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• Espaces euclidiens et préhilbertiens

  • Définition de \(\phi : E \times E \to \R\) est un produit scalaire, exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b], \R), \R[X]\).
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, formule dans une base orthonormée, symétrie orthogonale.
  • En dimension finie, \(f\) est une symétrie orthogonale ssi sa matrice dans une base orthonormée est symétrique et orthogonale.
  • Isométries du plan, caractérisation par le déterminant.
  • Isométries de l'espace : matrice réduite de rotation, étude d'une rotation donnée par une matrice.

• Surfaces

  • Modes de définition d'une surface : paramétrage et équation cartésienne. Notion de point régulier et plan tangent en un point régulier pour chaque mode de définition. Passer d'un mode à l'autre.
  • Exemples de courbes tracées sur un surface.
  • Section d'une surface par un plan.
  • Définition de surface réglée et de surface de révolution. Obtenir un paramétrage à partir de la définition. On se contente de révolution autour d'un axe de coordonnées.

• Questions de cours

  1. \(\phi : (A, B) \mapsto \tr(\T{A}B)\) est un produit scalaire sur \(\M_n(\R)\).
  2. Si \(F\) est un sous-espace de \(E\) de dimension finie, alors \(F \oplus F^{\perp} = E\).
  3. Obtenir un paramétrage et une équation de la surface de révolution de \(\D = \col{1}{0}{0} + \Vect\col{1}{2}{-2}\) autour de \((Oz)\).

• Fonctions de plusieurs variables

  • Points critiques sur un ouvert, calcul de la matrice hessiene de fonctions de deux variables pour déterminer la nature du point.

• Équations différentielles

  • Révisions de 1ère années : équations linéaires d’ordre 1, d’ordre 2 à coefficients constants.
  • Équations d’ordre 2 à coefficients non constant : forme des solutions (et nature de l’ensemble des solutions de l’équation l’homogène). Recherche d’une deuxième solution de l’équation homogène par variation de la constante.
  • Exemples de recherche de solutions DSE (révisions).

• Espaces euclidiens et préhilbertiens

  • Définition de \(\phi : E \times E \to \R\) est un produit scalaire, exemples dans \(\R^n, \M_n(\R), \Co([a, b], \R), \R[X]\).
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, formule dans une base orthonormée, symétrie orthogonale.
  • En dimension finie, \(f\) est une symétrie orthogonale ssi sa matrice dans une base orthonormée est symétrique et orthogonale.

• Questions de cours

  1. Un exemple pratique de variation de la constante à l’ordre 1, ou à l’ordre 2 avec une première fonction solution fournie.
  2. \(\phi : (A, B) \mapsto \tr(\T{A}B)\) est un produit scalaire sur \(\M_n(\R)\).
  3. Si \(F\) est un sous-espace de \(E\) de dimension finie, alors \(F \oplus F^{\perp} = E\).

• Fonctions de plusieurs variables

  • Notion intuitive d’ouvert et de fermé (définition par des inégalité stricte ou large).
  • Fonction continue (pas d’étude de continuité en un point), continue sur un fermé borné.
  • Dérivées partielles, gradient.
  • Plan tangent à une surface représentative d’une fonction \(\Co^1\).
  • Dérivée composée pour les fonctions de plusieurs variables (changement de variable).
  • Points critiques sur un ouvert, calcul de la matrice hessiene de fonctions de deux variables pour déterminer la nature du point.

• Équations différentielles

  • Révisions de 1ère années : équations linéaires d’ordre 1, d’ordre 2 à coefficients constants.
  • Équations d’ordre 2 à coefficients non constant : forme des solutions (et nature de l’ensemble des solutions de l’équation l’homogène). Recherche d’une deuxième solution de l’équation homogène par variation de la constante.
  • Exemples de recherche de solutions DSE (révisions).

• Révisions

  • Géométrie du plan : représentations des droites (vectorielles ou affines), utilisation de \(\det\) et du produit scalaire.
  • Géométrie de l’espace : représentations des plans, des droites, utilisation de \(\det\), des produits scalaire et vectoriel.

