Intégration sur un intervalle quelconque

Dans ce chapitre

K

désigne

R ou C

I

un intervalle non vide et non réduit à un point.

I Intégrales convergentes

Le cadre d'étude change : on considère toujours des fonctions continues, non seulement sur des segments mais des intervalles quelconques.

I.1 Convergence en $+ \infty$

I.1.1 Définition

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle de la forme

[a, + \infty [

.
Lorsque

lim_{x \to + \infty} \int_{a}^{x} f (t) d t

existe et est finie, on dit que

\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t

est une intégrale convergente (en

+ \infty

) et qu'elle vaut cette limite. Dans le cas contraire, on dit que cette intégrale est divergente.
On peut également noter

\int_{a}^{+ \infty} f

I.1.2 Remarque

Avec les notations de la définition, pour

x \geq a

, l'intégrale

\int_{a}^{x} f (t) d t

est une intégrale sur le segment

[a, x]

et relève donc du cours de première année.

I.1.3 Interprétation graphique

On peut continuer à voir une intégrale convergente comme une aire, mais cette fois comme l'aire limite d'un partie non nécessairement bornée. Lien géogébra : Proposition précédente avec

k = 1

I.1.4 Proposition

La nature (convergente ou divergente) de

\int_{a}^{+ \infty} f

ne dépend pas de la valeur de la borne fermée

a

I.1.5 Proposition

Soit

k \in R

\int_{0}^{+ \infty} e^{- k t} d t

converge en

+ \infty

ssi

k > 0

et alors

\int_{0}^{+ \infty} e^{- k t} d t = \frac{1}{k}

Preuve

Soit

x \geq 0

. On a alors

\int_{0}^{x} e^{- k t} d t = {\begin{cases} x si k = 0 \\ - \frac{1}{k} (e^{- k x} - 1) si k \neq 0 \end{cases}

Le cas

k = 0

donne clairement une intégrale divergente (sa limite est

+ \infty

).
Dans le cas

k < 0

e^{- k x} \underset{x \to + \infty}{\to} + \infty

et l'intégrale est encore de limite

+ \infty

.
Dans le cas

k > 0

e^{- k x} \underset{x \to + \infty}{\to} 0

et l'intégrale converge vers

\frac{1}{k}

I.1.6 Exemple

Les intégrales

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t, \int_{- 7}^{+ \infty} e^{- 2 t} d t, \int_{π}^{+ \infty} e^{- \frac{t}{2}} d t

sont convergentes.

I.1.7 Théorème (Intégrales de Riemann)

Soit

α \in R

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{α}} d t$ converge ssi $α > 1$ .
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t} d t$ est en particulier une intégrale divergentes

Preuve

Pour toute valeur de

α

f : t \mapsto \frac{1}{t^{α}}

est bien continue sur

[1, + \infty [

Soit $x > 1$ . $\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{α}} d t = [\frac{t^{- α + 1}}{(1 - α)}]_{1}^{x}$ si $α \neq 1$ et $[\ln (t)]_{1}^{x}$ si $α = 1$ .

α = 1

α \neq 1

x^{- α + 1} \underset{x \to + \infty}{\to} {\begin{cases} 0 si α > 1 \\ + \infty si α < 1 \end{cases}

Conséquence directe du point précédent.

I.2 Convergence sur un intervalle quelconque

I.2.1 Définition

Soient

a < b \leq + \infty

f \in C ([a, b [, R)

une fonction continue .
Si

lim_{x \to b} \int_{a}^{x} f (t) d t

existe et est finie on la note

\int_{a}^{b} f (t) d t

et on dit que cette intégrale est une intégrale convergente (ou convergente en

b

). Dans le cas contraire, l'intégrale est dite divergente.

I.2.2 Remarque

Il s'agit d'une généralisation directe de la définition précédente, mais cette fois la borne ouverte

b

peut être égale ou non à

+ \infty

. On peut facilement adapter cette définition lorsque la borne ouverte est la borne inférieure de l'intervalle de définition.

I.2.3 Définition

Soient

- \infty \leq a < b

f \in C (] a, b], R)

. La borne ouverte est

a

.
Si

lim_{x \to a} \int_{x}^{b} f (t) d t

existe et est finie on la note

\int_{a}^{b} f (t) d t

et on dit que cette intégrale est une intégrale convergente (en a).

I.2.4 Proposition

\int_{0}^{1} \ln (t) d t

converge et vaut -1

Preuve

\ln

est continue sur

] 0, 1]

. Pour

x \in] 0, 1]

on a

\int_{x}^{1} \ln (t) d t = [t \ln (t) - t]_{x}^{1} = - 1 - x \ln (x) + x

Or, par croissances comparées,

x \ln (x) \underset{x \to 0}{\to} 0

et donc

\int_{x}^{1} \ln (t) d t \underset{x \to 0}{\to} - 1

ce qui prouve la convergence et la valeur.

I.2.5 Théorème (Intégrales de Riemann)

Soit

α \in R

$\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{α}} d t$ converge ssi $α < 1$ .
$\int_{0}^{1} \frac{1}{t} d t$ est en particulier une intégrale divergentes .

Preuve

Pour toute valeur de

α

f : t \mapsto \frac{1}{t^{α}}

est bien continue sur

] 0, 10]

Soit $x \in] 0, 1 [$ . Le même calcul de primitive qu'au théorème I.1.7 vaut encore. Comme $\ln (x) \underset{0}{\to} - \infty$ , $\int_{0}^{1} \frac{1}{t} d t$ diverge.

x^{- α + 1} \underset{x \to 0}{\to} {\begin{cases} 0 si α < 1 \\ + \infty si α > 1 \end{cases}

Conséquence directe du point précédent.

