famille est liée.
La matrice de II.3.5 est diagonalisable dans $M_{2} (C)$ mais pas dans $M_{2} (R)$ .
Si $e_{1} \in E_{1 - i} et e_{2} \in E_{1 + i}$ et $P = {M a t}_{B_{c}} (e_{1}, e_{2})$ alors $P^{- 1} A P = D = (\begin{matrix} 1 - i & 0 \\ 0 & 1 + i \end{matrix})$ .

A = P D P^{- 1}

III.1.7 Théorème

Soit

f \in L (E)

f

est diagonalisable ssi

⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ} = E

Preuve

On sait déjà qu'une somme d'espace propres est directe et donc a priori

⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ} \subset E

Supposons $⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ} = E$ .
Alors la concaténation de bases des $E_{λ}$ est une base de $E$ qui est composée de vecteurs propres (des vecteurs non nuls des $E_{λ}$ car ils se trouvent dans des familles libres).
Réciproquement, supposons $f$ diagonalisable.
Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base dans laquelle ${M a t}_{B} (f)$ est diagonale. Elle est composée de vecteurs propres par définition des vecteurs propres (encore une fois, des vecteurs d'une famille libre sont forcément non nuls).
Ainsi pour tout $k \in ⟦ 1, n ⟧$ , $e_{i} \in ⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ}$ (il est dans l'un des espaces de la somme).
$⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ}$ contient donc une base de $E$ donc $E \subset ⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ}$ ce qui prouve l'égalité de ces ensembles.

III.1.8 Théorème

Soit

f \in L (E)

f

est diagonalisable sur

K

ssi

χ_{f}

est scindé sur

K

et pour tout

λ \in S p (f)

on a

\dim (E_{λ}) = μ (λ)

(la multiplicité de

λ

en tant que racine de

χ_{f}

Preuve

Supposons $f$ diagonalisable. Alors $⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ} = E$ , ainsi $\sum_{λ \in S p (f)} \dim (E_{λ}) = \dim (E)$ .
Or on a également $\sum_{λ \in S p (f)} \dim (E_{λ}) \leq \sum_{λ \in S p (f)} μ (λ) \leq n$ (un polynôme de degré $n$ ne peut pas avoir plus de $n$ racines dans $K$ ).
Ainsi $χ_{f}$ est scindé. De plus, $\sum_{λ \in S p (f)} \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{(μ (λ) - \dim (E_{λ}))}} = 0$ et donc tous les nombres de cette somme sont nuls.
Réciproquement, supposons $χ_{f}$ scindé et $E_{λ}$ de dimension maximale pour tout $λ \in S p (f)$ .
Alors $⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ} \subset E$ et $\dim (⨁_{λ \in S p (f)} E_{λ}) = \sum_{λ \in S p (K)} \dim (E_{λ}) = n$ ce qui prouve l'égalité de ces deux espaces vectoriels et donc la diagonalisabilité de $f$ d'après le théorème III.1.7

III.1.9 Remarque

On a prouvé au passage que

f

est diagonalisable ssi la somme des dimensions des espaces propres vaut

n

III.1.10 Exemple

Montrer que $f \in L (R^{3})$ canoniquement associée à $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$ est diagonalisable.

χ_{f} (x)

x \in R

χ_{f} (x) = x^{2} (x - 3)

χ_{f}

R

0

1 \leq E_{3} (f) \leq μ (3) = 1

\dim (E_{3} (f)) = μ (3)

A X = 0 X

X \in R^{3}

E_{0} (f) = \ker (f) = V e c t ((\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}))

2 = μ (0)

f

diagonalisable.

Montrer que $f : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} 2 x + y \\ - 2 x - y \end{matrix})$ est diagonalisable.
On trouve immédiatement que $χ_{f} (x) = x^{2} - T r (f) x + det (f) = x^{2} - x = x (x - 2)$ . Ainsi $χ_{f}$ est scindé et ses deux racines sont 0 et 2 et sont simples.
Or pour une racine simple $λ$ on a forcément $1 \leq \dim (E_{λ}) \leq μ (λ) = 1$ et donc $\dim (E_{λ}) = μ (λ)$ et finalement $f$ est bien diagonalisable.