• Questions de cours

  1. Rappeler la formule donnant une équation du plan tangent en un point, et application pratique à une surface représentative en un point donné.
  2. Pour \(f\) de classe \(\Co^1\) sur \(\R^2\), calculer les dérivées partielles de \(\phi : (r, \theta) \mapsto f(r \cos(\theta), r\sin \theta)\).
  3. Un exemple pratique de variation de la constante à l’ordre 1, ou à l’ordre 2 avec une première fonction solution fournie.

• Métrique des courbes paramétrées

  • Révisions sur les courbes paramétrées : tangentes, normale.
  • Longueur d’une courbe \(\Co^1\) entre deux paramètres donnés.
  • Repère de Frenet en tout point d’une courbe régulière.
  • Courbe définie par la formule de Frenet.
  • Lien théorique entre la courbure et la détermination angulaire, interprétation de la courbure.
  • Rayon et cercle de courbure.
  • Enveloppe d’une famille de droites.
  • Développée en tant qu’enveloppe des normales.

• Fonctions de plusieurs variables

  • Notion intuitive d’ouvert et de fermé (définition par des inégalité stricte ou large).
  • Fonction continue (pas d’étude de continuité en un point), continue sur un fermé borné.
  • Dérivées partielles, gradient.
  • Plan tangent à une surface représentative d’une fonction \(\Co^1\).
  • Dérivée composée pour les fonctions de plusieurs variables (changement de variable).

• Révisions

  • Géométrie du plan : représentations des droites (vectorielles ou affines), utilisation de \(\det\) et du produit scalaire.
  • Géométrie de l’espace : représentations des plans, des droites, utilisation de \(\det\), des produits scalaire et vectoriel.

• Questions de cours

  1. Pour une famille de droite chacune paramétrée sous la forme \(\D_t = A(t) + \Vect(\vu(t))\), donner la méthode de calcul de l’enveloppe.
  2. Rappeler la formule donnant une équation du plan tangent en un point, et application pratique à une surface représentative en un point donné.
  3. Pour \(f\) de classe \(\Co^1\) sur \(\R^2\), calculer les dérivées partielles de \(\phi : (r, \theta) \mapsto f(r \cos(\theta), r\sin \theta)\).

• Théorème spectral

  • Matrice orthogonale : définition, les colonnes et les lignes forment des bases orthonormées.
  • Théorème spectral.
  • Procédé de Gram-Schmidt
  • Réduction d'équation de conique

• Métrique des courbes paramétrées

  • Révisions sur les courbes paramétrées : tangentes, normale.
  • Longueur d’une courbe \(\Co^1\) entre deux paramètres donnés.
  • Repère de Frenet en tout point d’une courbe régulière.
  • Courbe définie par la formule de Frenet.
  • Lien théorique entre la courbure et la détermination angulaire, interprétation de la courbure.
  • Rayon et cercle de courbure.
  • Enveloppe d’une famille de droites.
  • Développée en tant qu’enveloppe des normales.

• Révisions

  • Géométrie du plan : représentations des droites (vectorielles ou affines), utilisation de \(\det\) et du produit scalaire.
  • Géométrie de l’espace : représentations des plans, des droites, utilisation de \(\det\), des produits scalaire et vectoriel.

• Questions de cours

  1. Pour \(A \in S_n(\R)\), si \(E_1, E_2\) sont deux espaces propres associées à deux valeurs propres réelles distinctes, alors \(E_1 \perp E_2\) (en re-prouvant la formule sur \(\scal{AX_1}{X_2}{}\)).
  2. Tracé des 3 coniques d'équations \(x^2 \pm \frac{y^2}{4} = 1\) et \(y^2 = 2x\) en précisant l'axe focal à chaque fois.
  3. Pour une famille de droite chacune paramétrée sous la forme \(\D_t = A(t) + \Vect(\vu(t))\), donner la méthode de calcul de l’enveloppe.