I.2.6 Définition-proposition

Soient

a, b \in \bar{R}

avec

a < b

(on peut avoir

a = - \infty et / ou b = + \infty

). Soit

f \in C (] a, b [, R)

.
S'il existe un

c \in] a, b [

tel que

\int_{a}^{c} f

\int_{c}^{b} f

sont des intégrales convergentes alors on dit que

\int_{a}^{b} f

converge (on a convergence à la fois en

a

et en

b

).
Dans ce cas on a

\forall c^{'} \in] a, b [\int_{a}^{c^{'}} f + \int_{c^{'}}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f

et on note cette valeur

\int_{a}^{b} f

Preuve

On a, par limite d'une somme (une intégrale convergente et une constante),

\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{c^{'}} f + \int_{c^{'}}^{c} f

. De même

\int_{c}^{b} f = \int_{c}^{c^{'}} f + \int_{c^{'}}^{b} f

. Finalement, l'égalité demandée est vérifiée.

I.2.7 Définition (Notation)

Soit

I

un intervalle dont les bornes sont

a < b

. Ces bornes peuvent être ouvertes ou fermées. On note

\int_{I}^{} f

l'intégrale (classique ou généralisée)

\int_{a}^{b} f

.
Cette notation permet de ne pas préciser à priori la nature fermée ou ouverte des bornes.

Une étude de convergence d'intégrale commence toujours par la justification rapide que l'intégrande est continue, en précisant bien sur quel intervalle et en notant soigneusement quelle(s) borne(s) est/sont ouverte(s) : il s'agit des points où l'on doit étudier la convergence.

I.2.8 Exemple

Montrer la convergence et calculer la valeur de

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} d t

I.2.9 Proposition (Prolongement par continuité)

On se place dans le cas

f \in C ([a, b [, R)

b \in R

(ce n'est pas

+ \infty

). Si on peut prolonger

f

par continuité en

b

(on note

\tilde{f}

le prolongement), alors l'intégrale

\int_{a}^{b} f

converge et sa valeur est

\int_{a}^{b} \tilde{f} (t) d t

(qui est une intégrale sur un segment).
Le résultat s'applique encore lorsque c'est la borne inférieure qui est ouverte, voire lorsque les deux bornes sont ouvertes, si on peut prolonger à chaque borne.

Preuve

Soit

F_{1} : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

la primitive de

f

sur

[a, b [

qui s'annule en

a

F_{2} : x \mapsto \int_{a}^{x} \tilde{f} (t) d t

la primitive de

\tilde{f}

sur

[a, b]

qui s'annule en

a

, alors

\forall x \in [a, b [F_{1} (x) = F_{2} (x)

F_{2}

est continue sur

[a, b]

F_{2}

est donc le prolongement par continuité de

F_{1}

et on a bien

F_{1} (x) \underset{x \to b}{\to} F_{2} (b) = \int_{a}^{b} \tilde{f}

I.2.10 Exemple

Montrer que

\int_{0}^{1} \frac{t - 1}{\ln (t)} d t

converge. Posons

f : t \mapsto \frac{t - 1}{\ln (t)}

qui est continue sur

] 0, 1 [

(et donc on a deux études de convergence à faire.)

Etude en 0. On a $t - 1 \underset{0}{\to} - 1$ et $\ln (t) \underset{0}{\to} - \infty$ donc $f (t) \underset{0}{\to} 0$ et on peut prolonger $f$ par continuité en 0.
Etude en 1. On a $\ln (t) \underset{1}{\sim} t - 1$ car $\ln (1 + u) \underset{0}{\sim} u$ . Ainsi $f (t) \underset{1}{\to} 1$ et on peut prolonger $f$ par continuité en 1.

Finalement,

\int_{0}^{1} f

converge.

II Propriétés des intégrales convergentes

II.1 Généralisation des propriétés

II.1.1 Proposition (Linéarité des intégrales convergentes)

Soient

f, g : [a, b [\to K

deux fonctions continues.
Si

\int_{a}^{b} f et \int_{a}^{b} g

convergent toutes les deux en

b

alors pour tout

(α, β) \in K^{2}

\int_{a}^{b} (α f + β g)

converge également en

b

et on a

\int_{a}^{b} (α f (t) + β g (t)) d t = α \int_{a}^{b} f (t) d t + β \int_{a}^{b} g (t) d t

Ce résultat est également valable dans le cas où la borne ouverte est la borne inférieure de l'intervalle d'intégration.

Preuve

Simple retour à la définition. On remplace

b

par

x \in [a, b [

pour intégrer sur un segment. La linéarité de l'intégrale s'applique alors et le théorème est une conséquence de du théorème de combinaison linéaire de limites finies.

II.1.2 Remarque

Ce résultat est exactement le même que celui sur les séries convergentes.

II.1.3 Proposition

Soient

f, g : [a, b [\to K

deux fonctions continues.

Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f$ converge ssi pour tout $c \in [a, b [, \int_{c}^{b} f$ converge et alors $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ .
Positivité : si $\forall t \in [a, b [f (t) \geq 0$ et $\int_{a}^{b} f$ converge, alors $\int_{a}^{b} f \geq 0$ .
Croissance : si $\forall t \in [a, b [f (t) \leq g (t)$ et $\int_{a}^{b} f, \int_{a}^{b} g$ convergent, alors $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .

Les mêmes propriétés sont encore valables pour les intégrales convergentes en la borne inférieure.

Preuve

Le premier point a été évoqué lors de la définition des intégrales doublement convergentes.
Les deux autres points sont des simples conséquences des mêmes propriétés sur les intégrales sur

[a, x]

et du passage à la limite des inégalités larges.

