Séries entières

I Rayon de convergence

I.1 Série entière

I.1.1 Définition

Une série entière de variable $z \in K$ est une série de la forme $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ où $a_{n} \in C$ .
Les termes de la suite $(a_{n})_{n \in N}$ sont appelés les coefficients de la série entière.
Pour chaque $z \in K$ on étudie la convergence de la série numérique $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ . L'ensemble des $z \in K$ pour lesquels la série entière converge est appelé domaine de convergence.
La somme de cette série entière est la fonction $f : z \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}$ définie sur le domaine de convergence.

I.1.2 Remarque

Comme pour les séries numériques, on peut considérer des séries entières dont le premier terme n'est pas d'indice

0

. Pour revenir dans le cadre du cours, on considère que les premiers termes de

(a_{n})

sont nuls. La convergence des séries numériques ne dépend pas de la valeurs des premiers termes (mais la somme oui !).

Explication

On reconnaît une série entière au fait qu'on voit apparaître la variable

z

à la puissance

n

exactement (l'indice de somme) et que le facteur de

z^{n}

est une quantité qui ne dépend que de

n

et pas de

z

: son coefficient.
Plus précisément, chaque somme partielle est une fonction polynomiale de la variable

z

I.1.4 Proposition (Rappel)

Soit

(b_{n}) \in C^{N}

une suite de nombres complexes.

b_{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0 ⟺ | b_{n} | \underset{n \to + \infty}{\to} 0

Preuve

Simple écriture de la définition, pour

n \in N

on a évidemment

| b_{n} - 0 | = | | b_{n} | - 0 | = | b_{n} |

I.1.5 Exemple

Soit

z \in C

. On a vu que la série numérique

\sum_{n \in N} z^{n}

converge ssi

| z | < 1

. On peut donc considérer la série entière

\sum_{n \in N} z^{n}

qui est bien définie sur

D = {z \in C | | z | < 1}

. C'est le disque unité ouvert.
On a alors

\sum_{n = 0}^{+ \infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z}

I.1.6 Définition

On considère deux séries entières

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n} et \sum_{n \in N} b_{n} z^{n}

La série somme $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n} + \sum_{n \in N} b_{n} z^{n}$ est la série entière $\sum_{n \in N} (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ .
Le produit de $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ par le scalaire $λ \in C$ est la série entière $\sum_{n \in N} λ a_{n} z^{n}$ .
La série produit est la série entière $\sum_{n \in N} c_{n} z^{n}$ où $\forall n \in N c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$

I.1.7 Remarque

Si les séries numériques

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

\sum_{n \in N} b_{n} z^{n}

convergent pour une valeur de

z \in C

, alors la série somme et la série produit par un scalaire convergent aussi pour ce

z

.
Pour assurer la convergence de la série produit, il faut supposer la convergence absolue des séries numériques.

I.1.8 Exemple

Trouver

D_{1}

le domaine de convergence de

\sum_{n \in N} 2^{n} z^{n}

D_{2}

celui de

\sum_{n \in N} n z^{n}

. Où est définie la série somme ?
Soit

z \in C

$\sum_{n \in N} (2 z)^{n}$ converge ssi $| 2 z | < 1$ donc $D_{1} = {z \in C | | z | < \frac{1}{2}}$ .
Pour $D_{2}$ , remarquons d'abord que si $| z | \geq 1$ alors $n z^{n} ↛ 0$ et donc la série $\sum_{n \in N} n z^{n}$ diverge grossièrement.
Supposons donc $| z | < 1$ . Alors $n^{2} \times n z^{n} = n^{3} z^{n} \underset{+ \infty}{\to} 0$ (elle tend vers 0 en module) et donc $| n z^{n} | = o_{+ \infty} (\frac{1}{n^{2}})$ . Comme $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, $\sum n z^{n}$ converge absolument donc converge.
Ainsi $D_{2} = {z \in C | | z | < 1}$ .

