Matrices carrées

Dans ce chapitre

K

désigne

R ou C

n

un entier naturel non nul.

I Opérations

I.1 Produit, puissances

I.1.1 Proposition (Opérations sur les matrices)

Les règles de calculs sur les sommes de matrices sont les mêmes que pour les nombres, en prenant garde à sommer des matrices de même taille.
Si $A \in M_{n, p} (K) et B \in M_{p, r} (K)$ (remarquer le même $p$ pour le nombre de colonnes de $A$ et de ligne de $B$ ), alors la matrice produit est $C = A B \in M_{n, r} (K)$ et le coefficient d'indices $i, j$ de $C$ est (notations évidentes pour les coefficients)
$c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{p} a_{i, k} b_{k, j}$
On peut tout à fait retrouver cette formule en posant le produit matriciel.
Avec les mêmes notations, et en posant $λ \in K$ , on a $λ (A B) = (λ A) B = A (λ B)$ et on peut noter $λ A B$ .
Même pour des matrices carrées pour lesquelles $A B et B A$ existent (parfois le produit n'est possible que dans un sens, par exemple une matrice carrée multipliée par une colonne) on a en général $A B \neq B A$ .
Si on peut calculer ce produit matriciel, alors $(A B) C = A (B C)$ et on peut noter $A B C$ .

I.1.2 Notation

Pour

A \in M_{n} (K)

une matrice carrée on note

A^{0} = I_{n}

A^{p} = A \times \dots \times A

(p fois).

I.1.3 Exemple

Factoriser

A^{2} + A - 2 I_{n}

I.1.4 Exemple

On suppose qu'une matrice carrée

A

vérifie

A^{2} + A - 2 I_{n} = 0

. Calculer le reste de la division euclidienne de

X^{k}

par

X^{2} + X - 2

pour

k \in N

et en déduire une expression de

A^{k}

I.1.5 Proposition (Théorème du binôme, version matrices)

Soit

n \in N, A, B \in M_{p} (K)

. Si

A B = B A

alors

(A + B)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) A^{k} B^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) A^{n - k} B^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{n - k}) A^{k} B^{n - k}

I.1.6 Exemple

Calculer toutes les puissances de

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & \dots & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & \dots & \dots & 2 & 1 \\ 1 & \dots & \dots & 1 & 2 \end{matrix}) \in M_{p} (R)

.
Notons

J \in M_{p} (R)

la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Une récurrence facile montre que

\forall n \in N ∖ {0} J^{n} = p^{n - 1} J

. et de plus

J^{0} = I_{p}

.
Alors

A = J + I_{p}

et comme

J I_{p} = I_{p} J

on a, pour

n \in N

A^{n} = (J + I_{p})^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) J^{k} I_{p}^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) J^{k}

Pour

n \geq 1

, on a alors

A^{n} = 1 \times I_{p} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) p^{k - 1} J = I_{p} + (\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) p^{k} p^{- 1}) J

et finalement

A^{n} = I_{p} + \frac{1}{p} ((p + 1)^{n} - 1) J

Remarquons que cette formule d'applique aussi pour

n = 0

I.1.7 Proposition

Soit

n \in N, A, B \in M_{p} (K)

. Si

A B = B A

alors

A^{n} - B^{n} = (A - B) \sum_{k = 0}^{n - 1} A^{k} B^{n - 1 - k} = (A - B) \sum_{k = 0}^{n - 1} A^{n - 1 - k} B^{k}

I.1.8 Exercice

On suppose que

A \in M_{n} (K)

est nilpotente d'ordre

r > 0

, c'est à dire que

A^{r} = 0

. Montrer que

I_{n} - A

est inversible et calculer son inverse.
exo : donner un exemple d'une telle matrice.

I.1.9 Rappels sur les matrices particulières

Un produit ou une somme de matrices triangulaire (ou diagonale) reste triangulaire.
Si

D = (\begin{matrix} a_{1} & 0 \\ ⋱ \\ 0 & a_{n} \end{matrix})

est une matrice diagonale, alors

D^{k} = (\begin{matrix} a_{1}^{k} & 0 \\ ⋱ \\ 0 & a_{n}^{k} \end{matrix})

pour tout

k \in N

(avec la convention

0^{0} = 1

I.1.10 Définition

Soit

A \in M_{n, p} (K)

. La transposée de

A = (a_{i, j})

est la matrice

^{t} A = (a_{i, j}^{'}) \in M_{p, n}

telle que

\forall i \in ⟦ 1, p ⟧ \forall j \in ⟦ 1, n ⟧ a_{i, j}^{'} = a_{j, i}

.
Ainsi la première ligne (resp. colonne) de

^{t} A

a les coefficients de la premières colonnes (resp. ligne) de

A

, et ainsi de suite. En particulier, la transposée d'une matrice ligne est une matrice colonne, et réciproquement.
On a immédiatement