II.1.4 Borne fermée

Une conséquence importante de la relation de Chasles est que la valeur exacte d'une borne fermée n'a pas d'importance :

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{α}} d t

converge ssi

\int_{3}^{+ \infty} \frac{1}{t^{α}} d t

converge (ssi

α > 1

II.1.5 Théorème

Soit

I

un intervalle de

R

.
Soit

f : I \to R^{+}

une fonction continue, positive et telle que

\int_{I}^{} f (t) d t

converge.
Si

\int_{I} f = 0

alors

\forall x \in I f (x) = 0

Preuve

Remarquons que si

x \in I

alors il existe un segment

[a, b] \subset I

tel que

x \in [a, b]

.
De plus, comme

f

est positive,

0 \leq \int_{[a, b]} f \leq \int_{I} f = 0

Or ce théorème est vrai quand

I

est un segment. Pour

x \in I

, il suffit d'appliquer le cours de 1ère année pour prouver que

f

est nulle sur un segment

[a, b]

qui contient

x

et donc

f (x) = 0

II.2 Les outils de calcul

II.2.1 Théorème

Soient

f \in C (] a, b [, R)

ϕ :] α, β [\to] a, b [

une bijection de classe

C^{1}

strictement croissante.

\int_{a}^{b} f (t) d t

\int_{α}^{β} f (ϕ (u)) ϕ^{'} (u) d u

sont de même nature et égales quand elles convergent.
Ce théorème s'applique aussi lorsque qu'une des deux bornes est a priori fermée.

Preuve

Soient

c, d \in] α, β [

. On a

\int_{ϕ (c)}^{ϕ (d)} f (t) d t = \int_{c}^{d} f (ϕ (u)) ϕ^{'} (u) d u

avec

c \to α ⟺ ϕ (c) \to a

.
Ainsi les intégrales convergent simultanément en

a

α

II.2.2 Cas d'un changement décroissant

ϕ

est supposée décroissante, on a alors dans le cas de convergence

\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{β}^{α} f (ϕ (u)) ϕ^{'} (u) d u

Le théorème de changement de variable peut servir à prouver la convergence.

II.2.3 Exemple

Convergence et valeur de

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t (1 - t)}} d t

t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t (1 - t)}}

est continue sur

] 0, 1 [

par composition et inverse.
Posons

u = \sqrt{t}

pour

t \in] 0, 1 [

(qui est bien

C^{1}

) et donc on a

t = u^{2}

d t = 2 u d u

. Alors

I = \int_{0}^{1} \frac{2 u}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = 2 [\arcsin (u)]_{0}^{1} = π

II.2.4 Proposition

Soit

α \in R

La fonction

t \mapsto \frac{1}{| t - a |^{α}}

est intégrable en

a

ssi

α < 1

Preuve

Pour simplifier l'exposition, considérons l'intégrale

\int_{a}^{b} \frac{1}{(t - a)^{α}} d t

pour un

b > a

réel fixé. La valeur absolue n'a plus lieu d'être, rappelons que la fonction

x \mapsto x^{β} = e^{β \ln (x)}

n'est définie a priori que sur

] 0, + \infty [

et a été prolongée par continuité dans le cas

β \geq 0

.
On effectue le changement de variable

u = t - a

t = u + a

d t = d u

. L'intégrale considérée est de même nature que

\int_{0}^{b - a} \frac{1}{u^{α}} d u

qui converge ssi

α < 1

en tant qu'intégrale de Riemann.

La technique précédente s'applique très souvent lorsque la borne d'étude est un réel non nul : nos intégrales de références sont connues en

0^{+}

II.2.5 Théorème (Intégration par parties)

Soient

u, v : [a, b [\to R

des fonctions de classe

C^{1}

.
Si

lim_{x \to b^{-}} u (x) v (x)

existe et est finie alors

\int_{a}^{b} u^{'} v et \int_{a}^{b} u v^{'}

sont de même nature et en cas de convergence

\int_{a}^{b} u^{'} v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'}

où on a noté

[u v]_{a}^{b} = lim_{x \to b^{-}} u (x) v (x) - u (a) v (a)

Preuve

Immédiat d'après le cours de sup, en passant par des intégrales sur

[a, x]

.
Rappelons tout de même que cette ``formule'' provient directement de la dérivation du produit :

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

et donc

u^{'} v = (u v)^{'} - u v^{'}

II.2.6 Remarque

On peut étendre ce théorème à

] a, b]

et même à

] a, b [

(dans ce cas le crochet est la différence de deux limites).

On reviendra toujours à une intégrale sur un segment

[a, x]

pour effectuer une intégration par parties puis on fait tendre

x

vers

b

. En effet, on ne connaît pas a priori la fonction

u

ni la limite de

u v

II.2.7 Exemple

Montrer la convergence et calculer

I = \int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t

t \mapsto t e^{- t}

est continue sur

[0, + \infty [

.
Posons

A > 0

. Alors

\int_{0}^{A} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{A} + \int_{0}^{A} e^{- t} \underset{A \to + \infty}{\to} 1

qui est une limite finie. Ainsi

I

converge et vaut 1.

III Fonctions intégrables

III.1 Fonctions positives

III.1.1 Proposition

Soit

f : [a, b [\to R

une fonction continue et positive .

\int_{a}^{b} f (t) d t

converge ssi

x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

est une fonction majorée.

