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Vous trouverez chaque semaine le programme de colle de la semaine courante. Attention aux dates !
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Programme fictif n°1

  • Géométrie du plan et de l'espace

    • Réduction d'une équation de conique.
  • Surfaces

    • Courbes paramétrées dans l'espace : vecteur directeur de la tangente.
    • Nappe paramétrée : plan tangent, droite normale.
    • Surfaces définies par un équation explicite : plan tangent
    • Surfaces définies par une équation implicite : plan tangent
    • Surfaces réglées : définition, cas particulier des cônes et des cylindres.
    • Surfaces de révolution autour de \((Oz)\), brève extension à la révolution autour des autres axes de coordonnées.
  • Métrique des courbes

    • Révisions sur les courbes paramétrées.
    • Abscisse curviligne d'origine \(t_0\), paramétrage par celle-ci.
  • Questions de cours

    • Savoir trouver les points réguliers d'une surface quelque soit son mode de définition : un exemple pratique.
    • Pour \(f\) de classe \(\Co^1\) par rapport aux deux variables \(x \et y\), retrouver (et prouver) l'équation du plan tangent à la surface d'équation \(z = f(x, y)\) au point \(M_0\) de coordonnées \((x_0, y_0, z_0)\)
    • Savoir donner une représentation paramétrique d'une surface de révolution, en pratique.

Colle 20, semaine 22

  • Probabilités

    • Révisions de 1ère année : événements, probabilité sur un univers fini. Indépendance et probabilités conditionnelles. Loi binomiale et de Bernoulli. Espérance et variance.
    • Probabilités discrètes : définition d'une probabilité, probabilité d'une réunion dénombrable d'événements disjoints. La manipulation des tribus n'est pas exigible.
    • Système complet d'événements.
    • Probabilité conditionnelle : formules de probabilités composées, des probabilités totales.
    • Événements indépendants, mutuellement indépendants.
    • Variables aléatoires à valeurs discrètes, lois usuelles : géométrique (interprétation à connaître) et Poisson (interpréter \(\lambda\) comme l'espérance).
    • Loi conjointe de deux variables, variables indépendantes.
    • Fonction de répartition
    • Fonction génératrice, application au calcul de l'espérance et de la variance. Fonction génératrice d'une somme de deux variables indépendantes.
    • Covariance et variance d'une somme de deux variables indépendantes
  • Equations différentielles

    • Révisions sur les équations linéaires du premier ordre : équation homogène, ensemble des solutions et variation de la constante.
    • Équations linéaires du second ordre à coefficients constants : équation homogène (ensemble des solutions), second membre de la forme \(t \mapsto e^{kt}\) où \(k \in \C\).
    • Pour toutes les équations différentielles linéaires (y compris l'ordre 2 à coefficients quelconques) : principe de superposition, théorème de Cauchy.
  • Révisions

    • Développement en série de \(\inv{1 - x}\), \(-\ln( 1 - x)\), \(\ln(1 + x)\), \((1 + x)^{\alpha}\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ch x\), \(\sh x\)
    • Définition d'une intégrale impropre convergente pour une fonction \(f\) définie sur \([a, b[\)
    • Théorème fondamental du calcul différentiel.
  • Questions de cours

    • Trouver la loi d'une somme de deux variables aléatoires \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda) \et Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes.
    • Appliquer la méthode de variation de la constante sur un exemple.
    • Résolution d'un équation du second ordre à coefficients constant et second membre exponentiel.

