• Fonctions de plusieurs variables

  • Domaines de définition : savoir reconnaître (sans preuve) une partie fermée, ouverte, bornée.
  • Continuité : preuve uniquement par opérations, aucune étude de prolongement. Image d'un fermé borné par une fonction continue.
  • Dérivées partielles : définition, calcul pratique du gradient. Formules de composition.
  • Résolution d'une EDP par changement de variable (donné) pour se ramener à une équation à une seule variable.
  • Etude des points critiques pour déterminer les extrema à l'intérieur du domaine de définition.
  • Matrice hessienne : lien entre le signe des valeurs propres et la position relative de la surface représentative et du plan tangent, application à l'étude des extrema.

• Surfaces

  • Calcul de plan tangents pour les surfaces paramétrées, les surfaces données par une équation cartésienne.
  • Exemple de calcul d'intersection par un plan, de projection d'une courbe sur un plan.

• Révisions

  • Définition de fonction intégrable sur un intervalle
  • Théorème de convergence des intégrales par comparaison
  • Théorème de changement de variable dans une intégrale impropre.

• Questions de cours

  1. Décrire les 3 types d'isométrie de l'espace et donner un moyen de les reconnaître connaissant une matrice dans une base orthonormée.
  2. Citer la formule de dérivée composée faisant intervenir deux fonctions de deux variables.
  3. Définition d'un point régulier pour une surface paramétrée et pour une surface donnée par une équation de la forme \(f(x, y, z) = 0\).

• Espaces euclidiens

  • Produit scalaire dans un espace quelconque : intégrale, produit scalaire canonique sur les matrices
  • Familles orthogonales, orthonormales, espaces orthogonaux
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, expression dans une base orthonormée
  • Symétries orthogonales, matrice dans une base orthonormée
  • Isométries dans un espace euclidien, lien avec les matrices orthogonales.
  • Isométries du plan : rotation et réflexion : matrices dans une base orthonormée, composition.
  • Isométries d'un espace de dimension 3 : rotations (matrice réduite et calculs des éléments géométrique), symétries orthogonales, composition de la symétrie centrale et d'une rotation.

• Fonctions de plusieurs variables

  • Domaines de définition : savoir reconnaître (sans preuve) une partie fermée, ouverte, bornée.
  • Continuité : preuve uniquement par opérations, aucune étude de prolongement. Image d'un fermé borné par une fonction continue.
  • Dérivées partielles : définition, calcul pratique du gradient. Formules de composition.
  • Résolution d'une EDP par changement de variable (donné) pour se ramener à une équation à une seule variable.

• Révisions

  • Citer une équation réduite de conique avec le schéma associé.
  • Définition du repère de Frenet.
  • Donner 2 CNS de diagonalisabilité pour \(A \in \M_n(\K)\).

• Questions de cours

  1. Description géométrique de l'endomorphisme canoniquement associé à \(\begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{pmatrix}\).
  2. Décrire les 3 types d'isométrie de l'espace et donner un moyen de les reconnaître connaissant une matrice dans une base orthonormée.
  3. Citer la formule de dérivée composée faisant intervenir deux fonctions de deux variables.

• Équations différentielles

  • Révision de 1ère année : équation d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
  • Équations du second ordre à coefficients non constants : structure de l'ensemble des solutions (de l'équation homogène), exemple de recherche d'une solution DSE, recherche d'une deuxième solution par variation de la constante.
  • Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants : résolution lorsque la matrice est diagonalisable.

• Espaces euclidiens

  • Produit scalaire dans un espace quelconque : integrale, produit scalaire canonique sur les matrices
  • Familles orthogonales, orrhonormales, espaces orthogonaux
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, expression dans une base orthonormee
  • Symetries orthogonales, marrice dans une base orthonormee
  • Isometrie dans un espace euclidien, lien avec les matrices orthogonales.
  • Isometries du plan : rotation et reflexion : matrices dans une base orthonormee, composition.