^{t} (^{t} A) = A

I.1.11 Produit et transposition

Soient

A, B \in M_{n} (K)

^{t} (A B) =^{t} B^{t} A

. En particulier,

\forall k \in N^{t} (A^{k}) = (^{t} A)^{k}

I.1.12 Lignes et colonnes

Soit

L

une matrice ligne de taille

n

C

une matrice ligne de taille

n

. Donner les tailles (et le rang) des matrices

C L et L C

I.1.13 Produit par une colonne

Soit

A \in M_{n, p} (K)

une matrice et

X = (\begin{matrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{p} \end{matrix}) \in M_{p, 1}

une colonne. Calculer puis exprimer en fonction des colonnes de

A

le produit

A X

I.2 Inversibilité

I.2.1 Définition

Une matrice

A \in M_{n} (K)

est dite inversible ssi il existe

B \in M_{n} (K)

telle que

A B = I_{n} = B A .

Dans ce cas on note

B = A^{- 1}

et pas

\frac{1}{A}

. En particulier on ne notera pas de quotients de matrices, mais des produits par l'inverse.
On note

G L_{n} (K)

l'ensemble des matrices carrées de taille n inversibles. Ce n'est pas un espace vectoriel !

I.2.2 Proposition

On dit que

G L_{n} (K)

est un groupe pour

\times

$I_{n} \in G L_{n} (K)$
Le produit de deux matrices $A, B \in G L_{n} (K)$ inversibles est encore inversible et on a $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .
Si $A \in G L_{n} (K)$ alors $A^{- 1}$ est inversible et ${(A^{- 1})}^{- 1} = A$ .

I.2.3 Lien avec la transposition

A \in G L_{n} (K)

alors

^{t} A \in G L_{n} (K)

^{t} (A^{- 1}) = (^{t} A)^{- 1}

donc la relation I.1.11 est valable pour tout

k \in Z

I.2.4 Inverse particulière

Une matrice triangulaire

A

est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

A^{- 1}

est triangulaire de même type et ses coefficients diagonaux sont les inverses de ceux de

A

.
En particulier, la relation I.1.9 est valable pour tout

k \in Z

dès que les

a_{n}

sont tous non nuls.

I.2.5 Définition

Soit

A \in M_{n, p} (K)

Le noyau de $A$ est noté $\ker (A)$ et $\ker (A) = {X \in K^{p} | A X = 0_{K^{n}}}$ . Il s'agit de l'ensemble des solutions du système homogène associé à $A$ .
L'image de $A$ est notée $I m (A)$ et $I m (A) = {Y \in K^{n} | \exists X \in K^{p} Y = A X}$ . On montre facilement que $I m (A) = V e c t (C_{1}, \dots, C_{p})$ où $C_{1}, \dots, C_{p}$ sont les colonnes de $A$ .
L'interprétation en terme de système est : $I m (A)$ est l'ensemble de tous les seconds membres tels que le système de matrice A correspondant est compatible (possède au moins une solution).

Rappel : dans le cas d'un système compatible de matrice

A

(s'il est homogène il l'est forcément), l'ensemble des solutions est de dimension

\dim (\ker (A)) = p - r g (A)

I.2.6 Théorème (Théorème du rang)

Soit

A \in M_{n, p} (K)

. Alors on a

p = \dim (\ker (A)) + r g (A)

Preuve

Il y a deux manières de voir ce résultat

Sur les systèmes. $p$ est le nombre d'inconnues d'un système homogène de matrice $A$ .
Après mise sous forme échelonnée réduite, on distingue deux types d'inconnues : les inconnues principales et les paramètres. On a alors
$\underset{nombre d'inconnues}{\underset{⏟}{p}} = \underset{nombre de paramètres}{\underset{⏟}{\dim (\ker (A))}} + \underset{nombre d'inconnues principales}{\underset{⏟}{r g (A)}}$
Sur les applications linéaires. Notons $f : {\begin{array}{rcl} K^{p} & \to & K^{n} \\ X & \mapsto & A X \end{array}$ l'application linéaire canoniquement associée à $A$ .
Alors $I m (A) = I m (f) et \ker (A) = \ker (f)$ et dans ce cas il s'agit juste du théorème du rang appliqué à $f$ .