III.1.11 Proposition

Soit

f \in L (E)

. SI

χ_{f}

est scindé sur

K

et à racines simples ALORS

f

est diagonalisable.

Preuve

Il s'agit du raisonnement finissant l'exemple précédent.

III.1.12 Remarque

Cette condition n'est absolument pas nécessaire : prendre une projection sur un plan de

R^{3}

III.1.13 Traduction sur les matrices

Elle est immédiate. Soit

A \in M_{n} (K)

$A$ est diagonalisable ssi il existe une base $B$ de $K^{n}$ composée de vecteurs propres de $A$ . Si on note $P$ la matrice de passage de la base canonique à $B$ alors $P^{- 1} A P$ est diagonale.
$A$ est diagonalisable ssi $⨁_{λ \in S p (A)} E_{λ} = K^{n}$ .
$A$ est diagonalisable sur $K$ ssi $χ_{A}$ est scindé sur $K$ et pour tout $λ \in S p (A) \dim (E_{λ}) = μ (λ)$ .
SI $χ_{A}$ est scindé sur $K$ et à racines simples ALORS $A$ est diagonalisable.

III.2 Applications

III.2.1 Calcul de puissances

Soit

f \in L (E)

A \in M_{n} (K)

Si $x$ est un vecteur propre de $f$ associée au scalaire $λ$ alors $f (x) = λ x$ et $\forall k \in N f^{k} (x) = λ^{k} x .$
Si $A$ est diagonalisable sous la forme $A = P D P^{- 1}$ alors $\forall k \in N A = P D^{k} P^{- 1}$ .

III.2.2 Matrices particulières

Soit $N \in M_{n} (K)$ une matrice nilpotente d'ordre $p > 0$ .
Soit $λ$ une valeur propre complexe de $N$ et $X \in E_{λ} (N)$ .
Alors pour $k \in N$ , $N^{k} X = λ^{k} X$ en particulier pour $k = p$ , $0 = λ^{p} X$ donc $λ^{p} = 0$ et finalement $λ = 0$ .
La seuls valeur propre possible de $N$ est 0 et donc $N$ ne peut pas être diagonalisable (Sinon $N = P \times 0 \times P^{- 1} = 0$ ).
Soit $A \in M_{n} (K)$ une matrice n'ayant qu'une seule valeur propre $λ$ et diagonalisable.
Alors pour une certaine matrice $P$ , $A = P λ I_{n} P^{- 1} = λ I_{n}$ .

III.2.3 Une suite d'ordre 3

Soit

(u_{n})_{n \in N}

une suite de réels vérifiant

\forall n \in N u_{n + 3} = 4 u_{n + 2} - u_{n + 1} - 6 u_{n}

.
Pour

n \in N

, on note

X_{n} = (\begin{matrix} u_{n} \\ u_{n + 1} \\ u_{n + 2} \end{matrix})

. Alors

X_{n + 1} = (\begin{matrix} u_{n + 1} \\ u_{n + 2} \\ 4 u_{n + 2} - u_{n + 1} - 6 u_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 6 & - 1 & 4 \end{matrix}) X_{n}

Par une récurrence immédiate,

X_{n} = A^{n} X_{0}

. Calculons

A^{n}

en la diagonalisant si possible. On a

χ_{A} (X) = X^{3} - 4 X^{2} + X + 6 = (X + 1) (X - 2) (X - 3)