• Révisions

  • Donner une paramétrisation du cercle de centre O et de rayon 1
  • Rappeler la convergence/divergence des intégrales de Riemann.
  • Citer le théorème de comparaison des séries à termes positifs (4 résultats).

• Questions de cours

  1. Réduire une équation de conique sans partie linéaire, tracer dans le repère d'origine.
  2. Montrer que \(\phi : (f, g) \mapsto \dint{a}{b}{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).
  3. Description geometrique de l'endomorphisme canoniquement associé à \(\begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}\)

• Théorème spectral

  • Matrices orthogonales : caractérisation sur la famille des colonnes. Calcul de l'inverse.
  • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux, théorème spectral.
  • Réduction d'équation de coniques.

• Équations différentielles

  • Révision de 1ère année : équation d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
  • Équations du second ordre à coefficients non constants : structure de l'ensemble des solutions (de l'équation homogène), exemple de recherche d'une solution DSE, recherche d'une deuxième solution par variation de la constante.
  • Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants : résolution lorsque la matrice est diagonalisable.

• Révisions

  • Donner une paramétrisation du cercle de centre O et de rayon 1
  • Rappeler la convergence/divergence des intégrales de Riemann.
  • Citer le théorème de comparaison des séries à termes positifs (4 résultats).

• Questions de cours

  1. Au choix du colleur : une équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec méthode de variation de la constante ou une équation d'ordre 2 avec second membre de la forme \(\gamma e^{\delta t}\) où \(\gamma, \delta\) sont des constantes.
  2. Réduire une équation de conique sans partie linéaire, tracer dans le repère d'origine.
  3. Montrer que \(\phi : (f, g) \mapsto \dint{a}{b}{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).

• Théorème spectral

  • Produit scalaire canonique et norme dans \(\R^n\).
  • Familles orthogonales, orthonormales, calculs dans une base orthonormée.
  • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sev. Exemple de projection orthogonale.
  • Matrices orthogonales : caractérisation sur la famille des colonnes. Calcul de l'inverse.
  • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux, théorème spectral.
  • Réduction d'équation de coniques.

• Équations différentielles

  • Révision de 1ère année : équation d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.

• Révisions

  • Donner une paramétrisation du cercle de centre O et de rayon 1
  • Rappeler la convergence/divergence des intégrales de Riemann.
  • Citer le théorème de comparaison des séries à termes positifs (4 résultats).

• Questions de cours

  1. Soit \(\B = (e_1, \dots, e_n)\) une base orthonormée de \(\R^n\) et \(u, v \in \R^n\). En notant \(x_1, \dots, x_n\) les coordonnées de \(u\) et \(y_1, \dots y_n\) les coordonnées de \(v\) dans \(\B\) on a \(x_i = \langle u, e_i \rangle\) et \(\scal{u}{v} = \sum\limits_{k = 1}^n{x_i y_i}\).
  2. Pour \(A \in S_n(\R)\), montrer que \(\forall X, Y \in \R^n\ \langle AX, Y\rangle = \langle X, AY\rangle \) et montrer que deux espaces propres associés à des valeurs propres réelles distinctes sont orthogonaux.
  3. Au choix du colleur : une équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec méthode de variation de la constante ou une équation d'ordre 2 avec second membre de la forme \(\gamma e^{\delta t}\) où \(\gamma, \delta\) sont des constantes.

• Intégration sur un intervalle quelconque

  • Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur \([a, b[\), \(]a, b]\) ou \(]a, b[\).
  • Convergence par prolongement par continuité.
  • Intégrales de référence : \(e^{-\alpha t}\), intégrales de Riemann.
  • Révisions sur l'intégration par parties, les changements de variables. Changement de variable dans une intégrale impropre.
  • Fonctions intégrables.
  • Théorème de convergence apr comparaison pour les fonctions positives ou pour montrer l'intégrabilité : \(\le, o_a, \eq{a}, O_a\).