• Théorème spectral

  • Famille orthonormée dans \(\R^n\) pour le produit scalaire canonique.
  • Norme, distance entre deux vecteurs, inégalités de Caychy-Schwartz et triangulaire.
  • Famille orthogonale : liberté dans le cas où aucun vecteur n'est nul. Théorème de Pythagore dans \(\R^n\).
  • Coordonnées dans une base orthonormée : se calculent par produit scalaire.
  • Vecteur orthogonale à un espace. Espaces orthogonaux.
  • Orthogonal d'un sous-espace \(F\) : c'est le seul supplémentaire de \(F\) qui lui soit orthogonal.
  • Projection et symétrie orthogonales.
  • Matrice orthogonale : définition, les colonnes et les lignes forment des bases orthonormées.
  • Théorème spectral.
  • Procédé de Gram-Schmidt
  • Réduction d'équation de conique

• Métrique des courbes paramétrées

  • Révisions sur les courbes paramétrées : tangentes, normale.

• Questions de cours

  1. Donner la définition de \(B = (e_1, \dots, e_n)\) est une famille orthonormée de \(\R^n\), montrer alors que c'est une base puis prouver que si \(u \in \R^n\) est de coordonnées \(\col{x_1}{\vdots}{x_n}\) dans \(B\), alors \(x_i = \scal{u}{e_i}{}\).
  2. Pour \(A \in S_n(\R)\), si \(E_1, E_2\) sont deux espaces propres associées à deux valeurs propres réelles distinctes, alors \(E_1 \perp E_2\) (en re-prouvant la formule sur \(\scal{AX_1}{X_2}{}\)).
  3. Tracé des 3 coniques d'équations \(x^2 \pm \frac{y^2}{4} = 1\) et \(y^2 = 2x\) en précisant l'axe focal à chaque fois.

• Intégrales généralisées

  • Convergence absolue, intégrabilité.
  • Comparaison des fonctions positives, application à la preuve d'intégrabilité.
  • Théorème d'intégration terme à terme : si \(S = \sum{f_n}\) est une fonction continue sur \(I\), que les \(f_n\) sont continues et intégrables sur \(I\) et que \(\sum{\dint{I}{}{|f_n|}}\) converge, alors \(S\) est intégrable sur \(I\) et on peut échanger les symboles \(\int\) et \(\sum\) pour calculer l'intégrale de \(S\).

• Théorème spectral

  • Famille orthonormée dans \(\R^n\) pour le produit scalaire canonique.
  • Norme, distance entre deux vecteurs, inégalités de Caychy-Schwartz et triangulaire.
  • Famille orthogonale : liberté dans le cas où aucun vecteur n'est nul. Théorème de Pythagore dans \(\R^n\).
  • Coordonnées dans une base orthonormée : se calculent par produit scalaire.
  • Vecteur orthogonale à un espace. Espaces orthogonaux.
  • Orthogonal d'un sous-espace \(F\) : c'est le seul supplémentaire de \(F\) qui lui soit orthogonal.
  • Projection et symétrie orthogonales.
  • Matrice orthogonale : définition, les colonnes et les lignes forment des bases orthonormées.

• Questions de cours

  1. Donner une condition sur \(\beta \in \R\) pour que \(\Gamma(\beta) = \dint{0}{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\) converge.
  2. Montrer que pour \(x > 0\), \(\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)\) et retrouver les valeurs de \(\Gamma(n)\) pour \(n\in \N\prive{0}\).
  3. Donner la définition de \(B = (e_1, \dots, e_n)\) est une famille orthonormée de \(\R^n\), montrer alors que c'est une base pui prouver que si \(u \in \R^n\) est de coordonnées \(\col{x_1}{\vdots}{x_n}\) dans \(B\), alors \(x_i = \scal{u}{e_i}{}\).