Preuve

Posons

I = [a, b [

. Comme

f

est continue sur l'intervalle

I

F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

est une primitive de

f

sur

I

.
De plus,

f = F^{'}

est positive donc

F

est croissante sur

I

et admet donc une limite en

b^{-}

. Cette limite est finie ssi

F

est majorée (

F

est naturellement minorée par

F (a) = 0

car c'est une fonction croissante. )

III.1.2 Adaptation à la borne inférieure

Le même résultat vaut encore lorsque

I =] a, b]

f

est toujours positive, mais il faut considérer

x \mapsto \int_{x}^{b} f (t) d t

qui est cette fois décroissante.

III.1.3 Proposition

Soient

f, g : [a, b [\to R

deux fonctions continues.
Si

\forall t \in [a, b [0 \leq f (t) \leq g (t)

\int_{a}^{b} g (t) d t

converge, alors

\int_{a}^{b} f (t) d t

converge.

Preuve

D'après la preuve précédente, pour

x \in [a, b [

on a

\int_{a}^{x} g (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t

qui est donc (par croissance de l'intégrale sur un segment) une majorant ( indépendant de

x

) de

x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

.
Le résultat précédent conclut.

III.2 Convergence absolue

III.2.1 Définition

Soit

I

un intervalle et

f : I \to K

une fonction continue. On dit que

f

est intégrable sur

I

ssi

\int_{I} | f |

converge, c'est à dire que

\int_{I}^{} f

est absolument convergente.
L'ensemble des fonctions continues et intégrables définies sur l'intervalle

I

et à valeurs dans

K

est noté

L^{1} (I, K)

III.2.2 Remarque sur le vocabulaire

Dans la définition précédente

C'est l'intégrale qui est absolument convergente.
En revanche, c'est la fonction $f$ qui est intégrable.

III.2.3 Intégrabilité en un point

Toujours avec les notations de la définition précédente :

Si $I =] a, b]$ , on pourra dire que $f$ est intégrable en $a$ lorsque $\int_{a}^{b} f$ est absolument convergente.
Si $I = [a, b [$ , on parle de manière similaire d'intégrabilité en $b$ .

III.2.4 Fonctions de signe constant

f : I \to R

est de signe constant, alors la convergence de

\int_{I}^{} f

est la même notion que la convergence absolue.

III.2.5 Théorème

Soit

f \in C (I, K)

. SI

f

est intégrable sur

I

ALORS

\int_{I} f

converge.

Preuve

Cas $K = R$ . On traite le cas $I = [a, b [$ , la preuve s'adapte facilement dans le cas $I =] a, b]$
Notons $f_{+} : x \mapsto max (f (x), 0)$ et $f_{-} : x \mapsto min (f (x), 0)$ les fonctions qui valent respectivement $f (x)$ ou 0 suivant que $f (x)$ est positif ou négatif. D'après le cours de 1ère année ces fonctions sont continues (en utilisant $max (a, b) = \frac{| a - b | + a + b}{2}$ )

f = f_{+} + f_{-}

| f | = f_{+} - f_{-}

f

intégrable

I

\int_{I}^{} (f_{+} - f_{-})

\int_{I}^{} - f_{-}

- f_{-} \leq | f |

f_{+} \geq 0

\int_{I}^{} - f_{-}

III.1.3

f = | f | + 2 f_{-}

\int_{I}^{} f

Cas $K = C$ . Notons $f = u + i v$ la forme algébrique de $f$ .
Alors $| u | \leq | f | et | v | \leq | f |$ . Par comparaison de fonctions à valeurs positives ( III.1.3 ), $u, v$ sont d'intégrales convergentes sur $I$ et donc $f = u + i v$ aussi.

III.2.6 Exemple

Montrer que

\int_{1}^{+ \infty} \frac{e^{i t}}{t^{2}} d t

converge. Le module de l'intégrande est une fonction de Riemann de référence.

III.2.7 Proposition (Inégalité triangulaire)

Soit

f : I \to K

une fonction continue.
Si

f

est intégrable sur

I

alors

| \int_{I}^{} f | \leq \int_{I}^{} | f |

Preuve

Il suffit de reprendre la preuve précédente et d'appliquer l'inégalité triangulaire dans

R

| \int_{I}^{} f_{+} + \int_{I}^{} f_{-} | \leq | \int_{I}^{} f_{+} | + | \int_{I}^{} f_{-} |

et d'observer qu'on intègre maintenant des fonctions de signe constant.
Dans le cas

K = C

, la démonstration n'est pas au programme.

III.3 Comparaison

III.3.1 Théorème (Comparaison)

Soient

f, g \in C ([a, b [, K)

des fonctions continues.

Si $| f | \leq | g |$ au voisinage de $b$ et $g$ est intégrable en $b$ alors $f$ est intégrable en $b$ .
Si $f = O_{b} (g)$ et $g$ est intégrable en $b$ alors $f$ est intégrable en $b$ .
Si $f = o_{b} (g)$ et $g$ est intégrable en $b$ alors $f$ est intégrable en $b$ .
Si $f \underset{b}{\sim} g$ alors $f$ est intégrable en $b$ ssi $g$ est intégrable en $b$ .

Le résultat vaut encore pour des fonctions définies sur

] a, b]

, à condition de prouver des relations de comparaison (ou une inégalité) en

a

Preuve

Il s'agit d'une simple traduction sur la convergence absolue du résultat de III.1.3
Dans le cas où $f = O_{b} (g)$ on a $| f | \leq M | g |$ au voisinage de $b$ pour un $M \in R +$ fixé.

\int_{a}^{b} M | g (t) | d t

\int_{a}^{b} | f |

On a dans ce cas $f = O_{b} (g)$
On a dans ce cas $f = O_{b} (g) et g = O_{b} (f)$ .