• Théorème spectral

  • Produit scalaire canonique et norme dans \(\R^n\).
  • Familles orthogonales, orthonormales, calculs dans une base orthonormée.
  • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sev. Exemple de projection orthogonale.
  • Matrices orthogonales : caractérisation sur la famille des colonnes. Calcul de l'inverse.

• Révisions

  • Citer 3 propriétés calculatoires du déterminant.
  • Donner une CNS de diagonalisabilité pour un endomorphisme \(f\) en dimension finie.
  • Donner un DSE usuel, avec domaine de validité.

• Questions de cours

  1. Montrer que \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{t^{\alpha-1}e^{-t}\d t}}\) converge ssi \(\alpha > 0\).
  2. En notant \(\Gamma(\alpha)\) l'intégrale précédente, montrer que \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha)\)
  3. Soit \(\B = (e_1, \dots, e_n)\) une base orthonormée de \(\R^n\) et \(u, v \in \R^n\). En notant \(x_1, \dots, x_n\) les coordonnées de \(u\) et \(y_1, \dots y_n\) les coordonnées de \(v\) dans \(\B\) on a \(x_i = \langle u, e_i \rangle\) et \(\scal{u}{v} = \sum\limits_{k = 1}^n{x_i y_i}\).

Note aux colleurs : la semaine suivant les vacances est la semaine du concours blanc, les colles seront annulées cette semaine là.

• Intégration sur un intervalle quelconque

  • Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur \([a, b[\), \(]a, b]\) ou \(]a, b[\).
  • Convergence par prolongement par continuité.
  • Intégrales de référence : \(e^{-\alpha t}\), intégrales de Riemann.
  • Révisions sur l'intégration par parties, les changements de variables. Changement de variable dans une intégrale impropre.
  • Fonctions intégrables.
  • Théorème de convergence apr comparaison pour les fonctions positives ou pour montrer l'intégrabilité : \(\le, o_a, \eq{a}, O_a\).

• Révisions

  • Citer 3 propriétés calculatoires du déterminant.
  • Donner une CNS de diagonalisabilité pour un endomorphisme \(f\) en dimension finie.
  • Donner un DSE usuel, avec domaine de validité.

• Questions de cours

  1. \(\displaystyle{\int_{0}^{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}}\) converge ssi \(\alpha < 1\).
  2. Montrer que \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{t^{\alpha-1}e^{-t}\d t}}\) converge ssi \(\alpha > 0\).
  3. En notant \(\Gamma(\alpha)\) l'intégrale précédente, montrer que \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha)\)

• Probabilités

  • révision de sup. En particulier probabilité conditionnelles (et formule des probabilités totales), loi binomiale.
  • Définition d'une probabilité.
  • Événements indépendants, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales : adaptation du cours de 1ère année à des familles indexées par \(\N\).
  • Formule de Bayes
  • Variables aléatoires discrètes, exemple d'une variable suivant une loi géométrique.
  • Loi de Poisson
  • Loi conjointe, marginales. Variables indépendantes.
  • Fonction de répartition, retrouver la loi.
  • Fonction génératrice des variables usuelles.
  • Espérance, variance d'une variable discrète. Utilisation de la fonction génératrice pour le calcul dans le cas \(X(\Omega) \subset \N\).
  • Propriétés de l'espérance et de la variance. Covariance.

• Intégration sur un intervalle quelconque

  • Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur \([a, b[\), \(]a, b]\) ou \(]a, b[\).
  • Convergence par prolongement par continuité.
  • Intégrales de référence : \(e^{-\alpha t}\), intégrales de Riemann.
  • Révisions sur l'intégration par parties, les changements de variables. Changement de variable dans une intégrale impropre.

• Questions de cours

  1. Pour \(X, Y\) suivant des lois de Poisson, indépendantes, donner la loi de \(Z = X + Y\).
  2. Calcul de l'espérance et de la variance pour une loi géométrique, en prouvant leurs existences.
  3. \(\dint{0}{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha < 1\).