. Ainsi

A

est diagonalisable et

D = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})

est une matrice diagonale associée via une matrice de passage

P

( que l'on a pas besoin de calculer pour la suite ).
On a alors

X_{n} = P D^{n} P^{- 1} X_{0}

. Les coefficients de

P D^{n} P^{- 1} X_{0}

sont des combinaisons linéaires de

(- 1)^{n}, 2^{n} et 3^{n}

. Ainsi

\forall n \in N u_{n} = α (- 1)^{n} + β 2^{n} + γ 3^{n}

avec

α, β γ \in R

à déterminer grâce aux valeurs de

u_{0}, u_{1}, u_{2}

III.2.4 Théorème

Soit

(u_{n}) \in K^{N}

une suite et

p \geq 1

. On suppose qu'il existe

a_{0}, \dots, a_{p - 1} \in K

tels que

\forall n \in N u_{n + p} = \sum_{k = 0}^{p - 1} a_{k} u_{n + k}

Le polynôme $P = - \sum_{k = 0}^{p - 1} a_{k} X^{k} + X^{p}$ est appelé polynôme caractéristique de $(u_{n})$ .
Si $P$ est scindé à racines simples, notées $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ alors il existe des scalaires $α_{1}, \dots α_{p}$ tels que
$\forall n \in N u_{n} = \sum_{k = 1}^{p} α_{k} λ_{k}^{n}$ .

Preuve

Reprenons la trame de l'exemple précédent.
La matrice est maintenant

A (a_{0}, \dots, a_{p - 1}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & 0 & 1 \\ a_{0} & \dots & a_{p - 1} \end{matrix})

. Cette matrice est appelée matrice compagnon de l'équation définissant la suite.
Soit

x \in K

$\begin{aligned} χ_{A} (x) & = | \begin{array}{c} x & - 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & x & - 1 \\ - a_{0} & \dots & x - a_{p - 1} \end{array} | \\ = x | \begin{array}{c} x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋱ \\ x & - 1 \\ - a_{1} & \dots & x - a_{p - 1} \end{array} | + (- 1)^{p + 1} (- a_{0}) | \begin{array}{c} - 1 & 0 & \dots & 0 \\ x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋱ \\ x & - 1 \end{array} | \\ = x det (x I_{p - 1} - A (a_{1}, \dots, a_{p - 1})) - a_{0} \end{aligned}$

On peut donc procéder par récurrence, si

det (x I_{p - 1} - A (a_{1}, \dots, a_{p - 1})) = x^{p - 1} - \sum_{k = 0}^{p - 2} a_{k + 1} x^{k}

(remarquer le changement d'indice pour

a

, le premier des coefficients dans la matrice est

a_{1}

) alors

χ_{A} (x) = x (x^{p - 1} - \sum_{k = 0}^{p - 2} a_{k + 1} x^{k}) - a_{0} = x^{p} - \sum_{k = 0}^{p - 1} a_{k} x^{k}

en changeant d'indice et en incorporant

a_{0}

à la somme.
Si

χ_{A}

est scindé à racines simples, alors

A

est diagonalisable et on peut conclure comme dans l'exemple précédent.

III.2.5 Espaces propres des matrices compagnons

Dans le cas général, montrer que les espaces propres de

A (a_{0}, \dots, a_{p - 1})

sont des droites et donc que

A (a_{0}, \dots, a_{p - 1})

est diagonalisable ssi

χ

est scindé à racines simples.
On trouve : pour une valeur propre

λ

d'une matrice compagnon,

E_{λ} = V e c t (\begin{matrix} λ^{0} \\ ⋮ \\ λ^{n - 1} \end{matrix})

IV Trigonalisation

IV.1 Théorie

IV.1.1 Théorème

Soit

f \in L (E)

χ_{f}

est scindé sur

K

ssi il existe une base

B

telle que

{M a t}_{B} (f)

est triangulaire supérieure (on dit que

f

est trigonalisable).
La diagonale est constituée de toutes les racines de

χ_{f}

, avec multiplicité (une racine de multiplicité

r

apparaît

r

fois sur cette diagonale).

Preuve

Hors programme.
Remarquons d'abord que s'il existe une base

B

dans laquelle la matrice de

f

est triangulaire supérieure, alors

χ_{f} (x) = det (x I_{n} - {M a t}_{B} (f))

est scindé et ses racines sont les coefficients diagonaux.