En pratique on choisit souvent

g

positive et pour la rédaction on utilise la tournure : ``par comparaison à une fonction positive....''.

III.3.2 $t^{α} f (t)$

En 0 Pour la convergence en 0, si $t^{\frac{1}{2}} f (t) \underset{0}{\to} 0$ ou plus généralement
$t^{1 - ϵ} f (t) \underset{0}{\to} 0$ pour un $ϵ > 0$ fixé alors l'intégrale de $f$ converge absolument en 0.
En $+ \infty$ si $t^{2} f (t) \underset{+ \infty}{\to} 0$ ou plus généralement $t^{1 + ϵ} f (t) \underset{+ \infty}{\to} 0$
alors l'intégrale de $f$ converge absolument en $+ \infty$ .
De manière plus générale, si on peut déterminer $lim_{0 ou + \infty} t^{α} f (t)$ en fonction de la valeur de $α$ alors on pourra souvent conclure sur la convergence en 0 ou en $+ \infty$ .

III.3.3 Divergence

On peut tout à fait appliquer les contraposées des points 1 et 2 pour prouver la divergence d'une intégrale d'une fonction positive . Par exemple, si

f = o_{b} (g)

\int_{a}^{b} f

diverge (avec

f

positive, fonction de référence), alors

g

n'est pas intégrable sur

I

(raisonnement par l'absurde).

III.3.4 Application à la preuve de divergence

a = 0

comme en

a = + \infty

, si on a

t f (t) \underset{t \to a}{\to} + \infty

on peut conclure à la divergence de l'intégrale de

f

, une fonction positive ou négative. Par exemple

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{\ln (t)} d t

diverge.

III.3.5 Exemple

Montrer que

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t

converge.
Le calcul de la valeur est un exercice classique.

Preuve

Voici une preuve en plusieurs étapes.

Montrons que $\forall x > - 1 \ln (1 + x) \leq x$ (avec égalité seulement en 0).

f : x \mapsto \ln (1 + x)

] - 1, + \infty [

[0, x]

[x, 0]

f^{'} : x \mapsto \frac{1}{1 + x}

] - 1, + \infty [

x > 0

f^{'} (x) \leq \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \leq f^{'} (0)

\frac{\ln (1 + x)}{x} \leq 1

x < 0

f^{'} (1) \leq \frac{f (0) - f (x)}{0 - x} \leq f^{'} (x)

1 \leq \frac{- \ln (1 + x)}{- x}

- x \leq - \ln (1 + x)

- x > 0

Soit $n \in N ∖ {0}$ et $t \in [0, \sqrt{n} [$ , on a alors $\pm \frac{t^{2}}{n} \in] - 1, + \infty [$ et donc $\ln (1 + \frac{t^{2}}{n}) \leq \frac{t^{2}}{n}$ et $\ln (1 - \frac{t^{2}}{n}) \leq - \frac{t^{2}}{n}$ .

n \ln (1 - \frac{t^{2}}{n}) \leq - t^{2} \leq - n \ln (1 + \frac{t^{2}}{n})

{(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} \leq e^{- t^{2}} \leq {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- n}

La relations qui précède est encore vraie pour $t = \sqrt{n}$ , et en intégrant on obtient : $\underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} d t}} \leq \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \leq \underset{I_{2}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- n} d t}}$ En posant $t = \sqrt{n} \cos (u)$ dans $I_{1}$ (possible d'après les valeurs prises par $t$ ), on a $d t = - \sqrt{n} \sin (u) d u$ et donc $I_{1} = \int_{\frac{π}{2}}^{0} - \sqrt{n} \sin^{2 n + 1} (u) d u$ .

u = \sqrt{n} \tan (u)

I_{2}

I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{n} \cos^{2 n - 2} (u) d u

1 + \tan^{2} = \frac{1}{\cos^{2}} = \tan^{'}

Si on note $W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} (t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} (t) d t$ (par changement de variable $\frac{π}{2} - t$ ), on a $I_{2} \leq \sqrt{n} W_{2 n - 2}$ (car on intègre une fonction positive sur un segment plus petit) et donc $\sqrt{n} W_{2 n + 1} \leq \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \leq \sqrt{n} W_{2 n - 2}$ D'après l'étude des intégrales de Wallis, $W_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}}$ et par encadrement $\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \underset{n \to + \infty}{\to} \frac{\sqrt{π}}{2}$ .

III.3.6 Proposition

L^{1} (I, K)

est un

K

-espace vectoriel : toute combinaison linéaire de fonctions intégrables est encore intégrable.

Preuve

La fonction nulle est clairement intégrable sur $I$ et son intégrale vaut 0.
Soient $f, g \in L^{1} (I, K)$ et $λ, μ \in K$ .
Montrons que $λ f + μ g$ est encore intégrable.
Comme $| λ f + μ g | \leq | λ | | f | + | μ | | g |$ on peut utiliser la linéarité des intégrales convergentes pour conclure.

III.4 Intégration terme à terme

III.4.1 Rappel des connaissances courantes

Pour l'instant, si

f

est la somme d'une série entière

\sum a_{n} x^{n}

sur l'intervalle non vide

] - R, R [

alors pour

a, b \in] - R, R [

on a

\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} (\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} t^{n}) d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{a}^{b} a_{n} t^{n} d t

par intégration terme à terme d'une série entière.