• Probabilités

  • révision de sup. En particulier probabilité conditionnelles (et formule des probabilités totales), loi binomiale.
  • Définition d'une probabilité.
  • Événements indépendants, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales : adaptation du cours de 1ère année à des familles indexées par \(\N\).
  • Formule de Bayes
  • Variables aléatoires discrètes, exemple d'une variable suivant une loi géométrique.
  • Loi de Poisson
  • Loi conjointe, marginales. Variables indépendantes.
  • Fonction de répartition, retrouver la loi.
  • Fonction génératrice des variables usuelles.
  • Espérance, variance d'une variable discrète. Utilisation de la fonction génératrice pour le calcul dans le cas \(X(\Omega) \subset \N\).
  • Propriétés de l'espérance et de la variance. Covariance.

• Questions de cours

  1. Soit \(p \in ]0, 1[\) et \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\). Montrer que pour \(n, k > 0\) on a \(\Prob(X> n + k | X > n) = \Prob(X > k)\).
  2. Pour \(X, Y\) suivant des lois de Poisson, indépendantes, donner la loi de \(Z = X + Y\).
  3. Calcul de l'espérance et de la variance pour une loi géométrique, en prouvant leurs existences.

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice : valeur et vecteur propre, espace propre.
  • Liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, des espaces propres sont en somme directe.
  • Calcul pratique d'espaces propres.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme en dimension fini. Lien avec les valeurs propres.
  • Diagonalisabilité d'un endomorphisme, d'une matrice : caractérisation par l'existence d'une base de vecteur propre.
  • Polynôme caractéristique scindé, dimension des sous-espaces propres associés aux racines multiples.
  • Trigonalisation : seul un résultat théorique est au programme, la caractérisation par le caractère scindé du polynôme caractéristique. Application : la trace est la somme des racines du polynôme caractéristique.

• Probabilités

  • révision de sup. En particulier probabilité conditionnelles (et formule des probabilités totales), loi binomiale.
  • Définition d'une probabilité.
  • Événements indépendants, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales : adaptation du cours de 1ère année à des familles indexées par \(\N\).
  • Formule de Bayes
  • Variables aléatoires discrètes, exemple d'une variable suivant une loi géométrique.

• Questions de cours

  1. Énoncé le théorème de trigonalisation, ainsi que sa conséquence concernant la trace et le déterminant.
  2. Loi binomiale : donner sans démonstration la définition, l'interprétation, l'espérance et la variance.
  3. Soit \(p \in ]0, 1[\) et \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\). Montrer que pour \(n, k > 0\) on a \(\Prob(X> n + k | X > n) = \Prob(X > k)\).

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice : valeur et vecteur propre, espace propre.
  • Liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, des espaces propres sont en somme directe.
  • Calcul pratique d'espaces propres.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme en dimension fini. Lien avec les valeurs propres.
  • Diagonalisabilité d'un endomorphisme, d'une matrice : caractérisation par l'existence d'une base de vecteur propre.
  • Polynôme caractéristique scindé, dimension des sous-espaces propres associés aux racines multiples.
  • Trigonalisation : seul un résultat théorique est au programme, la caractérisation par le caractère scindé du polynôme caractéristique. Application : la trace est la somme des racines du polynôme caractéristique.

• Probabilités

  • révision de sup. En particulier probabilité conditionnelles (et formule des probabilités totales), loi binomiale.

• Questions de cours

  1. En dimension finie, \(\lambda\) est une valeur propre de \(A \in \M_n(\K)\) ssi \(\chi_A(\lambda) = 0\)
  2. Donner, avec explication, les valeurs propres d'une matrice triangulaire ou diagonale.
  3. Loi binomiale : donner sans démonstration la définition, l'interprétation, l'espérance et la variance.