I.2.7 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

. Notons

C_{1}, \dots C_{n}

les colonnes de

A

L_{1}, \dots, L_{n}

ses lignes.
On a les équivalences suivantes

$\begin{aligned} A \in G L_{n} (K) & ⟺ A \underset{L}{\sim} I_{n} (équivalente par ligne) ⟺ A \underset{C}{\sim} I_{n} \\ ⟺ (C_{1}, \dots C_{n}) est une base de M_{n, 1} (K) \\ ⟺ (L_{1}, \dots L_{n}) est une base de M_{1, n} (K) \\ ⟺ r g (A) = n ⟺ \ker (A) = {0_{K^{n}}} \\ ⟺ \forall Y \in K^{n} \exists! X \in K^{n} A X = Y \\ ⟺ \exists B \in M_{n} (K) A B = I_{n} \end{aligned}$

I.2.8 Cas $n = 2 ou 3$

On a en plus

A \in G L_{n} (K) ⟺ det (A) \neq 0

I.3 Matrices et bases

I.3.1 Définition

Soit

E

K

-ev de dimension finie égale à

n

B = (e_{1}, \dots, e_{n})

une base de

E

. Soit

(u_{1}, \dots, u_{p}) \in E^{p}

une famille de vecteurs. Pour

i, j \in ⟦ 1, n ⟧ \times ⟦ 1, p ⟧

on note

a_{i j}

la ième coordonnée de

u_{j}

. Alors la matrice

A = (a_{i j})_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p \end{matrix}} \in M_{n, p} (K)

est appelé matrice de la famille

(u_{1}, \dots, u_{p})

dans la base

B

et est noté

{M a t}_{B} (u_{1}, \dots, u_{p})

. C'est la matrice des colonnes des coordonnées des

u_{j}

, et on note les coordonnées en colonne.

I.3.2 Exemple

Rappel :

B = (1, X, X^{2})

est une base de

R_{2} [X]

. Donner la matrice de

(P_{1}, P_{2}, P_{3}) = (X - 1, 2 X^{2} + 3, X^{2} + 2 X + 4)

dans

B

. Est-elle inversible ? Quelle est la signification pour cette famille de polynômes ?

I.3.3 Proposition

Le rang d'une famille est le même que le rang de sa matrice dans une base. En particulier, ce rang ne dépend pas de la base choisie.

I.3.4 Définition

Soient $E, F$ deux $K$ -ev de dimension finie de dimension respectives $p$ et $n$ . On note $B_{E} = (e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $E$ et $B_{F} = (u_{1}, \dots, u_{n})$ une base de $F$ . Soit également $f \in L (E, F)$ . La matrice de $f$ dans $B_{E}$ et $B_{F}$ (noté ${M a t}_{B_{E}, B_{F}} (f)$ ) est la matrice ${M a t}_{B_{F}} (f (e_{1}), \dots, f (e_{p})) \in M_{n, p} (K)$ . C'est la matrice des coordonnées des $f (e_{j})$ dans $u_{1}, \dots, u_{n}$ , écrites en colonnes.
Si $f \in L (E)$ , on note ${M a t}_{B_{E}, B_{E}} (f) = {M a t}_{B_{E}} (f) \in M_{p} (K)$ .

I.3.5 Exemple

On considère l'application linéaire

f : {\begin{array}{rcl} R^{2} & \to & R^{2} \\ (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) & \mapsto & (\begin{array}{c} x + y \\ x + y \end{array}) \end{array}

. Montrer que

B = (\vec{u}, \vec{v}) = ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}))

est une base de

R^{2}

et calculer

{M a t}_{B} (f)

I.3.6 Produit matriciel et évaluation

Avec les notations de la définition. Soient en plus

x \in E et y \in F

. On note

X = {M a t}_{B_{E}} (x) et y = {M a t}_{B_{F}} (y), A = {M a t}_{B_{E}, B_{F}} (f)

y = f (x) ⟺ Y = A X

Multiplier par

A

revient à calculer l'image par

f

(à condition que les bases soient les bonnes).

I.3.7 Exemple

Avec l'exemple précédent, sur les polynômes, poser

f

canoniquement associée et calculer

f (X^{2} - 2 X + 3)

I.3.8 Théorème

Soient

E, F, G

trois

K

-ev de dimensions respectives

q, p, n

et de bases

B_{E}, B_{F}, B_{G}

. Soient

f \in L (E, F) et g \in L (F, G)

. On pose de plus

M_{f} = {M a t}_{B_{E}, B_{F}} (f) \in M_{p, q} (K)

M_{g} = {M a t}_{B_{F}, B_{G}} (g) \in M_{n, p} (K)

. Alors

C = {M a t}_{B_{E}, B_{G}} (g \circ f) = M_{g} M_{f} \in M_{n, q} (K)