III.4.2 Théorème

Soit

I

un intervalle non vide et non réduit à un point.
Soit

S : I \to R

une fonction continue. Si

Il existe des fonctions $f_{n} : I \to R$ continues et intégrables sur $I$ telles que
$\forall t \in I S (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} f_{n} (t)$
(la convergence de la série pour chaque valeur de $t \in I$ fait partie de l'hypothèse à vérifier)
La série $\sum \int_{I}^{} | f_{n} (t) | d t$ converge

Alors

S

est intégrable sur

I

\int_{I}^{} S (t) d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{I}^{} f_{n} (t) d t .

Preuve

Hors programme.

III.4.3 Exemple

Montrer la convergence et calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{e^{t} - 1} d t

Vérification de la continuité de $S$ et préciser l'intervalle $I$ ( ses bornes sont-elles ouvertes ? )
$S : t \mapsto \frac{t}{e^{t} - 1}$ est continue sur $I =] 0, + \infty [$ et prolongeable par continuité en 0.
Trouver une série dont $S (t)$ est la somme.
Pour $t \in] 0, + \infty [$ , $\frac{1}{e^{t} - 1} = e^{- t} \frac{1}{1 - e^{- t}}$ et $e^{- t} \in] 0, 1 [$ . Ainsi
$S (t) = t e^{- t} \sum_{n = 0}^{+ \infty} (e^{- t})^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} t e^{- (n + 1) t}$
Vérifier que $f_{n}$ est continue et intégrable sur $I$ , calculer $u_{n} = \int_{I}^{} | f_{n} |$ et montrer que $\sum u_{n}$ converge
Notons, pour $n \in N$ , $f_{n} : t e^{- (n + 1) t}$ définies et continues sur $I$ . $f_{n}$ est intégrable en 0 par prolongement par continuité
Alors, pour $t \in [0, + \infty [$ , $| f_{n} (t) | = t e^{- (n + 1) t}$ . Pour $n \in N$ et $x > 0$
$\int_{0}^{x} t e^{- (n + 1) t} d t = [- \frac{t}{n + 1} e^{- (n + 1) t}]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \frac{1}{n + 1} e^{- (n + 1) t} d t$
Par croissances comparées et somme $\int_{0}^{1} | f_{n} | = \frac{1}{(n + 1)^{2}}$ .

\sum \int_{0}^{1} | f_{n} |

série de Riemann

Conclusion
Ainsi $\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{e^{t} - 1} d t$ converge et
$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{e^{t} - 1} d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} t e^{- (n + 1) t} d t = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$

Remarque

Ce théorème peut s'appliquer à des séries qui ne sont pas des séries entières.
Le point délicat est le point 3. Il faut vérifier l'intégrabilité (intégrales absolument convergentes) puis la convergence d'une série numérique (à termes positifs : comparaison, d'Alembert, calcul des sommes partielles)

III.4.4 Exemple

Montrer la convergence et donner une expression de

\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{1 + t} d t

$t \mapsto \frac{\ln (t)}{1 + t}$ est continue sur $I =] 0, 1 [$ .
Pour $t \in] 0, 1 [$ , on a $- t \in] - 1, 0 [$ et donc $\ln (t) \times \frac{1}{1 + t} = \ln (t) \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- t)^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} t^{n} l n (t)$ .
Notons, pour $n \in N$ , $f_{n} : t \mapsto (- 1)^{n} t^{n} \ln (t)$ définies et continues sur $I$ . $f_{n}$ est intégrable en 0 pour $n = 0$ et pour $n > 0$ , $f_{n} = o_{0} (f_{0})$ donc $f_{n}$ est encore intégrable en 0. L'intégrabilité en 1 est évidente par continuité.
Alors, pour $t \in I$ , $| f_{n} (t) | = - t^{n} \ln (t)$ . Pour $n \in N$ et $x > 0$
$\int_{x}^{1} - t^{n} \ln (t) d t = [- \frac{t^{n + 1}}{n + 1} \ln (t)]_{x}^{1} + \int_{x}^{1} \frac{t^{n + 1}}{n + 1} \frac{1}{t} d t$
Par croissances comparées $\int_{0}^{1} | f_{n} | = \frac{1}{(n + 1)^{2}}$ .

\sum \int_{0}^{1} | f_{n} |

série de Riemann

Ainsi $\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{1 + t} d t$ converge et
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{1 + t} d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{1} (- 1)^{n} t^{n} \ln (t) d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}}$
Par la séparation classique entre termes d'indices pairs et termes d'indices impairs on obtient
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{1 + t} d t = - \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} = - \frac{π^{2}}{12}$

IV Exemples importants

Dans cette partie, nous présentons à la fois des résultats classiques et des exemples d'application des méthodes de ce chapitre

IV.1 Intégrales classiques

IV.1.1 Exemple

Discuter suivant la valeur de

β \in R

la convergence de de

\int_{0}^{+ \infty} t^{β - 1} e^{- t} d t

.
On pose

f_{β} : t \mapsto t^{β - 1} e^{- t}

qui est continue sur

] 0, + \infty [

dans le cas général (pas en 0, à cause du cas

β - 1 < 0

). Alors

f_{β} (t) = o_{+ \infty} (\frac{1}{t^{2}})

car

t^{2} f_{β} (t) \underset{+ \infty}{\to} 0

. Ainsi l'intégrale converge en

+ \infty

par comparaison de fonctions positives.
En 0, on a

f_{β} (t) \underset{}{\sim} t^{α - 1} = \frac{1}{t^{1 - α}}

. L'intégrale converge ssi

α > 0

d'après le théorème précédent et par comparaison de fonctions positives.