Note aux colleurs : nous n'avons pas au programme de PT la notion de polynôme de matrice ou d'endomorphisme.

• Étude métrique des courbes

  • Longueur d'une courbe paramétrée entre deux paramètres donnés. Abscisses curvilignes.
  • Repère de Frenet pour une courbe régulière.
  • Courbure, formules de Frenet pour la calculer
  • Rayon de courbure et courbe développée.
  • Enveloppe d'une famille de droites, calcul de la développée en tant qu'enveloppe des normales.

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice : valeur et vecteur propre, espace propre.
  • Liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, des espaces propres sont en somme directe.
  • Calcul pratique d'espaces propres.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme en dimension fini. Lien avec les valeurs propres.

• Questions de cours

  1. Donner la définition et la méthode de calcul de l'enveloppe d'une famille de droites données par un point et un vecteur directeur.
  2. En dimension finie, \(\lambda\) est une valeur propre de \(A \in \M_n(\K)\) ssi \(\chi_A(\lambda) = 0\)
  3. Donner, avec explication, les valeurs propres d'une matrice triangulaire ou diagonale.

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Espaces de dimension finie : dimension des sous-espaces, intersection et somme de sous-espaces.
  • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
  • Somme directe d'espaces vectoriel : définition (unicité de la décomposition en somme), caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0\), théorème de la base adaptée.
  • Applications linéaires : noyau, image, théorème du rang. Isomorphismes en dimension finie ou non.
  • Espaces stables par un application linéaire : endomorphisme induit et effet sur les matrices.
  • Projecteur et symétrie : définition. Caractérisation par \(p\circ p = p\) et \(s \circ s = Id_E\).

• Étude métrique des courbes

  • Longueur d'une courbe paramétrée entre deux paramètres donnés. Abscisses curvilignes.
  • Repère de Frenet pour une courbe régulière.
  • Courbure, formules de Frenet pour la calculer
  • Rayon de courbure et courbe développée.
  • Enveloppe d'une famille de droites, calcul de la développée en tant qu'enveloppe des normales.

• Révisions

  • Prouver rapidement qu'un ensemble est un sous-espace sur un exemple.
  • Prouver rapidement qu'une application est linéaire sur un exemple.
  • Étude locale d'une courbe paramétrée : définition de \(p \et q\).

• Questions de cours

  1. Donner la matrice réduit d'un projecteur en précisant bien la base utilisée, puis en déduire que trace et rang sont égaux.
  2. Si \(f \in \Li(E)\) vérifie \(f^2 = f\) alors \(\ker(f) \oplus \ker(Id - f) = E\).
  3. Donner la définition et la méthode de calcul de l'enveloppe d'une famille de droites données par un point et un vecteur directeur.

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Espaces de dimension finie : dimension des sous-espaces, intersection et somme de sous-espaces.
  • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
  • Somme directe d'espaces vectoriel : définition (unicité de la décomposition en somme), caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0\), théorème de la base adaptée.
  • Applications linéaires : noyau, image, théorème du rang. Isomorphismes en dimension finie ou non.
  • Espaces stables par un application linéaire : endomorphisme induit et effet sur les matrices.
  • Projecteur et symétrie : définition. Caractérisation par \(p\circ p = p\) et \(s \circ s = Id_E\).

• Révisions

  • Prouver rapidement qu'un ensemble est un sous-espace sur un exemple.
  • Prouver rapidement qu'une application est linéaire sur un exemple.
  • Étude locale d'une courbe paramétrée : définition de \(p \et q\).

• Questions de cours

  1. Pour \(f \in \Li(E, F)\) une application linéaire et \(H\) un sous-espace vectoriel de \(F\), \(f^{-1}(H)\) (l'image réciproque de \(H\) par \(f\)) est un sous-espace de \(E\).
  2. Donner la matrice réduit d'un projecteur en précisant bien la base utilisée, puis en déduire que trace et rang sont égaux.
  3. Si \(f \in \Li(E)\) vérifie \(f^2 = f\) alors \(\ker(f) \oplus \ker(Id - f) = E\).