• Intégrales généralisées

  • Intégrales sur \([a, +\infty[\) : convergence (en \(+\infty\)), intégrales de Riemann, d'exponentielles.
  • Intégrales sur un intervalle quelconque : définition de la convergence, propriétés des intégrales convergentes (Chasles, linéarité, positivité, croissance).
  • Intégrales de référence : Riemann en 0, \(\ln\) en 0.
  • Convergence par prolongement par continuité.
  • Changement de variable : les changements bijectifs et \(\Co^1\) (hypothèses à ne pas vérifier pour les changements de variables usuels, d'après le nouveau programme) conservent la nature.
  • Rappel sur l'intégration par parties, application à la convergence (en pratique on ne vérifie pas explicitement la classe \(\Co^1\)).
  • Convergence absolue, intégrabilité.
  • Comparaison des fonctions positives, application à la preuve d'intégrabilité.
  • Théorème d'intégration terme à terme : si \(S = \sum{f_n}\) est une fonction continue sur \(I\), que les \(f_n\) sont continues et intégrables sur \(I\) et que \(\sum{\dint{I}{}{|f_n|}}\) converge, alors \(S\) est intégrable sur \(I\) et on peut échanger les symboles \(\int\) et \(\sum\) pour calculer l'intégrale de \(S\).

• Théorème spectral

  • Famille orthonormée dans \(\R^n\) pour les produit scalaire canonique.

• Questions de cours

  1. \(\dint{1}{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha > 1\).
  2. Donner une condition sur \(\beta \in \R\) pour que \(\Gamma(\beta) = \dint{0}{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\) converge.
  3. Montrer que pour \(x > 0\), \(\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)\) et retrouver les valeurs de \(\Gamma(n)\) pour \(n\in \N\prive{0}\).

• Probabilités

  • Adaptation des propriétés de première année au cadre des familles dénombrables d'événements
  • Variables aléatoires discrètes : système complet des événements de la forme \((X = x_n)\).
  • Variables usuelles : loi géométrique et loi de Poisson.
  • Interprétation de la loi géométrique en tant que loi du rang du premier succès dans la répétition indépendante d'expériences de Bernoulli.
  • Loi conjointe et lois marginales.
  • Espérance d'une variable discrète, théorème de transfert. Variance.
  • Fonction de répartition
  • Fonction génératrice. Somme de deux variables indépendantes. Lien avec l'espérance et la variance
  • Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

• Intégrales généralisées

  • Intégrales sur \([a, +\infty[\) : convergence (en \(+\infty\)), intégrales de Riemann, d'exponentielles.
  • Intégrales sur un intervalle quelconque : définition de la convergence, propriétés des intégrales convergentes (Chasles, linéarité, positivité, croissance).
  • Intégrales de référence : Riemann en 0, \(\ln\) en 0.
  • Convergence par prolongement par continuité.
  • Changement de variable : les changements bijectifs et \(\Co^1\) (hypothèses à ne pas vérifier pour les changements de variables usuels, d'après le nouveau programme) conservent la nature.
  • Rappel sur l'intégration par parties, application à la convergence (en pratique on ne vérifie pas explicitement la classe \(\Co^1\)).

• Questions de cours

  1. Calcul de l'espérance d'une loi géométrique.
  2. \(\dint{1}{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) converge ssi \(\alpha > 1\).
  3. \(\dint{0}{1}{\frac{t - 1}{\ln(t)}\d t}\) est convergente.

• Probabilités, révisions

  • Révision de première année sur les variables aléatoires
  • Interprétation de la loi binomiale.

• Probabilités

  • Adaptation des propriétés de première année au cadre des familles dénombrables d'événements
  • Variables aléatoires discrètes : système complet des événements de la forme \((X = x_n)\).
  • Variables usuelles : loi géométrique et loi de Poisson.
  • Interprétation de la loi géométrique en tant que loi du rang du premier succès dans la répétition indépendante d'expériences de Bernoulli.
  • Loi conjointe et lois marginales.
  • Espérance d'une variable discrète, théorème de transfert. Variance.
  • Fonction de répartition
  • Fonction génératrice. Somme de deux variables indépendantes. Lien avec l'espérance et la variance
  • Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

• Questions de cours

  1. Soit \(p \in ]0, 1[\) et \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\). Montrer que pour \(n, k > 0\) on a \(\Prob(X> n + k | X > n) = \Prob(X > k)\).
  2. Pour \(X, Y\) suivant des lois de Poisson, indépendantes, donner la loi de \(Z = X + Y\).
  3. Calcul de l'espérance d'une loi géométrique.