Colle 19, semaine 21

  • Probabilités

    • Révisions de 1ère année : événements, probabilité sur un univers fini. Indépendance et probabilités conditionnelles. Loi binomiale et de Bernoulli. Espérance et variance.
    • Probabilités discrètes : définition d'une probabilité, probabilité d'une réunion dénombrable d'événements disjoints. La manipulation des tribus n'est pas exigible.
    • Système complet d'événements.
    • Probabilité conditionnelle : formules de probabilités composées, des probabilités totales.
    • Événements indépendants, mutuellement indépendants.
    • Variables aléatoires à valeurs discrètes, lois usuelles : géométrique (interprétation à connaître) et Poisson (interpréter \(\lambda\) comme l'espérance).
    • Loi conjointe de deux variables, variables indépendantes.
    • Fonction de répartition
    • Fonction génératrice, application au calcul de l'espérance et de la variance. Fonction génératrice d'une somme de deux variables indépendantes.
    • Covariance et variance d'une somme de deux variables indépendantes
  • Révisions

    • Développement en série de \(\inv{1 - x}\), \(-\ln( 1 - x)\), \(\ln(1 + x)\), \((1 + x)^{\alpha}\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ch x\), \(\sh x\)
    • Formules de trigonométrie.
    • Définition d'une intégrale impropre convergente pour une fonction \(f\) définie sur \([a, b[\)
  • Questions de cours

    • En admettant que les valeurs propres de \(M \in S_n(\R)\) sont réelles, montrer que deux espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
    • Donner la définition de : \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p \in ]0, 1[\) et montrer que pour \(k, n \in \N\) non nuls, on a \(\mathbb{P}(X > n + k | X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Trouver la loi d'une somme de deux variables aléatoires \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda) \et Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes.

Semaine 20

Aucune colle en semaine 20 qui est réservée au concours blanc

Colle 18, semaine 19

  • Espace préhilbertiens

    • Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
    • Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
    • Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
    • Bases orthonormées : calcul des coordonnées par produit scalaire. Procédé de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un espace de dimension finie.
    • Projection et symétrie orthogonales. Théorème des moindres carrés.
    • Isométries d'un espaces euclidien : définition, lien avec l'image d'une base orthonormée.
    • Matrices orthogonales : définitions et propriétés, lien avec les bases orthonormées. Reconnaître la matrice d'une symétrie orthogonale. Note : les isométries du plan et de l'espace ne sont pas au programme de cette semaine.
    • Déterminant des matrices orthogonales, bases directes et indirectes de \(\R^n\). Le déterminant d'une famille ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie pour le calculer.
    • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux. Théorème spectral.
  • Probabilités

    • Révisions de 1ère année : événements, probabilité sur un univers fini. Indépendance et probabilités conditionnelles. Loi binomiale et de Bernoulli. Espérance et variance.
  • Révisions

    • Développement en série de \(\inv{1 - x}\), \(-\ln( 1 - x)\), \(\ln(1 + x)\), \((1 + x)^{\alpha}\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ch x\), \(\sh x\)
    • Formules de trigonométrie.
    • Définition d'une intégrale impropre convergente pour une fonction \(f\) définie sur \([a, b[\)
  • Questions de cours

    • Pour \(f\) un endomorphisme d'un espace euclidien et \(\B\) une base orthonormée de \(E\), on note \(M = \mat_{\B}(f)\). \(f\) est une symétrie orthogonale ssi \(f\) est une isométrie et \(M\) est symétrique.
    • En admettant que les valeurs propres de \(M \in S_n(\R)\) sont réelles, montrer que deux espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
    • Donner la définition de : \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p \in ]0, 1[\) et montrer que pour \(k, n \in \N\) non nuls, on a \(\Prob(X > n + k | X > n) = \Prob(X > k)\).

Colle 17, semaine 18

  • Espace préhilbertiens

    • Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
    • Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
    • Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
    • Bases orthonormées : calcul des coordonnées par produit scalaire. Procédé de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un espace de dimension finie.
    • Projection et symétrie orthogonales. Théorème des moindres carrés.
    • Isométries d'un espaces euclidien : définition, lien avec l'image d'une base orthonormée.
    • Matrices orthogonales : définitions et propriétés, lien avec les bases orthonormées. Reconnaître la matrice d'une symétrie orthogonale. Note : les isométries du plan et de l'espace ne sont pas au programme de cette semaine.
    • Déterminant des matrices orthogonales, bases directes et indirectes de \(\R^n\). Le déterminant d'une famille ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie pour le calculer.
    • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux. Théorème spectral.
  • Révisions