• Série entière

  • Définition, exemples fondamentaux : série géométrique et exponentielle.
  • Rayon de convergence : lemme d'Abel et définition du rayon de convergence. Lien avec la convergence ou la divergence d'une série entière.
  • Application de la règle de d'Alembert sur les séries numériques pour le calcul du rayon de convergence (par double inégalité dans le cas où \(R \in ]0, + \infty[\)).
  • Séries d'une variable réelle : intégration et dérivation terme à terme sur \(]-R, R[\).
  • Développement en série : définition, développements usuels.

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Espaces de dimension finie : dimension des sous-espaces, intersection et somme de sous-espaces.
  • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.
  • Somme directe d'espaces vectoriel : définition (unicité de la décomposition en somme), caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0\), théorème de la base adaptée.
  • Applications linéaires : noyau, image, théorème du rang. Isomorphismes en dimension finie ou non.

• Révisions

  • Séries de Riemann.
  • Prouver rapidement qu'un ensemble est un sous-espace sur un exemple.
  • Prouver rapidement qu'une application est linéaire sur un exemple.

• Questions de cours

  1. Calcul de \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{nx^n}\) en précisant pour quelles valeurs de \(x\) le calcul est valable.
  2. Dans \(E = \R^3\), on considère un plan \(P\) et une droite \(D\). Montrer que \(P \oplus D = \R^3\) ssi \(D \not\subset P\).
  3. Pour \(f \in \Li(E, F)\) une application linéaire et \(H\) un sous-espace vectoriel de \(F\), \(f^{-1}(H)\) est un sous-espace de \(E\).

• Série entière

  • Définition, exemples fondamentaux : série géométrique et exponentielle.
  • Rayon de convergence : lemme d'Abel et définition du rayon de convergence. Lien avec la convergence ou la divergence d'une série entière.
  • Application de la règle de d'Alembert sur les séries numériques pour le calcul du rayon de convergence (par double inégalité dans le cas où \(R \in ]0, + \infty[\)).
  • Séries d'une variable réelle : intégration et dérivation terme à terme sur \(]-R, R[\).
  • Développement en série : définition, développements usuels

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Espaces de dimension finie : dimension des sous-espaces, intersection et somme de sous-espaces.
  • Espaces supplémentaires, formule de Grassman.

• Révisions

  • Définition de : \(F \et G\) sont supplémentaires dans \(E\).
  • Donner 2 caractérisations de \(F \oplus G = E\) lorsque \(E\) est de dimension finie.
  • Séries de Riemann.

• Questions de cours

  • Pour une série entière \(\sum{a_nz^n}\) de rayon de convergence \(R > 0\) et pour \(z \in \C\), montrer : si \(|z|< R\) alors \(\sum\limits{a_nz^n}\) converge ; si \(|z| > R\) alors \(\sum{a_n z^n}\) diverge grossièrement.
  • Calcul de \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{nx^n}\) en précisant pour quelles valeurs de \(x\) le calcul est valable.
  • Dans \(E = \R^3\), on considère un plan \(P\) et une droite \(D\). Montrer que \(P \oplus D = \R^3\) ssi \(D \not\subset P\).

• Courbes paramétrées

  • Fonctions à valeurs vectorielles : continuité, dérivabilité, classe \(\Co^k\) et formule de Taylor-Young. On passe systématiquement par les preuves coordonnée par coordonnée.
  • Courbes paramétrées dans le plan : recherche des éventuelles symétries, tangente en un point régulier.
  • Étude locale : point de rebroussement, point d'inflexion.
  • Branches infinies : asymptotes (y compris oblique), branches paraboliques d'axe \((Ox), (Oy)\) ou oblique.