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Des espaces propres sont en somme directe. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme : définition
  • Diagonalisabilité, base de vecteurs propres. Traduction sur les matrices.
  • Un endomorphisme est diagonalisable ssi la somme directe de ses espaces propres est \(E\) ssi son polynôme caractéristique est scindé et chaque espace propre a pour dimension la multiplicité de la racine correspondante.
  • Polynôme caractéristique scindé à racines simples.
  • Applications de la réduction : calcul de puissances, suites récurrentes linéaires.
  • Trigonalisation : condition théorique de trigonalisabilité (\(\chi\) est scindé). Aucune méthode pratique n'est au programme.

• Probabilités, révisions

  • Révision de première année sur les variables aléatoires
  • Interprétation de la loi binomiale.

• Probabilités

  • Adaptation des propriétés de première année au cadre des familles dénombrables d'événements
  • Variables aléatoires discrètes : système complet des événements de la forme \((X = x_n)\).
  • Variables usuelles : loi géométrique et loi de Poisson.
  • Interprétation de la loi géométrique en tant que loi du rang du premier succès dans la répétition indépendante d'expériences de Bernoulli.
  • Loi conjointe et lois marginales.
  • Espérance d'une variable discrète, théorème de transfert. Variance.

• Questions de cours

  1. Loi binomiale : interprétation, donner la loi, donner un exemple d'une variable suivant cette loi.
  2. Soit \(p \in ]0, 1[\) et \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\). Montrer que pour \(n, k > 0\) on a \(\Prob(X> n + k | X > n) = \Prob(X > k)\).
  3. Pour \(X, Y\) suivant des lois de Poisson, indépendantes, donner la loi de \(Z = X + Y\).

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Des espaces propres sont en somme directe. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme : définition
  • Diagonalisabilité, base de vecteurs propres. Traduction sur les matrices.
  • Un endomorphisme est diagonalisable ssi la somme directe de ses espaces propres est \(E\) ssi son polynôme caractéristique est scindé et chaque espace propre a pour dimension la multiplicité de la racine correspondante.
  • Polynôme caractéristique scindé à racines simples.
  • Applications de la réduction : calcul de puissances, suites récurrentes linéaires.
  • Trigonalisation : condition théorique de trigonalisabilité (\(\chi\) est scindé). Aucune méthode pratique n'est au programme.

• Probabilités, révisions

  • Révision de première année sur les variables aléatoires

• Questions de cours

  1. \(f \in \Li(E)\) est diagonalisable ssi il existe une base de \(E\) composée de vecteurs propres.
  2. Pour une matrice \(A \in \M_n(\K)\), en notant \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) les racines dans \(\C\) de \(\chi_A\) (non nécessairement distinctes), on a \(\tr(A) = \sum_{k = 1}^n{\lambda_k}\) et \(\det(A) = \prod_{k = 1}^n{\lambda_k}\).
  3. Loi binomiale : interprétation, donner la loi, donner un exemple d'une variable suivant cette loi.

• Séries entières

  • Recherche de solutions DSE d'une équation différentielle.

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Des espaces propres sont en somme directe. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme : définition
  • Diagonalisabilité, base de vecteurs propres. Traduction sur les matrices.
  • Un endomorphisme est diagonalisable ssi la somme directe de ses espaces propres est \(E\) ssi son polynôme caractéristique est scindé et chaque espace propre a pour dimension la multiplicité de la racine correspondante.
  • Polynôme caractéristique scindé à racines simples.
  • Applications de la réduction : calcul de puissances, suites récurrentes linéaires.