    • Développement en série de \(\inv{1 - x}, -\ln( 1 - x), \ln(1 + x), (1 + x)^{\alpha}, e^x, \sin x, \cos x, \ch x, \sh x\)
    • Théorème de croissance comparées.
    • Lien entre équation d'une droite du plan, vecteur directeur et vecteur normal.
    • Formules de trigonométrie.
  • Questions de cours

    • Montrer que \((A, B) \mapsto \tr(\T{A}B)\) défini un produit scalaire sur \(\M_n(\R)\).
    • Montrer que \((f, g) \mapsto \int_{a}^{b}{f(t)g(t)\d t}\) défini un produit scalaire sur \(\Co([a, b], \R)\).
    • Pour \(f\) un endomorphisme d'un espace euclidien et \(\B\) une base orthonormée de \(E\), on note \(M = \mat_{\B}(f)\). \(f\) est une symétrie orthogonale ssi \(f\) est une isométrie et \(M\) est symétrique.

Colle 16, semaine 17

Il semble qu'il y ait pazrfois un problème d'affichage avec les formules mathématiques dans la page. Merci de vous référer au PDF, si besoin, pendant l'investigation.

  • Courbes paramétrées

    • Courbe en tant que fonction à valeurs dans \(\R^2\) (ou \(\R^3\)) : continuité, dérivabilité de telles fonctions.
    • Étude des symétries d'un support de courbe. Tangente en un point régulier.
    • Points singuliers : définition des entiers \(p \et q\), allure du support suivant leurs parités.
    • Étude des branches infinies : asymptotes, branches paraboliques.
  • Espace préhilbertiens

    • Produit scalaire dans un espace vectoriel : définition. Exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b, \R]), \R[X]\).
    • Norme. Lien avec le produit scalaire : \(\|u + v\|^2\) et identité de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.
    • Orthogonalité : liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Théorème de Pythagore.
  • Révisions

    • Développement en série de \(\inv{1 - x}, -\ln( 1 - x), \ln(1 + x), (1 + x)^{\alpha}, e^x, \sin x, \cos x, \ch x, \sh x\)
    • Théorème de croissance comparées.
    • Lien entre équation d'une droite du plan, vecteur directeur et vecteur normal.
  • Questions de cours

    • Tracé du support de la courbe \(f : t \mapsto \col{2\cos(t)}{\sin(t)}{}\)
    • Montrer que \((A, B) \mapsto \tr(\T{A}B)\) défini un produit scalaire sur \(\M_n(\R)\).
    • Montrer que \((f, g) \mapsto \dint{a}{b}{f(t)g(t)\d t}\) défini un produit scalaire sur \(\Co([a, b], \R)\).

Colle 15, semaine 16

A partir de la semaine 16, une question de cours rapide de révision est exigible, en plus de la démonstration de la semaine.

  • Intégrales à paramètre

    • Ensemble de définition d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.
    • Continuité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre. En cas de domination locale, une indication doit être fournie.
    • Classe \(\Co^1\) d'une telle fonction.
  • Courbes paramétrées

    • Courbe en tant que fonction à valeurs dans \(\R^2\) (ou \(\R^3\)) : continuité, dérivabilité de telles fonctions.
    • Étude des symétries d'un support de courbe. Tangente en un point régulier.
    • Points singuliers : définition des entiers \(p \et q\), allure du support suivant leurs parités.
    • Étude des branches infinies : asymptotes, branches paraboliques.
  • Révisions

    • Développement en série de \(\inv{1 - x}, -\ln( 1 - x), \ln(1 + x), (1 + x)^{\alpha}, e^x, \sin x, \cos x, \ch x, \sh x\)
    • Théorème de croissance comparées.
    • Lien entre équation d'une droite du plan, vecteur directeur et vecteur normal.
  • Questions de cours