• Série entière

  • Définition, exemples fondamentaux : série géométrique et exponentielle.
  • Rayon de convergence : lemme d'Abel et définition du rayon de convergence. Lien avec la convergence ou la divergence d'une série entière.
  • Application de la règle de d'Alembert sur les séries numériques pour le calcul du rayon de convergence (par double inégalité dans le cas où \(R \in ]0, + \infty[\)).

• Révisions

  • Donner une paramétrisation du cercle de centre \(O\) et de rayon 1.
  • \textbf{Définition} de : \(F \et G\) sont supplémentaires dans \(E\).
  • Donner 2 caractérisations de \(F \oplus G = E\) lorsque \(E\) est de dimension finie.

• Questions de cours

  • Donner la définition des entiers \(p \et q\) ainsi que l'allure locale d'une courbe en fonction de leurs parités.
  • Donner la définition des types de branches infinies ainsi que l'allure générale dans chaque cas.
  • Pour une série entière \(\sum{a_nz^n}\) de rayon de convergence \(R > 0\) et pour \(z \in \C\), montrer : si \(|z|< R\) alors \(\sum\limits{a_nz^n}\) converge ; si \(|z| > R\) alors \(\sum{a_n z^n}\) diverge grossièrement.

• Matrices

  • Déterminant d'une matrice. Propriétés calculatoires : linéarité par rapport à chaque colonne, antisymétrie, opérations élémentaires, transposée.
  • Déterminants triangulaires.
  • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.

• Courbes paramétrées

  • Fonctions à valeurs vectorielles : continuité, dérivabilité, classe \(\Co^k\) et formule de Taylor-Young. On passe systématiquement par les preuves coordonnée par coordonnée.
  • Courbes paramétrées dans le plan : recherche des éventuelles symétries, tangente en un point régulier.
  • Étude locale : point de rebroussement, point d'inflexion.
  • Branches infinies : asymptotes (y compris oblique), branches paraboliques d'axe \((Ox), (Oy)\) ou oblique.

• Révisions

  • Pour \(z \ne 1\), valeur de \(\sum\limits_{k = 0}^n{z^k}\).
  • Valeurs de \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} \et \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{x^n}\) en précisant pour quelles valeurs de \(x\) ces formules sont valables.
  • Donner une paramétrisation du cercle de centre \(O\) et de rayon 1.

• Questions de cours

  • Calcul du déterminant carré de taille \(n \ge 1\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
  • Donner la définition des entiers \(p \et q\) ainsi que l'allure locale d'une courbe en fonction de leurs parités.
  • Donner la définition des types de branches infinies ainsi que l'allure générale dans chaque cas.

• Matrices

  • Révisions sur le produit matriciel, les matrices inversibles.
  • Manipulation formelle des matrices, expressions polynomiales (la notion de polynôme de matrice n'est pas au programme). Binôme de Newton et factorisation de \(A^n - B^n\).
  • Matrices semblables : définition.
  • Trace d'une matrice, \(\tr(AB) = \tr(BA)\). Deux matrices semblables ont la même trace.
  • Trace d'un endomorphisme.
  • Déterminant d'une matrice. Propriétés calculatoires : linéarité par rapport à chaque colonne, antisymétrie, opérations élémentaires, transposée.
  • Déterminants triangulaires.
  • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.

• Révisions

  • A partir des coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur, donner une équation de la droite ainsi définie.
  • Pour \(z \ne 1\), valeur de \(\sum\limits_{k = 0}^n{z^k}\).
  • Valeurs de \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} \et \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{x^n}\) en précisant pour quelles valeurs de \(x\) ces formules sont valables.