IV.1.2 Fonction $Γ$

Reprenons IV.1.1 . On pose, pour

β > 0

Γ (β) = \int_{0}^{+ \infty} t^{β - 1} e^{- t} d t

. Donnons un lien entre

Γ (β + 1) et Γ (β)

On a, pour

a > 0 et b > a

\int_{a}^{b} t^{β} e^{- t} d t = {[- t^{β} e^{- t}]}_{a}^{b} + \int_{a}^{b} β t^{β - 1} e^{- t} d t

. Comme le crochet tend vers 0 en

0 et + \infty

(

β > 0

) et que les deux intégrales considérées sont convergentes d'après l'étude de IV.1.1 ,

Γ (β + 1) = β Γ (β) .

De plus,

Γ (1) = 1

et par récurrence immédiate,

\forall n \in N ∖ {0} Γ (n) = (n - 1)!

IV.1.3 $\int_{I}^{} f$ converge mais $\int_{I}^{} | f |$ diverge

Comme pour les série numérique, ce n'est pas parce que

f

n'est pas intégrable que l'on peut déduire la divergence de l'intégrale de

f

. Voir les exemples de séries convergentes mais pas absolument convergentes.
Nous allons démontrer le résultat

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t converge, \int_{0}^{+ \infty} | \frac{\sin t}{t} | d t d i v e r g e

Posons

f : t \mapsto \frac{\sin t}{t}

qui est continue sur

I =] 0, + \infty [

. On veut montrer que l'intégrale de

f

sur

I

converge mais que

f

n'est pas intégrable sur

I

Montrons que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t$ converge.
1. $lim_{t \to 0^{+}} f (t) = 1$ par quotient d'équivalents et donc $f$ est prolongeable par continuité en 0 et $\int_{0}^{1} f (t) d t$ converge.
2. Pour l'intervalle $[1, + \infty [$ , nous allons effectuer une intégration par partie. Soit $A > 1$ .
  Posons $u : t \mapsto \frac{1}{t}$ et $v^{'} : t \mapsto \sin (t)$ qui sont $C^{1}$ sur $[1, A]$ . Alors $u^{'} : t \mapsto - \frac{1}{t^{2}}$ et $v : t \mapsto - \cos (t)$ convient.
  Par intégration par parties
  $\int_{1}^{A} \frac{\sin (t)}{t} d t = {[- \frac{\cos (t)}{t}]}_{1}^{A} - \int_{1}^{A} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t = \frac{\cos (1)}{1} - \frac{\cos (A)}{A} - \int_{1}^{A} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t$
  Nous avons deux limites à étudier.
  - Premièrement $0 \leq | \frac{\cos (A)}{A} | \leq \frac{1}{A}$ et donc $\frac{\cos (A)}{A} \underset{A \to + \infty}{\to} 0$ par encadrement.
  - Deuxièmement, $g : t \mapsto \frac{\cos (t)}{t^{2}}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ car $\forall t \geq 1 | g (t) | \leq \frac{1}{t^{2}}$ et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}}$ converge et par comparaison à une fonction positive.
    Ainsi $\int_{1}^{A} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t$ possède une limite finie lorsque $A \to + \infty$ .
  Par somme, $\int_{1}^{A} \frac{\sin (t)}{t} d t$ possède une limite finie lorsque $A \to + \infty$ ie $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\sin (t)}{t} d t$ converge.
Finalement, $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t$ converge.
Coin culture : cette intégrale s'appelle intégrale de Dirichlet et vaut $\frac{π}{2}$ , fait qui peut faire l'objet d'un problème.
Montrons que $f$ n'est pas intégrable sur $I$ . Supposons au contraire que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{| \sin t |}{t} d t$ converge et donc que $\int_{π}^{+ \infty} \frac{| \sin t |}{t} d t$ converge.

N \in N ∖ {0, 1}

u_{N} = \int_{π}^{N π} \frac{| \sin t |}{t} d t

u_{N} = \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t

k \in ⟦ 1, N - 1 ⟧

t \in [k π, (k + 1) π]

\frac{1}{t} \geq \frac{1}{(k + 1) π}

| \sin t | \geq 0

\frac{| \sin t |}{t} \geq \frac{| \sin t |}{(k + 1) π}

\int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t \geq \frac{1}{k + 1} \int_{k π}^{(k + 1) π} | \sin (t) | d t .

k

\int_{k π}^{(k + 1) π} | \sin (t) | d t = \int_{k π}^{(k + 1) π} \sin (t) d t = 2

k

\int_{k π}^{(k + 1) π} | \sin (t) | d t = \int_{k π}^{(k + 1) π} - \sin (t) d t = 2

u_{N} \geq \sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{2}{(k + 1) π} = \frac{2}{π} \sum_{k = 2}^{N} \frac{1}{k}

série

u_{N} \underset{N \to + \infty}{\to} + \infty

IV.1.4 $\int_{0}^{+ \infty} f$ converge mais $f ↛ 0$

Nous n'avons pas de critère aussi facile que la divergence grossière des séries pour les intégrales.
Montrons que

\int_{0}^{+ \infty} \sin (e^{t}) d t

converge.

f : t \mapsto \sin (e^{t})

est continue sur

[0, + \infty [

. Posons

u = e^{t}

et donc

t = \ln (u)

(ce qui prouve que le changement de variable est bijectif). Alors

d t = \frac{1}{u} d u

et notre intégrale à la même nature que

\int_{1}^{+ \infty} \sin (u) \frac{1}{u} d u

. D'après le point précédent,

\int_{0}^{+ \infty} \sin (e^{t}) d t

converge.
Cependant,

f

ne possède pas de limite en

+ \infty

(car

x \mapsto \sin x

n'a pas de limite en

+ \infty

IV.2 Application aux séries numériques

IV.2.1 Théorème

Soit

f : [n_{0}, + \infty [\to R

(avec

n_{0} \in N

) une fonction continue, positive et décroissante.