    • Continuité de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
    • Classe \(\Co^1\) de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
    • Tracé du support de la courbe \(f : t \mapsto \col{2\cos(t)}{\sin(t)}{}\)

Colle 14, semaine 15

  • Réduction

    • Diagonalisabilité d'un endomorphisme : il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale. Caractérisation : le polynôme caractéristique est scindé et tous les espaces propres sont de dimension maximale.
    • Diagonalisabilité d'une matrice.
    • Application au calcul de puissances de matrices, à l'étude des suites récurrentes linéaires.
    • Trigonalisation : résultat théorique, aucune méthode n'est au programme.
  • Intégrales à paramètre

    • Ensemble de définition d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.
    • Continuité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre. En cas de domination locale, une indication doit être fournie.
    • Classe \(\Co^1\) d'une telle fonction.
  • Questions de cours

    • Pour un endomorphisme \(f\), si \(\chi_f\) est scindé et à racines simples, alors \(f\) est diagonalisable.
    • Continuité de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).
    • Classe \(\Co^1\) de \(f : x \mapsto \displaystyle{\int_0^{\pi}{\cos(x \sin(t)) \d t}}\).

Colle 12, semaine 13

  • Intégrales impropres

    • Intégrabilité d'une fonction, elle implique la convergence de l'intégrale.
    • Changement de variable dans une intégrale impropre.
    • Intégration par parties
  • Réduction

    • Valeur propre, vecteur propre et espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
    • Liberté d'une famille de vecteur propres associés à des valeurs propres 2 à 2 distinctes, une somme d'espace propres est directe.
    • Polynôme caractéristique : il est unitaire, de degré \(n = \dim(E)\), coefficient de \(X^{n - 1}\) et coefficient constant (la trace et le déterminant, au signe près, formule pour la dimension 2).
    • Lien entre la dimension d'un espace propre et la multiplicité de la racine de \(\chi\).
  • Questions de cours

    • En posant \(\Gamma(\beta) =\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t} \) montrer que \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).
    • \(\lambda \in \K\) est une valeur propre de \(f\) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Donner un exemple de matrice pour laquelle une valeur propre \(\lambda\) au moins vérifie \(\dim(E_{\lambda}) = \mu(\lambda)\), et un exemple où \(\dim(E_{\lambda}) < \mu(\lambda)\).

Colle 11, semaine 12

  • Intégrales impropres

    • Révisions sur les séries numériques : théorème de croissances comparées, comparaison des séries à termes positifs.
    • Définition d'une intégrale impropre convergente, calculs des intégrales de références : \(\int_0^1{\ln(t) \d t}\), \(\int_0^{+\infty}{e^{-at}\d t}\) (pour \(a > 0\)) et intégrales de Riemann.
    • Théorème de comparaison des fonctions positives pour la convergence des intégrales impropres.
    • Intégrabilité d'une fonction, elle implique la convergence de l'intégrale.
    • Changement de variable dans une intégrale impropre.
    • Intégration par parties
  • Questions de cours

    • \(\int_0^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha < 1\).
    • \(\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
    • En posant \(\Gamma(\beta) =\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t} \) montrer que \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).

Colle 10, semaine 11

  • Algèbre linéaire

    • Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
    • Projecteur : définition.
    • Symétrie : définition, formule \(s = 2p - Id_E\).
    • Matrice d'une projection ou d'une symétrie dans une base adaptée.
  • Intégrales impropres

    • Révisions sur les séries numériques : théorème de croissances comparées, comparaison des séries à termes positifs.
    • Définition d'une intégrale impropre convergente, calculs des intégrales de références : \(\int_0^1{\ln(t) \d t}\), \(\int_0^{+\infty}{e^{-at}\d t}\) (pour \(a > 0\)) et intégrales de Riemann.
    • Théorème de comparaison des fonctions positives pour la convergence des intégrales impropres.
    • Intégrabilité d'une fonction, elle implique la convergence de l'intégrale.
    • Changement de variable dans une intégrale impropre.
  • Questions de cours

    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).
    • \(\int_0^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha < 1\).
    • \(\int_0^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).