• Questions de cours

  1. Pour \(A \in \M_n(\K)\) et \(\lambda \in \K\) : \(\lambda \in Sp(A) \iff \chi_A(\lambda) = 0\).
  2. \(f \in \Li(E)\) est diagonalisable ssi il existe une base de \(E\) composée de vecteurs propres.
  3. Pour une matrice \(A \in \M_n(\K)\), en notant \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) les racines dans \(\C\) de \(\chi_A\) (non nécessairement distinctes), on a \(\tr(A) = \sum_{k = 1}^n{\lambda_k}\) et \(\det(A) = \prod_{k = 1}^n{\lambda_k}\)

• Séries entières

  • Séries géométriques et exponentielle : domaine de convergence et somme.
  • Rayon de convergence d'une série. Lien avec le domaine de convergence : convergence absolue et divergence grossière.
  • Calcul du rayon par opération, application de d'Alembert (y compris \(\lim\limits_{n \to + \infty}{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) lorsque c'est applicable).
  • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité sur le domaine de convergence (y compris aux bornes fermées), intégration et dérivation terme à terme sur l'intervalle ouvert de convergence.
  • Développements usuels et fonctions développables.

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Des espaces propres sont en somme directe. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme : définition.

• Questions de cours

  1. Dans le cas où \(a_n\ne 0\) pour tout \(n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty}{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}} = \ell \in ]0, +\infty[\), montrer que le rayon de convergence de \(\sum{a_nz^n}\) vaut \(\inv{\ell}\).
  2. Établir le développement en série entière de \(\arctan\) en précisant bien le domaine de validité des calculs.
  3. Pour \(A \in \M_n(\K)\) et \(\lambda \in \K\) : \(\lambda \in Sp(A) \iff \chi_A(\lambda) = 0\).

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Somme directe d'espaces : caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul, théorème de la base adaptée.
  • Espaces stables par un endomorphisme, traduction matricielle.
  • Equation d'un hyperplan dans une base. Système d'équations d'un sous-espace ; lien entre le rang du système et la dimension de l'espace.

• Séries entières

  • Séries géométriques et exponentielle : domaine de convergence et somme.
  • Rayon de convergence d'une série. Lien avec le domaine de convergence : convergence absolue et divergence grossière.
  • Calcul du rayon par opération, application de d'Alembert (y compris \(\lim\limits_{n \to + \infty}{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) lorsque c'est applicable).
  • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité sur le domaine de convergence (y compris aux bornes fermées), intégration et dérivation terme à terme sur l'intervalle ouvert de convergence.
  • Développements usuels

• Questions de cours

  1. Lemme d'Abel.
  2. Dans le cas où \(a_n\ne 0\) pour tout \(n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty}{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}} = \ell \in ]0, +\infty[\), montrer que le rayon de convergence de \(\sum{a_nz^n}\) vaut \(\inv{\ell}\).
  3. Établir le développement en série entière de \(\arctan\) en précisant bien le domaine de validité des calculs.

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Espaces produits : définition et dimension du produit cartésien d'espaces de dimensions finies.
  • Rappels sur les supplémentaires, utilisation de la dimension pour caractériser les supplémentaires non triviaux de \(\R^2 \et \R^3\).
  • Théorème de la base adaptée.
  • Projection et symétrie.
  • Somme directe d'espaces : caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul, théorème de la base adaptée.
  • Espaces stables par un endomorphisme, traduction matricielle.
  • Equation d'un hyperplan dans une base. Système d'équations d'un sous-espace ; lien entre le rang du système et la dimension de l'espace.

• Séries entières

  • Séries géométriques et exponentielle : domaine de convergence et somme.

• Révisions

  • Domaine de convergence et sommes des séries géométriques et exponentielles.
  • Établir une équation de droite ou de plan connaissant un point et une base.
  • Citer un DL usuel

• Questions de cours

  1. Établir l'équation d'une conique dans le repère focal.
  2. Justifier que \(S_n(\K) \oplus A_n(\K) = \M_n(\K)\) par une méthode au choix.
  3. Lemme d'Abel.

• Vendredi 11/11 férié

  • Penser à contacter vos colleurs.