\int_{n_{0}}^{+ \infty} f (t) d t et \sum_{n \geq n_{0}} f (n) ont la même nature

Preuve

Pour un

N > n_{0}

on a, (voir le schéma. La preuve est la décroissance de

f

et la croissance de l'intégrale, puis on somme des inégalités et on applique la relation de Chasles),

\int_{n_{0} + 1}^{N + 1} f (t) d t \leq \sum_{n = n_{0}}^{N} f (n) \leq \int_{n_{0}}^{N} f (t) d t .

Remarquer les bornes des intégrales, en lien avec le domaine de définition de

f

Ainsi la suite des sommes partielle est majorée ssi

x \mapsto \int_{n_{0}}^{x} f (t) d t

est majorée (il suffit de majorer les valeurs aux entiers car cette fonction est croissante).

IV.2.2 Exemple

On prouve de cette manière la convergence et la divergence des séries de Riemann.

IV.2.3 Application aux séries divergentes

On souhaite donner un équivalent de

\ln (n!) = \sum_{k = 2}^{n} \ln (k)

.
Or, pour

k \geq 2

\int_{k - 1}^{k} \ln (t) d t \leq \ln (k) \leq \int_{k}^{k + 1} \ln (t) d t

car

\ln

est croissante sur

[k - 1, k]

et sur

[k, k + 1]

.
En sommant de

2

n

on obtient

\int_{1}^{n} \ln (t) d t \leq \ln (n!) \leq \int_{2}^{n + 1} \ln (t) d t

n \ln (n) - n + 1 \leq n! \leq (n + 1) \ln (n + 1) - (n + 1) - 2 \ln (2) + 2

.
On en tire classiquement

\ln (n!) = n \ln (n) - n + o_{+ \infty} (n)

IV.2.4 Restes d'une série convergente

On cherche un équivalent de

R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{2}}

. Avec

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}

on a (cf DM)

S_{n} + R_{n} = \frac{π^{2}}{6}

et donc

| S_{n} - \frac{π^{2}}{6} | = | R_{n} |

où

R_{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0

R_{n}

représente en fait la qualité de l'approximation de

\frac{π^{2}}{6}

par la somme finie

S_{n}

.
Pour

k > n

(on fixe

n \geq 1

pour l'instant), on a classiquement

\int_{k}^{k + 1} \frac{1}{t^{2}} d t \leq \frac{1}{k^{2}} \leq \int_{k - 1}^{k} \frac{1}{t^{2}} d t

et en sommant de

n + 1

+ \infty

\int_{n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}} d t \leq R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}} d t

.
Or

\int_{n}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}} d t = \frac{1}{n}

et donc

R_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \frac{1}{n}

(multiplier l'encadrement par

n

+ théorème d'encadrement).

I Intégrales convergentes

I.1 Convergence en +∞

I.1.1 Définition

I.1.2 Remarque

I.1.3 Interprétation graphique

I.1.4 Proposition

I.1.5 Proposition

I.1.6 Exemple

I.1.7 Théorème (Intégrales de Riemann)

I.2 Convergence sur un intervalle quelconque

I.2.1 Définition

I.2.2 Remarque

I.2.3 Définition

I.2.4 Proposition

I.2.5 Théorème (Intégrales de Riemann)

I.2.6 Définition-proposition

I.2.7 Définition (Notation)

I.2.8 Exemple

I.2.9 Proposition (Prolongement par continuité)

I.2.10 Exemple

II Propriétés des intégrales convergentes

II.1 Généralisation des propriétés

II.1.1 Proposition (Linéarité des intégrales convergentes)

II.1.2 Remarque

II.1.3 Proposition

II.1.4 Borne fermée

II.1.5 Théorème

II.2 Les outils de calcul

II.2.1 Théorème

II.2.2 Cas d'un changement décroissant

II.2.3 Exemple

II.2.4 Proposition

II.2.5 Théorème (Intégration par parties)

II.2.6 Remarque

II.2.7 Exemple

III Fonctions intégrables

III.1 Fonctions positives

III.1.1 Proposition

III.1.2 Adaptation à la borne inférieure

III.1.3 Proposition

III.2 Convergence absolue

III.2.1 Définition

III.2.2 Remarque sur le vocabulaire

III.2.3 Intégrabilité en un point

III.2.4 Fonctions de signe constant

III.2.5 Théorème

III.2.6 Exemple

III.2.7 Proposition (Inégalité triangulaire)

III.3 Comparaison

III.3.1 Théorème (Comparaison)

III.3.2 tαf(t)

III.3.3 Divergence

III.3.4 Application à la preuve de divergence

III.3.5 Exemple

III.3.6 Proposition

III.4 Intégration terme à terme

III.4.1 Rappel des connaissances courantes

III.4.2 Théorème

III.4.3 Exemple

Remarque

III.4.4 Exemple

IV Exemples importants

IV.1 Intégrales classiques

IV.1.1 Exemple

IV.1.2 Fonction Γ

IV.1.3 ∫If converge mais ∫I|f| diverge

IV.1.4 ∫0+∞f converge mais f↛0

IV.2 Application aux séries numériques

IV.2.1 Théorème

IV.2.2 Exemple

IV.2.3 Application aux séries divergentes

IV.2.4 Restes d'une série convergente

I.1 Convergence en $+ \infty$

III.3.2 $t^{α} f (t)$

IV.1.2 Fonction $Γ$

IV.1.3 $\int_{I}^{} f$ converge mais $\int_{I}^{} | f |$ diverge

IV.1.4 $\int_{0}^{+ \infty} f$ converge mais $f ↛ 0$