• Questions de cours

  • Montrer que \(\tr(AB) = \tr(BA)\) pour deux matrices carrées \(A, B\).
  • Montrer que deux matrices semblables ont la même trace, en déduire la définition de la trace d'un endomorphisme.
  • Calcul du déterminant carré de taille \(n \ge 1\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)

• Séries numériques

  • Séries de références : géométriques et Riemann, série exponentielle.
  • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.
  • Règle de d'Alembert pour les séries à termes strictement positifs.
  • Convergence absolue : elle entraîne la convergence.
  • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

• Matrices

  • Révisions sur le produit matriciel, les matrices inversibles.
  • Manipulation formelle des matrices, expressions polynomiales (la notion de polynôme de matrice n'est pas au programme). Binome de Newton et factorisation de \(A^n - B^n\).
  • Matrices semblables : définition.
  • Trace d'une matrice, \(\tr(AB) = \tr(BA)\). Deux matrices semblables ont la même trace.
  • Trace d'un endomorphisme.

• Révisions

  • Calculer rapidement le rang d'une matrice \(3 \times 3\).
  • Énoncer le théorème du rang.
  • A partir des coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur, donner une équation de la droite ainsi définie.

• Questions de cours

  • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a + b) = f(a)f(b)\).
  • Montrer que \(\tr(AB) = \tr(BA)\) pour deux matrices carrées \(A, B\).
  • Montrer que deux matrices semblables ont la même trace, en déduire la définition de la trace d'un endomorphisme.

• Séries numériques

  • Notion de série (définie comme suite des sommes partielles) , convergence, somme d'une série.
  • Différence de notation entre : série, somme d'une série, somme partielle.
  • Divergence grossière, linéarité de la somme des séries convergentes.
  • Séries de références : géométriques et Riemann, série exponentielle.
  • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.
  • Règle de d'Alembert pour les séries à termes strictement positifs.
  • Convergence absolue : elle entraîne la convergence.
  • Produit de Cauchy de deux séries convergentes.

• Matrices

  • Révisions sur le produit matriciel, les matrices inversibles.

• Révisions

  • Préciser les tailles des matrices \(A, B\) pour pouvoir calculer \(A \times B\) dans le cas général, et donner le coefficient \(c_{i,j}\) d'indices \(i, j\) de \(C = AB\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\).
  • Calculer rapidement le rang d'une matrice \(3 \times 3\).
  • Énoncer le théorème du rang.

• Questions de cours

  • Pour \(q \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et donner la valeur de la somme en cas de convergence.
  • Pour \(\alpha > 1\), la série \(\sum\limits_{n \ge 1} {\inv{n^{\alpha}}}\) converge.
  • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a + b) = f(a)f(b)\).

• Révisions sur les comparaisons

  • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
  • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
  • Croissances comparées.
  • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
  • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
  • Croissances comparées sur les suites.

• Séries numériques

  • Notion de série (définie comme suite des sommes partielles) , convergence, somme d'une série.
  • Différence de notation entre : série, somme d'une série, somme partielle.
  • Divergence grossière, linéarité de la somme des séries convergentes.
  • Séries de références : géométriques et Riemann, série exponentielle.
  • Séries à termes positifs : comparaison pour prouver la convergence ou la divergence.

• Révisions

  • Formule de Taylor avec reste intégral.
  • Énoncé du théorème des suites adjacentes.
  • Préciser les tailles des matrices \(A, B\) pour pouvoir calculer \(A \times B\) dans le cas général, et donner le coefficient \(c_{i,j}\) d'indices \(i, j\) de \(C = AB\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\).

• Questions de cours

  • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
  • Pour \(q \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et donner la valeur de la somme en cas de convergence.
  • Pour \(\alpha > 1\), la série \(\sum\limits_{n \ge 1} {\inv{n^{\alpha}}}\) converge.

• Révisions sur les comparaisons

  • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
  • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
  • Croissances comparées.
  • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
  • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
  • Croissances comparées sur les suites.

• Révisions

  • Formule de Taylor avec reste intégrale.
  • Définition de suites adjacentes.
  • Énoncé du théorème des suites adjacentes.

• Questions de cours

  • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
  • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
  • Citer 4 développements limités parmi les développements usuels, sous forme de \(\Sigma\) et sous forme \(+ \dots +\) (avec au moins 3 termes avant les \(\dots\))