• Coniques et courbes

  • Définition monofocale des coniques.
  • Équations réduites, dans un repère à préciser. Les formules usuelles (liant a, b, c, e, p) doivent être redonnée dans l'énoncé si besoin d'après le programme.
  • Savoir, à partir d'une équation réduite, faire un schéma faisant apparaître sommet(s) et foyer(s).
  • Courbes définies pas une équation implicite : calcul pratique du gradient (aucune théorie à ce stade), points réguliers, tangentes en ces points.
  • Tangentes des ellipses et hyperboles.
  • Courbes paramétrées dans le plan : recherche des éventuelles symétries, tangente en un point régulier.
  • Étude locale : point de rebroussement, point d'inflexion.
  • Branches infinies : asymptotes (y compris oblique), branches paraboliques d'axe \((Ox), (Oy)\) ou oblique.

• Compléments sur les espaces vectoriels

  • Espaces produits : définition et dimension du produit cartésien d'espaces de dimensions finies.
  • Rappels sur les supplémentaires, utilisation de la dimension pour caractériser les supplémentaires non triviaux de \(\R^2 \et \R^3\).
  • Théorème de la base adaptée.
  • Projection et symétrie.
  • Somme directe d'espaces : caractérisation par l'unicité de l'écriture du vecteur nul, théorème de la base adaptée.

• Révisions

  • Domaine de convergence et sommes des séries géométriques et exponentielles.
  • Établir une équation de droite ou de plan connaissant un point et une base.
  • Citer un DL usuel

• Questions de cours

  1. Etude de la courbe \(t \mapsto \col{a \cos t}{b \sin t}{}\) où \(a > b > 0\).
  2. Établir l'équation d'une conique dans le repère focal.
  3. Justifier que \(S_n(\K) \oplus A_n(\K) = \M_n(\K)\) par une méthode au choix.

• Matrices carrées

  • Déterminant d'une matrice carrée : opération élémentaire sur les colonnes (ou lignes), déterminant triangulaire.
  • Déterminant et inversibilité.
  • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
  • Déterminant d'une famille dans une base, d'un endomorphisme.

• Coniques et courbes

  • Définition monofocale des coniques.
  • Équations réduites, dans un repère à préciser. Les formules usuelles (liant a, b, c, e, p) doivent être redonnée dans l'énoncé si besoin d'après le programme.
  • Savoir, à partir d'une équation réduite, faire un schéma faisant apparaître sommet(s) et foyer(s).
  • Courbes définies pas une équation implicite : calcul pratique du gradient (aucune théorie à ce stade), points réguliers, tangentes en ces points.
  • Courbes paramétrées dans le plan : recherche des éventuelles symétries, tangente en un point régulier.
  • Étude locale : point de rebroussement, point d'inflexion.
  • Branches infinies : asymptotes (y compris oblique), branches paraboliques d'axe \((Ox), (Oy)\) ou oblique.

• Révisions

  • Calcul pratique du rang d'une matrice.
  • Savoir donner sur un exemple numérique un vecteur directeur et un vecteur normal d'une droite du plan donnée par son équation.
  • Domaine de convergence et sommes des séries géométriques et exponentielles.

• Questions de cours

  1. Pour un projecteur \(p\) en dimension finie, on a \(\tr(p) = \rg(p)\).
  2. Calcul du déterminant carré de taille \(n \ge 1\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
  3. Etude de la courbe \(t \mapsto \col{a \cos t}{b \sin t}{}\) où \(a > b > 0\).

• Algèbre linéaire de 1ère année

  • Opérations sur les matrices, matrices inversibles.
  • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre l'inversibilité et les propriétés de l'objet représenté.
  • Changement de base

• Matrices carrées

  • Définition de la trace d'une matrice, trace d'un produit.
  • Trace d'un endomorphisme.
  • Déterminant d'une matrice carrée : opération élémentaire sur les colonnes (ou lignes), déterminant triangulaire.
  • Déterminant et inversibilité.
  • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
  • Déterminant d'une famille dans une base, d'un endomorphisme.

• Coniques et courbes

  • Définition monofocale des coniques.
  • Équations réduites, dans un repère à préciser.

• Révisions

  • Calcul pratique du rang d'une matrice.
  • Savoir donner sur un exemple numérique un vecteur directeur et un vecteur normal d'une droite du plan donnée par son équation.
  • Domaine de convergence et sommes des séries géométriques et exponentielles.