Rappel : si

C = A B

c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{p} a_{i k} b_{k j}

I.3.9 Exemple

Toujours avec le même exemple, calculer la matrice dans

B

f^{2} = f \circ f

puis de

f^{k}

I.3.10 Théorème

Soit

f : E \to F

une application linéaires entre ensemble de dimensions finies de bases respectives

B_{E} et B_{F}

f

est un isomorphisme ssi

M_{f} = {M a t}_{B_{E}, B_{F}} (f)

est inversible.
Dans ce cas

{M a t}_{B_{F}, B_{E}} (f^{- 1}) = M_{f}^{- 1}

I.3.11 Définition

Soit

E

K

-ev de dimension finie et

B, B^{'}

deux bases de

E

. On appelle matrice de passage de

B

B^{'}

la matrice

{M a t}_{B} (B^{'})

B^{'}

dans

B

. On exprime la nouvelle base

B^{'}

en fonction de l' ancienne base

I.3.12 Théorème

Soient

E

K

-ev

B, B^{'}

deux bases de

E

. On note

P

la matrice de passage de

B

B^{'}

.
Soit

f \in L (E)

. On pose

M = {M a t}_{B} (f)

M^{'} = {M a t}_{B^{'}} (f)

. Alors

M^{'} = P^{- 1} M P

I.3.13 Exemple

Donner la matrice dans la base canonique de

f^{k}

, toujours pour la même application

f

I.3.14 Définition

Soient

A, B \in M_{n} (K)

. On dit que

A

est semblable à

B

ssi il existe

P \in G L_{n} (K)

telle que

A = P^{- 1} B P

A et B

représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes.

I.3.15 Remarque

Deux matrices semblables ont le même rang.
La seule matrice semblable à $I_{n}$ est elle même.

II Trace

II.1 Trace d'une matrice

II.1.1 Définition

Soit

A = (a_{i, j})_{(i, j) \in {⟦ 1, n ⟧}^{2}} \in M_{n} (K)

. On appelle la trace de

A

et on note

T r (A)

le nombre

\sum_{i = 1}^{n} a_{i, i}

qui est la somme de ses coefficients diagonaux.

II.1.2 Exemple

Pour

A = (a_{i j}) \in M_{n} (K)

, calculer

T r (^{t} A A)

II.1.3 Proposition

Soient

A, B \in M_{n} (K)

$T r (^{t} A) = T r (A)$
$\forall α, β \in K T r (α A + β B) = α T r (A) + β T r (B)$ .

Ainsi la trace est une forme linéaire :

T r \in L (M_{n} (K), K)

II.1.4 Exercice

Montrer que le noyau de la trace est un hyperplan et en donner une base.

II.1.5 Effet du produit

Montrer que dans le cas général on a pas

T r (A^{2}) = T r (A)^{2}

II.2 Trace d'un endomorphisme

II.2.1 Théorème (Trace d'un produit)

Soient

A M_{n, p} (K) et B \in M_{p, n} (K)

( remarquer les tailles ).

T r (A B) = T r (B A)

Preuve

Notons

C = A B \in M_{n} (K) et D = B A \in M_{p} (K)

avec

A = (a_{i, j}), B = (b_{i, j}) et C = (c_{i, j}), D = (d_{i, j})

.
Pour

(i, j) \in ⟦ 1, n^{2} ⟧

on a

c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{p} a_{i, k} b_{k, j}

et donc

T r (C) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{p} a_{i, k} b_{k, i} = \sum_{k = 1}^{p} \sum_{i = 1}^{n} b_{k, i} a_{i, k}

en échangeant les sommes.
De la même manière,

T r (D) = \sum_{i = 1}^{p} \sum_{k = 1}^{n} b_{i, k} a_{k, i}

. Au nom des indices près ( qui sont des variables muettes, rappelons le ) on a bien

T r (C) = T r (D)

II.2.2 Exercice

Montrer que

T r (^{t} A B) = T r (A^{t} B)

, dans le cas de matrices carrées, avec les notations du théorème.
En déduire la valeur de cette trace dans le cas où

A

est symétrique et

B

anti-symétrique.

