CPGE Blaise Pascal | Répondre au questionnaire Réduction

Test

Répondre au questionnaire Réduction

Réduction

Question 1 Q1
Question 2 Q2
Question 3 Q3
Question 4 Q4
Question 5 Q5
Question 6 Q6
Question 7 Q7
Question 8 Q8
Question 9 Q9
Question 10 Q10

Trouver les matrices pour lesquelles -2 est valeur propre

\(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 4\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)

1 est valeur propre de A = \(\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 7\end{pmatrix}\). Quelle est la deuxième ?

Réponse :

Soit \(p\) l'endomorphisme canoniquement associé à \(A = \inv{6}\begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \\ -3 & -2 & -1 \end{pmatrix}\).
\(p\) est le projecteur sur F parallèlement à G, où F est de dimension

Réponse :

Soit \(s\) l'endomorphisme canoniquement associé à \(A = \inv{10}\begin{pmatrix} -2 & -4 & -4 \\ -12 & -4 & 6 \\ -12 & 6 & -4 \end{pmatrix}\).
\(s\) est la symétrie par rapport à F et parallèlement à G, où F est de dimension

Réponse :

La matrice A = \(\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\) est diagonalisable

Faux

Vrai

Soit \(f \in \Li(E)\). On dit que \(\lambda \in \K\) est une valeur propre de \(f\) et que \(x \in E\) ssi \(f(x) = \lambda x\)

Vrai

Faux

Soit \(f \in \Li(E)\).
\(f\) est diagonalisable ssi (cocher les bonnes réponses)

\(\forall \lambda \in Sp(f)\ \dim(E_{\lambda}) = \mu(\lambda)\) où \(\mu(\lambda)\) représente la multiplicité en tant que racine de \(\chi_f\).

Toute matrice associée à \(f\) est diagonalisable

\(f\) est un projecteur ou une symétrie

\(\bigoplus\limits_{\lambda \in Sp(f)}{E_{\lambda}(f)} = E\)

Soit \(A \in \M_n(\K)\), on note \(\chi_A\) son polynôme caractéristique. Cocher les affirmations vraies.

\(\chi_A\) est degré n

\(\chi_A(\lambda)\) est de coefficient dominant égal à 1, le coefficient de \(\lambda\) est \(-\tr(A)\) et le coefficient constant est \(\det(A)\)

\(\chi_A(\lambda)\) est de coefficient dominant égal à 1, le coefficient de \(\lambda^{n - 1}\) est \(-\tr(A)\) et le coefficient constant est \(\det(A)\)

\(\chi_A(\lambda)\) est de coefficient dominant égal à 1, le coefficient de \(\lambda^{n - 1}\) est \(\tr(A)\) et le coefficient constant est \((-1)^n\det(A)\)

On considère \(f \in \Li(E)\) un endomorphisme d'un \(\K\)-espace vectoriel de dimension finie égale à \(n\) Cocher les affirmations vraies.

Pour \(\lambda, \mu \in Sp(f)\) distincts, les espaces \(E_{\lambda}(f),\ E_{\mu(f)}\) sont orthogonaux

Pour \(\lambda, \mu \in Sp(f)\) distincts, la somme \(E_{\lambda}(f) + E_{\mu(f)}\) est directe

Un espace propre de \(f\) est stable par \(f\)

\(\forall \lambda \in Sp(f)\ f - \lambda Id_E\) est bijective.

Trouver les matrices pour lesquelles 0 est valeur propre

\(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & -1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & -6\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 2\end{pmatrix}\)

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