Traitons d'abord le cas $\dim (E) = 2$ (le cas $\dim (E) = 1$ est trivial : tous les polynômes caractéristiques sont scindé et toutes les matrices diagonales donc triangulaires)
Supposons $χ_{f}$ scindé sur $K$ et notons $λ$ une racine (éventuellement double). Alors on peut poser $u$ un vecteur propre associé à $λ$ et compléter $(u)$ (qui est libre car $u \neq 0$ ) en une base $B = (u, v)$ . En observant la première colonne, ${M a t}_{B} (f)$ est triangulaire supérieure et alors les racines de $χ_{f}$ sont bien les coefficients diagonaux (d'après le raisonnement précédent).
Soit $n \geq 1$ fixé, supposons que lorsque $\dim (E) = n$ , tout endomorphisme dont le polynôme est scindé sur $K$ est trigonalisable.
Supposons que $\dim (E) = n + 1$ et prenons $f \in L (E)$ tel que $χ_{f}$ est scindé sur $K$ .
Comme dans le cas $n = 2$ , on considère une valeur propre $λ$ et un vecteur propre associé $u_{1}$ que l'on complète en une base $B = (u_{1}, \dots u_{n + 1})$ de $E$ ( rien ne dit que les autres vecteurs sont des vecteurs propres ).
Alors, en notation par bloc $M = {M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} λ & * \\ 0 & A \end{matrix})$ où $*$ est une ligne de taille $n$ ( qui ne nous intéresse pas ) et $A \in M_{n} (K)$ . Posons $g$ l'endomorphisme de $K^{n}$ canoniquement associé à $A$ . On a $χ_{f} (x) = det (x I d - f) = | \begin{matrix} x - λ & - * \\ 0 & x I_{n} - A \end{matrix} | = (x - λ) χ_{g} (x)$ par déterminant triangulaire par bloc. Ainsi, $χ_{g}$ est scindé sur $K$ (ses racines sont les mêmes que celle de $χ_{f}$ , en enlevant une occurrence de $λ$ ) et donc, par hypothèse de récurrence, $g$ est trigonalisable et on peut poser $P \in G L_{n} (K) et T \in M_{n} (K)$ telles que $T$ est triangulaire supérieure et $T = P^{- 1} A P$ .

P_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & P \end{matrix}) \in M_{n + 1} (K)

P_{2}

déterminant

P

P_{2}^{- 1} M P_{2} = (\begin{matrix} λ & * * \\ 0 & P^{- 1} A P \end{matrix})

f

B_{2}

{M a t}_{B} (B_{2}) = P_{2}

Finalement, par récurrence, quelque soit la dimension de $E$ , dès que $χ_{f}$ est scindé sur $K$ il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est trigonalisable.

IV.1.2 Corollaire

Soit $A \in M_{n} (R)$ . $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure réelle ssi $χ_{A}$ est scindé sur $R$ .
Soit $A \in M_{n} (K)$ . Alors $A$ est trigonalisable dans $C$ ie il existe $P \in G L_{n} (C)$ telle que $T = P^{- 1} A P \in M_{n} (C)$ est triangulaire supérieure.

Preuve

Tout polynôme non nul de

C [X]

est scindé !

IV.1.3 Exemple

On reprend la matrice du II.2.2 .

A

n'est pas diagonalisable car

\dim (E_{1}) = 1 < 2 = μ (1)

.
On note

u = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) et v = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

. Alors

A u = - u et A V = v

.
Trouver

w

tel que

A w = w + v

. Le système à résoudre est

$\begin{aligned} {\begin{array}{c} - x + y = 1 \\ - y + z = 1 \\ - x + y = 1 \end{array} ⟺ {\begin{array}{c} x = y - 1 = z - 2 \\ y = z - 1 \end{array} \end{aligned}$

On prend

w = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

. Dans la base

B = (u, v, w)

la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à

A

est

(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

qui est bien triangulaire.