II.2.3 Matrices semblables

A, B \in M_{n} (K)

sont semblables alors

T r (A) = T r (B)

.
En effet, si on a

A = P^{- 1} B P

pour une matrice inversible

P

(voir

P

comme une matrice de passage), alors

T r (A) = T r ((P^{- 1} B) B) = T r (P (P^{- 1} B)) = T r (B)

II.2.4 Invariants

On peut maintenant dire que deux matrices semblables ont :

le même rang
la même trace

II.2.5 Définition-proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

f \in L (E)

. Le scalaire

T r ({M a t}_{B} (f))

ne dépend pas de la base

B

E

choisie pour calculer la matrice. On le note

T r (f)

II.2.6 Exemple

Soit

f : {\begin{array}{rcl} R_{3} [X] & \to & R_{3} [X] \\ P & \mapsto & X P^{'} \end{array}

. Calculer

T r (f)

II.2.7 Exercice

Soit

p

un projecteur dans

E

de dimension finie. Montrer que

T r (p) = r g (p)

II.2.8 Linéarité

Pour

f, g \in L (E)

α, β \in K

on a

T r (α f + β g) = α T r (f) + β T r (g)

III Déterminant

III.1 Déterminant de taille $n$

III.1.1 Définition-proposition

Il existe une unique application

det : M_{n} (K) \to K

telle que

$det (I_{n}) = 1$
$det$ est linéaire par rapport à chaque colonne.
$det$ est anti-symétrique ie change de signe si on échange deux colonne de sa variable.

III.1.2 Conséquences de la définition

Notons

C_{1}, \dots, C_{n}

les colonnes de la matrice

A \in M_{n} (K)

Si on a $C_{i} = 0$ pour un certain $i$ alors $det (A) = 0$ par linéarité par rapport à la $i$ ème colonne.
Si on a $C_{i} = C_{j}$ pour $i \neq j$ alors $det (A) = - det (A)$ par échange de ces deux colonnes donc $det (A) = 0$ .

III.1.3 Exemple

Calculer

| \begin{matrix} 7 & - 42 \\ - 3 & 18 \end{matrix} |

III.1.4 Interprétation géométrique

En dimension 2 : il s'agit de l'aire (algébrique, ie on obtient un nombre négatif dans le cas d'un sens indirect) d'un parallélogramme

En dimension 3 :il s'agit du volume (algébrique) d'un parallélépipède. Dans la figure suivante, on construit un parallélépipède sur les 3 vecteurs

\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}

| det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) |

(où les coordonnées sont calculées dans la base canonique) vaut le volume du parallélépipède.

III.1.5 Notation

Comme en dimension 2 et 3, on note un déterminant sous forme d'un tableau de nombre entouré de barres verticales.

III.1.6 Proposition (Opérations sur les déterminants)

Soit

A \in M_{n} (K)

. On fait subir une opération élémentaire sur les colonnes de

A

et on note

A^{'}

la matrice obtenue.

Si l'opération est $C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ avec $i \neq j$ alors $det (A^{'}) = - det (A)$ .
Si l'opération est $C_{i} \leftarrow λ C_{i}$ avec $λ \neq 0$ alors $det (A^{'}) = λ det (A)$
Si l'opération est $C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j}$ avec $λ \in K$ et $i \neq j$ alors $det (A^{'}) = det (A)$ .

III.1.7 Corollaire

Soit

A \in M_{n} (K)

λ \in K

alors

det (λ A) = λ^{n} det (A)

III.1.8 Calcul en pratique

Soit

A \in M_{n} (K)

. On réduit

A

par colonnes pour calculer son déterminant. Attention aux opérations d'échange ou de multiplication par un scalaire.

III.1.9 Exemple

Calculer

| \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{matrix} |

III.1.10 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

A

est inversible ssi

det (A) \neq 0

Preuve

En reprenant les notations de III.1.6 , on remarque que

det (A) = 0 ⟺ det (A^{'}) = 0

Réduisons la matrice par colonne et notons

R

la matrice réduite. On a

det (R) = 0 ⟺ det (A) = 0

A \in G l_{n} (K) ⟺ R = I_{n}

. Ainsi si

A \in G L_{n} (R)

alors

det (A) \neq 0

car

det (I_{n}) = 1 \neq 0

.
Supposons au contraire que

A \neq G L_{n} (K)

. Alors

R

possède au moins une colonne nulle (autant que la dimension du noyau de

A

d'ailleurs) et

det (R) = 0

donc

det (A) = 0

III.1.11 Remarque

Le déterminant est toujours une expression polynomiale des coordonnées (s'exprime comme produits et sommes des coordonnées de la matrice)

III.1.12 Exemple

Calculer le déterminant de

(\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

.
Notons

Δ

ce déterminant. On factorise la première colonne par 2 puis on effectue les opérations

C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}

C_{3} \leftarrow C_{3} + C_{1}

C_{4} \leftarrow C_{4} - 3 C_{1}

et alors

Δ = 2 | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} |

On effectue maintenant

C_{3} \leftarrow C_{3} + 2 C_{2}

C_{3} \leftarrow C_{3} + C_{2}

et alors

Δ = 2 | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} |

on peut maintenant factoriser par

- 1

la colonne

C_{3}

puis effectuer l'opération

C_{4} \leftarrow C_{4} - 2 C_{3}

pour obtenir

Δ = 2 \times (- 1) | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} |

Il reste à factoriser par

3

la dernière colonne et

Δ = 2 \times (- 1) \times 3 = - 6

III.1.13 Proposition

Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Preuve

Remarquer que le déterminant est nul ssi un des coefficient diagonaux est nul ssi la matrice triangulaire n'est pas inversible.
Dans ce cas d'une matrice inversible, le calcul est direct, sur le même modèle que l'exemple, que la matrice soit triangulaire inférieure ou supérieure.