• Questions de cours

  1. Pour \(A \in \M_{n, p}(\K) \et B \in \M_{p, n}(\K)\) montrer que \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
  2. Pour un projecteur \(p\) en dimension finie on a \(\tr(p) = \rg(p)\).
  3. Calcul du déterminant carré de taille \(n \ge 1\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)

• Séries numériques

  • Convergence absolue.
  • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergente.

• Algèbre linéaire de 1ère année

  • Opérations sur les matrices, matrices inversibles.
  • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre l'inversibilité et les propriétés de l'objet représenté.
  • Changement de base

• Matrices carrées

  • Définition de la trace d'une matrice, trace d'un produit.
  • Trace d'un endomorphisme.
  • Déterminant d'une matrice carrée : opération élémentaire sur les colonnes (ou lignes), déterminant triangulaire.

• Révisions

  • Énoncer le théorème du rang pour une matrice.
  • Énoncer le théorème du rang pour une application linéaire.
  • Savoir donner sur un exemple numérique un vecteur directeur et un vecteur normal d'une droite du plan donnée par son équation

• Questions de cours

  1. Montrer que la série \(\sum{\frac{z^n}{n!}}\) converge pour tout \(z \in \C\).
  2. Si on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}}\), alors pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
  3. Pour \(A \in \M_{n, p}(\K) \et B \in \M_{p, n}(\K)\) montrer que \(\tr(AB) = \tr(BA)\).

• Séries numériques

  • Définition, sommes partielles, nature d'une série
  • Séries de référence : Riemann, géométrique, exponentielle.
  • Séries alternée : condition suffisante de convergence, encadrement de la somme.
  • Séries à termes positifs : théorème de comparaison (inégalité, grand et petit O, équivalence). Application à la divergence.
  • Convergence absolue.
  • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergente.

• Algèbre linéaire de 1ère année

  • Opérations sur les matrices, matrices inversibles.
  • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre l'inversibilité et les propriétés de l'objet représenté.
  • Changement de base

• Révisions

  • Énoncer le théorème du rang pour une matrice.
  • Énoncer le théorème du rang pour une application linéaire.
  • Savoir donner sur un exemple numérique un vecteur directeur et un vecteur normal d'une droite du plan donnée par son équation

• Questions de cours

  1. Encadrement des sommes partielles de \(\sum{\inv{n^{\alpha}}}\) dans le cas \(\alpha \ne 1\). Prouver la divergence dans le cas \(\alpha < 1\).
  2. Montrer que la série \(\sum{\frac{z^n}{n!}}\) converge pour tout \(z \in \C\).
  3. Si on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}}\), alors pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

• Révisions sur les comparaisons

  • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
  • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
  • Croissances comparées.
  • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
  • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
  • Croissances comparées sur les suites.

• Séries numériques

  • Définition, sommes partielles, nature d'une série
  • Séries de référence : Riemann, géométrique, exponentielle.
  • Séries alternée : condition suffisante de convergence, encadrement de la somme.
  • Séries à termes positifs : théorème de comparaison (inégalité, grand et petit O, équivalence). Application à la divergence.

• Révisions

  • Inégalité de Taylor-Lagrange.
  • Définition de suites adjacentes.
  • Énoncé du théorème des suites adjacentes.

• Questions de cours

  1. Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
  2. \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
  3. Encadrement des sommes partielles de \(\sum{\inv{n^{\alpha}}}\) dans le cas \(\alpha \ne 1\). Prouver la divergence dans le cas \(\alpha < 1\).

• Révisions sur les comparaisons

  • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
  • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
  • Croissances comparées.
  • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
  • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
  • Croissances comparées sur les suites.

• Révisions

  • Inégalité de Taylor-Lagrange.
  • Définition de suites adjacentes.
  • Énoncé du théorème des suites adjacentes.

• Questions de cours

  1. Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
  2. \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
  3. Citer 4 développements limités parmi les développements usuels, sous forme de \(\Sigma\) et sous forme \(+ \dots +\) (avec au moins 3 termes avant les \(\dots\))