IV.2 Conséquences pratiques

IV.2.1 Proposition

Soit

f \in L (E)

λ_{1}, \dots, λ_{n}

les racines (complexes) de

χ_{f}

non nécessairement distinctes.

$T r (f) = \sum_{k = 1}^{n} λ_{k}$
$det (f) = \prod_{k = 1}^{n} λ_{k}$

Le même résultat vaut pour les matrices.

Preuve

Notons

A \in M_{n} (K)

l'une des matrices de

f

.
On peut alors trigonaliser

A

en posant

T \in M_{n} (C)

P \in G L_{n} (C)

avec

T

triangulaire et telles que

A = P T P^{- 1}

.
On a alors

T r (f) = T r (A) = T r (T) = \sum_{k = 1}^{n} λ_{k}

. De même pour le déterminant.

IV.2.2 Remarque

On retrouve le fait que

f

est bijective (ou

A

est inversible) ssi

0

n'est pas valeur propre de

f

IV.3 Deviner la dernière valeur propre

Remarquons que

1

est valeur propre au moins double de

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})

car

r g (A - 1 \times I_{3}) = 1

et donc

\dim (\ker (A - I_{3})) = 2

.
Comme

T r (A) = 6

, la dernière valeur propre complexe

λ

vérifie

1 + 1 + λ = 6

et donc

λ = - 4

. On a calculé la trace d'une matrice triangulaire semblable à

A

Motivation

Matrices diagonales

Endomorphismes

Traduction sur la base

Noyaux

I Elements propres

I.1 Valeurs et vecteurs propres

I.1.1 Définition (Valeur propre et vecteur propre)

I.1.2 Définition (Vecteur propre et valeur propre)

I.1.3 Exemple

I.1.4 Proposition

I.1.5 Définition

I.1.6 Exemple

I.1.7 Remarque

I.2 Espaces propres

I.2.1 Définition

I.2.2 Éléments propres

I.2.3 Noyau

I.2.4 Exemple

I.2.5 Remarque

I.2.6 Exemple

I.2.7 Inversibilité

I.2.8 Théorème

I.2.9 Exemple

I.2.10 Exercice

I.2.11 En dimension finie

I.2.12 Théorème

I.2.13 Exemple

I.3 Stabilité ( ⋆ )

I.3.1 Proposition

I.3.2 Proposition

I.3.3 Endomorphisme induit

I.3.4 Proposition

I.3.5 Proposition

II En dimension finie

II.1 Rappels sur la bijectivité et l'inversibilité

II.1.1 Proposition

II.1.2 Proposition

II.2 Polynôme caractéristique

II.2.1 Définition-proposition

II.2.2 Exemple

II.2.3 Proposition

II.2.4 Exemple

II.2.5 Matrices semblables

II.2.6 Définition

II.2.7 Exemple

II.3 Lien avec les valeurs propres

II.3.1 Théorème

II.3.2 Cas des matrices triangulaires ou diagonales

II.3.3 Exemple

II.3.4 Déterminer les éléments propres

II.3.5 Exemple

II.3.6 Théorème (Rappel : d'Alembert-Gauss)

II.3.7 Proposition (Déterminant triangulaire par bloc)

II.3.8 Théorème

II.3.9 Corollaire

II.3.10 Exemple

II.3.11 Exemple

III Diagonalisation

III.1 Diagonalisabilité

III.1.1 Définition

III.1.2 Exemple

III.1.3 Proposition

III.1.4 Proposition

III.1.5 Influence de K

III.1.6 Exemple

III.1.7 Théorème

III.1.8 Théorème

III.1.9 Remarque

III.1.10 Exemple

III.1.11 Proposition

III.1.12 Remarque

III.1.13 Traduction sur les matrices

III.2 Applications

III.2.1 Calcul de puissances

III.2.2 Matrices particulières

III.2.3 Une suite d'ordre 3

III.2.4 Théorème

III.2.5 Espaces propres des matrices compagnons

IV Trigonalisation

I.3 Stabilité ( $⋆$ )

III.1.5 Influence de $K$