III.1.14 Exemple

Trouver à quelle condition sur

a \in C

la matrice

A = (\begin{matrix} a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ - 1 & a^{2} & a \end{matrix})

est inversible.
Après l'opération

C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{1}

on a

det (A) = | \begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ - 1 & a^{2} & a + 1 \end{matrix} |

Après

C_{1} \leftarrow C_{1} - a C_{2}

on obtient

det (A) = | \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 - a^{2} & a & 0 \\ - 1 - a^{3} & a^{2} & a + 1 \end{matrix} |

Après échange des deux premières colonnes, on obtient une matrice triangulaire et donc

d e t (A) = - 1 \times (1 - a^{2}) \times (a + 1)

remarquer le signe - dû à l'échange de colonnes.
Finalement

A \in G L_{3} (C) ⟺ det (A) \neq 0 ⟺ a \neq \pm 1

III.1.15 Méthode

Une première méthode de calcul du déterminant :

Echelonner la matrice par opérations élémentaires (attention à la valeur du déterminant qui change parfois)
Calculer le produit des coefficients diagonaux.

III.2 Propriétés calculatoires

III.2.1 Théorème

Soient

A, B \in M_{n} (K)

det (A B) = det (A) det (B)

. Plus généralement, le déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants.

Preuve

A

n'est pas inversible,

A B

non plus et donc le résultat est vrai.
Sinon, considérons

f {\begin{array}{rcl} M_{n} (K) & \to & K \\ (C_{1}, \dots, C_{n}) & \mapsto & \frac{det (A C_{1}, \dots, A C_{n})}{det (A)} \end{array}

.
Alors

f (I_{n}) = 1

, si on échange deux colonne de

M

f

change de signe. De plus,

f

est linéaire par rapport à chaque colonne par composition et produit par une constante (

X \mapsto A X \in L (K^{n})

et le déterminant est linéaire par rapport à cette colonne).
Ainsi

f = det

. TADAM !
On prouve l'affirmation générale par une récurrence immédiate.

III.2.2 M-Attention

On a surtout pas

det (A + B) = det (A) + det (B)

III.2.3 Corollaire

A

est inversible alors

det (A^{- 1}) = \frac{1}{det (A)}

.
Dans ce cas, on a également

\forall k \in Z det (A^{k}) = det (A)^{k}

Preuve

On a directement

det (A) det (A^{- 1}) = 1

ce qui prouve le cas

k = - 1

, le seul qu'il manquait dans le théorème précédent.

III.2.4 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

. Alors

det (A) = det (^{t} A)

Preuve

Hors programme

On a $A \in G L_{n} (K) ⟺^{t} A \in G L_{n} (K)$ . Ainsi $det (A) = 0 ⟺ det (^{t} A) = 0$ . Dans toute la suite on suppose que $A$ est inversible.
Soit $λ \in K$ . Rappelons que les matrices élémentaires sont d'un des trois type suivant : $E_{i, λ} = d i a g (1, \dots, 1, λ, 1, \dots, 1)$ (le $λ \neq 0$ en $i$ ème position, cette matrice traduit l'opération $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ ), $E_{i, j}$ qui est la matrice $I_{n}$ ayant subit l'opération $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ (traduit la dite opération) ou $E_{i, j, λ}$ qui la matrice $I_{n}$ ayant subit l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ .
Un calcul direct montre que $^{t} E_{i, λ} = E_{i, λ}$ et donc ces deux matrices ont le même déterminant, $det (E_{i, j}) = - 1 = det (^{t} E_{i, j})$ (à calculer par un échange de colonnes pour retrouver l'identité) et $det (E_{i, j, λ}) = 1 = det (^{t} E_{i, j, λ})$ (ces matrices sont triangulaires, l'une inférieure l'autre supérieure et avec des 1 sur la diagonale).
Ainsi le théorème est vrai pour les matrices élémentaires.
Rappelons que l'on suppose $A$ inversible. Alors on peut écrire $A = E_{r} E_{r - 1} \dots E_{1}$ , un produit de matrices élémentaires.
Alors $^{t} A =^{t} E_{1}^{t} E_{2} \dots^{t} E_{r}$ . Le théorème III.2.1 , ainsi que le point précédent permettent de conclure à l'égalité souhaitée.