Colle 9, semaine 10

  • Algèbre linéaire

    • Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
    • Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
    • Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
    • Somme directe : définition par l'unicité de la décomposition. Théorème de la base adaptée.
    • Rappels sur les applications linéaires : noyau, image, théorème du rang.
    • Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
    • Projecteur : définition.
    • Symétrie : définition, formule \(s = 2p - Id_E\).
    • Matrice d'une projection ou d'une symétrie dans une base adaptée.
  • Intégrales impropres

    • Révisions sur les séries numériques : théorème de croissances comparées, comparaison des séries à termes positifs.
    • Définition d'une intégrale impropre convergente, calculs des intégrales de références : \(\int_0^1{\ln(t) \d t}\), \(\int_0^{+\infty}{e^{-at}\d t}\) (pour \(a > 0\)) et intégrales de Riemann.
  • Questions de cours

    • L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace.
    • Définition d'un projecteur, donner les propriétés importantes (théorème 9). Sans démonstration
    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).

Colle 8, semaine 9

  • Séries entières

    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
    • Développement en série d'une fonction : développements usuels.
  • Algèbre linéaire

    • Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
    • Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
    • Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
    • Somme directe : définition par l'unicité de la décomposition. Théorème de la base adaptée.
    • Rappels sur les applications linéaires : noyau, image, théorème du rang.
    • Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
    • Projecteur : définition.
  • Questions de cours

    • Décrire les supplémentaires non triviaux (aucun des espaces n'est l'espace nul) dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).
    • L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace.
    • Définition d'un projecteur, donner les propriétés importantes (théorème 9).

Colle 7, semaine 8

  • Séries entières

    • Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
    • Développement en série d'une fonction : développements usuels.
  • Algèbre linéaire

    • Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
    • Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
    • Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).
    • Décrire les supplémentaires non triviaux (aucun des espaces n'est l'espace nul) dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).

Colle 6, semaine 7

  • Matrices carrées

    • Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
    • Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
    • \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
    • \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
    • Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
  • Séries entières

    • Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
  • Questions de cours

    • Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
    • Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).

Colle 5, semaine 6

  • Matrices carrées

    • Rappel sur quelques méthodes de calcul de puissances d'une matrice : récurrence, Newton, calculer un reste dans une division euclidienne de polynômes.
    • Matrices inversibles : définition, différentes CNS, méthode pratique de calcul de l'inverse.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre composition et produit, changement de base.
    • Trace d'une matrice, d'une application linéaire.
    • Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
    • Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
    • \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
    • \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
    • Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
  • Questions de cours

    • Pour \(A \in \M_n(\K)\), \(A \in GL_n(\K) \iff \T{A} \in GL_n(\K)\).
    • Pour \(A, B \in \M_n(\K)\), \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
    • Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)

Colle 4, semaine 5

  • Révisions sur les séries

    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
    • Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
  • Quelques révisions de géométrie

    • Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
    • A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
    • Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
  • Matrices carrées

    • Rappel sur quelques méthodes de calcul de puissances d'une matrice : récurrence, Newton, calculer un reste dans une division euclidienne de polynômes.
    • Matrices inversibles : définition, différentes CNS, méthode pratique de calcul de l'inverse.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre composition et produit, changement de base.
    • Trace d'une matrice, d'une application linéaire.
  • Questions de cours

    • On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Pour \(A \in \M_n(\K)\), \(A \in GL_n(\K) \iff \T{A} \in GL_n(\K)\).
    • Pour \(A, B \in \M_n(\K)\), \(\tr(AB) = \tr(BA)\).

Colle 3, semaine 4

  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
    • Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
    • Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
    • Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
    • Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
  • Quelques révisions de géométrie

    • Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
    • A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
    • Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
  • Questions de cours

    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).
    • On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

Colle 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
    • Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
    • Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
    • Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
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