III.2.5 Conséquences

On peut maintenant effectuer des opérations élémentaires sur les lignes au même titre que sur les colonnes, avec les mêmes effets.

III.2.6 Théorème

Soit

A \in M_{n} (K)

avec

n \geq 2

A = (a_{i, j})_{(i, j) \in {⟦ 1, n ⟧}^{2}}

. Pour

i, j \in {⟦ 1, n ⟧}^{2}

on note

A_{i, j}

la matrice de

M_{n - 1} (K)

déduite de

A

en supprimant la

i

ème ligne et la

j

ème colonne.

$det (A) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i, j} det A_{i, j}$ (développement par rapport à la $j$ ème colonne)
$det (A) = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i, j} det A_{i, j}$ (développement par rapport à la $i$ ème ligne)

Preuve

Admis. Une idée de preuve (un peu pénible, mais pas si difficile) : on reprend les notations de III.1.6 et on prouve le premier point pour

j

fixé. On prouve alors que l'application de la formule à

A^{'}

est l'opposé de celle à

A

pour un échange de colonne et donne le même résultat pour une combinaison de colonnes. Ainsi la formule est vraie pour

A^{'}

ssi elle l'est pour

A

. Il suffit ensuite de réduire

A

et de remarquer que la formule est triviale pour l'identité.

III.2.7 Tableau des signes

On résume souvent les signes qui apparaissent dans cette formule par

| \begin{matrix} + & - & + & \dots \\ - & + & - & \dots \\ ⋮ \end{matrix} |

III.2.8 Exemple

Calculer le déterminant

d = | \begin{matrix} 1 & - 1 & 4 & 2 \\ - 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 1 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & - 1 \end{matrix} |

On effectue

C_{3} \leftarrow C_{3} - 4 C_{1}

et on développe par rapport à la

3

ième colonne :

d = - | \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 3 & - 5 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} | = (3 \times 1 - 2 \times (- 5)) = 13

III.2.9 Méthode

Une deuxième méthode de calcul du déterminant : Appliquer bêtement une des formules précédente.
Une bonne idée sera de faire apparaître des 0 sur une ligne ou colonne pour réduire le nombre de termes dans le développement.

III.2.10 Exemple

Calculer le déterminant

d_{n} = {| \begin{matrix} - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & \dots & 1 & - 3 \end{matrix} |}_{[n]}

. Pour

n = 1

il s'agit d'un nombre et

d_{1} = - 3

. Pour

n = 2

, un calcul direct donne

d_{2} = 7

.
On effectue, pour

n \geq 3

un développement par rapport à la première colonne.

d_{n} = (- 3) d_{n - 1} - 1 \times {| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & \dots & 1 & - 3 \end{matrix} |}_{[n - 1]}

et un développement par rapport à la première ligne donne maintenant

d_{n} = - 3 d_{n - 1} - 2 d_{n - 2}

Il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, dont les racines de l'équation caractéristiques (

r^{2} = - 3 r - 2

) sont

- 1 et - 2

. En utilisant les deux conditions initiales précédente, on trouve

d_{n} = 2 (- 2)^{n} - (- 1)^{n}

pour tout

n \geq 1

III.2.11 Corollaire

Soit

A \in M_{n} (C)

. Alors

det (\bar{A}) = \bar{det (A)}

Preuve

Immédiat par récurrence sur la taille de

A

et utilisant les propriétés calculatoires de la conjugaison (somme, produit).

III.3 Déterminant et espace vectoriel

III.3.1 Définition

Soit

E

K

-ev de dimension

n

F = (u_{1}, \dots, u_{n})

une famille de

n

vecteurs. Soit

B

une base. On appelle déterminant de

F

dans la base

B

le nombre

\underset{B}{det} (u_{1}, \dots, u_{n}) = det ({M a t}_{B} (u_{1}, \dots, u_{n}))

III.3.2 Lien avec la géométrie

Ce que l'on appelait déterminant d'une famille dans

R^{2} ou R^{3}

est en fait le déterminant dans la base canonique. Rappel : dans

R^{2}

det (\vec{u}, \vec{v}) = 0

ssi

\vec{u}, \vec{v}

sont colinéaires.

III.3.3 Proposition

Soit

B

une base de

E

B^{'}

une famille de

n

vecteurs.

B^{'}

est une base de

E

ssi

\underset{B}{det} (B^{'}) \neq 0

III.3.4 Exercice

Que vaut

\underset{B^{'}}{det} B

dans ce cas ?

III.3.5 Exemple

Montrer que

((\binom{n}{k}) X^{k} (1 - X)^{n - k})_{k \in ⟦ 0, n ⟧}

est une base de

K_{n} [X]

. Dans la base canonique, la matrice est triangulaire supérieure et on peut calculer son déterminant par produit des coefficients diagonaux.

III.3.6 Théorème

Deux matrices carrées semblables ont le même déterminant.

Preuve

Posons a

A = P^{- 1} B P

pour

A, B \in M_{n} (K) et P \in G L_{n} (K)

.
On a alors

det (A) = det (P^{- 1}) det (B) det P = \frac{1}{det (P)} det (P) det (B) = det (B)

III.3.7 Invariants

Nous voilà avec 3 invariant de changement de base pour les endomorphismes : le rang, la trace et le déterminant.

III.3.8 Définition

Soit

f \in L (E)

avec

E

K

-ev de dimension

n

. Toutes les matrices de

f

(ie dans n'importe quelle base) ont le même déterminant, on le note

det (f)

et on l'appelle déterminant de

f

III.3.9 Exemple

On considère l'application

T : {\begin{array}{rcl} M_{2} (R) & \to & M_{2} (R) \\ M & \mapsto & ^{t} M \end{array}

. Calculer son déterminant.
En prenant

M_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), M_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) M_{3} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) et M_{4} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

B = (M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4})

la base canonique de

M_{2} (R)

, on a

{M a t}_{B} (T) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Après un échange de colonne,

det (T) = - 1

III.3.10 Proposition

Soient

f, g \in L (E)

avec

E

de dimension

n

$det (I d_{E}) = 1$
Pour $λ \in K$ , $det (λ f) = λ^{n} det (f)$ .
$det (f \circ g) = det (f) det (g)$
$f$ est bijective (on dit aussi inversible) ssi $det (f) \neq 0$ et alors $det (f^{- 1}) = \frac{1}{det (f)}$ .

III.3.11 Puissances

On a directement

det (f^{n}) = det (f)^{n}

qui est valable par récurrence pour tout

n \in N

et même

n \in Z

f

est bijective.

I Opérations

I.1 Produit, puissances

I.1.1 Proposition (Opérations sur les matrices)

I.1.2 Notation

I.1.3 Exemple

I.1.4 Exemple

I.1.5 Proposition (Théorème du binôme, version matrices)

I.1.6 Exemple

I.1.7 Proposition

I.1.8 Exercice

I.1.9 Rappels sur les matrices particulières

I.1.10 Définition

I.1.11 Produit et transposition

I.1.12 Lignes et colonnes

I.1.13 Produit par une colonne

I.2 Inversibilité

I.2.1 Définition

I.2.2 Proposition

I.2.3 Lien avec la transposition

I.2.4 Inverse particulière

I.2.5 Définition

I.2.6 Théorème (Théorème du rang)

I.2.7 Théorème

I.2.8 Cas n=2 ou 3

I.3 Matrices et bases

I.3.1 Définition

I.3.2 Exemple

I.3.3 Proposition

I.3.4 Définition

I.3.5 Exemple

I.3.6 Produit matriciel et évaluation

I.3.7 Exemple

I.3.8 Théorème

I.3.9 Exemple

I.3.10 Théorème

I.3.11 Définition

I.3.12 Théorème

I.3.13 Exemple

I.3.14 Définition

I.3.15 Remarque

II Trace

II.1 Trace d'une matrice

II.1.1 Définition

II.1.2 Exemple

II.1.3 Proposition

II.1.4 Exercice

II.1.5 Effet du produit

II.2 Trace d'un endomorphisme

II.2.1 Théorème (Trace d'un produit)

II.2.2 Exercice

II.2.3 Matrices semblables

II.2.4 Invariants

II.2.5 Définition-proposition

II.2.6 Exemple

II.2.7 Exercice

II.2.8 Linéarité

III Déterminant

III.1 Déterminant de taille n

III.1.1 Définition-proposition

III.1.2 Conséquences de la définition

III.1.3 Exemple

III.1.4 Interprétation géométrique

III.1.5 Notation

III.1.6 Proposition (Opérations sur les déterminants)

III.1.7 Corollaire

III.1.8 Calcul en pratique

III.1.9 Exemple

III.1.10 Théorème

III.1.11 Remarque

III.1.12 Exemple

III.1.13 Proposition

III.1.14 Exemple

III.1.15 Méthode

III.2 Propriétés calculatoires

III.2.1 Théorème

III.2.2 M-Attention

III.2.3 Corollaire

III.2.4 Théorème

III.2.5 Conséquences

III.2.6 Théorème

I.2.8 Cas $n = 2 ou 3$

III.1 Déterminant de taille $n$