Comme la somme d'une série (numérique) convergente et d'une série divergente est une série divergente, la série entière somme converge sur

D_{1}

I.2 Convergence d'une série entière

I.2.1 Définition

Soit

R \in R^{+}

. On appelle disque ouvert de centre

O

et de rayon

R

l'ensemble

D_{R} = {z \in C | | z | < R}

I.2.2 Remarque

D_{0} = \emptyset

I.2.3 Théorème (Lemme d'Abel)

Soit

(a_{n}) \in C^{N}

. Supposons qu'il existe

r > 0

tel que

(| a_{n} | r^{n})

est une suite bornée. Alors pour tout

z \in D_{r}

(ie |z| < r)

| a_{n} z^{n} | = O_{+ \infty} ({(\frac{| z |}{r})}^{n}) et donc \sum_{n \in N} a_{n} z^{n} converge.

Preuve

Soit

z \in C

tel que

| z | < r

. Alors

| a_{n} z^{n} | = | a_{n} r^{n} | {(\frac{| z |}{r})}^{n} = O_{+ \infty} (1) {(\frac{| z |}{r})}^{n} = O_{+ \infty} ({(\frac{| z |}{r})}^{n})

Comme

0 \leq \frac{| z |}{r} < 1

, la série

\sum_{n \in N} {(\frac{| z |}{r})}^{n}

converge et donc

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

converge absolument par comparaison de séries à termes positifs.

I.2.4 Exemple

On considère la série entière

\sum \sin (n) z^{n}

r = 1

convient donc

D_{1}

est inclus dans le domaine de convergence.

I.2.5 Définition-proposition

Soit

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

une série entière.

L'ensemble $I = {r \in R^{+} | (| a_{n} | r^{n})_{n \in N} est bornée}$ est un intervalle de $R$ de la forme $[0, \dots$ (la deuxième borne est ouverte ou fermée, finie ou non)
$R = sup (I) \in R^{+} \cup {+ \infty}$ est appelé rayon de convergence de la série entière $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$

Preuve

Il faut montrer que

I

est un intervalle de la forme

[0, a)

(borne ouverte ou fermée,

a \in \bar{R^{+}}

). Il suffit de montrer que si

r \in I

alors

[0, r] \subset I

ie que tous les nombres inférieurs à

r

sont encore dans

I

.
Soit

r \in I

ρ \in [0, r]

. Alors, pour

n \in N

0 \leq | a_{n} | ρ^{n} = | a_{n} | r^{n} \underset{\leq 1}{\underset{⏟}{\frac{ρ^{n}}{r^{n}}}} \leq | a_{n} | r^{n}

et donc

(| a_{n} | ρ^{n})

est bornée, c'est à dire que

ρ \in I

I.2.6 Rayon de référence

Le rayon de convergence de la série géométrique

\sum_{n \in N} z^{n}

vaut 1.
La série entière nulle possède un rayon de convergence infini.

I.2.7 Exemple

Calculons le rayon de convergence de

\sum_{n \in N} \frac{1}{n + 1} z^{n}

Si $| z | > 1$ alors ${(\frac{z^{n}}{n + 1})}_{n \in N}$ n'est pas bornée (son module tend vers $+ \infty$ ).
Si $| z | < 1$ , ${(\frac{z^{n}}{n + 1})}_{n \in N}$ converge vers 0 donc est bornée.

Finalement,

I = [0, 1 [

et donc

R = 1

I.2.8 Rayon nul

On peut très bien avoir

I = [0, 0] = {0}

(et donc

R = 0

) c'est a dire que pour tout

r > 0

(a_{n} r^{n})

n'est pas bornée. Par exemple

a_{n} = n!

convient.

I.2.9 Théorème

Soit

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R > 0

Si $| z | < R$ alors la série numérique $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ converge absolument donc converge.
Si $| z | > R$ alors la série numérique $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ diverge grossièrement.
Si $| z | = R$ on ne peut pas conclure a priori sur la nature de $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ .

Preuve

Il s'agit juste un redite du lemme d'Abel (si $| z | < R$ alors $| z | < r$ pour un $r \in I$ ).
Il suffit de remarquer qu'une suite non bornée ne peut tendre vers 0 (car toute suite convergente est bornée).
Reprenons la série $\sum_{n \in N} \frac{1}{n + 1} z^{n}$ .
Pour $z = 1$ , il s'agit de la série harmonique, notoirement divergente.
Pour $z = - 1$ , on trouve une série convergente.

I.2.10 Domaines de convergence

Une série entière réelle (on calcule $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ pour $x$ réel) est convergente au moins sur l'intervalle $] - R, R [$ où $R$ est le rayon de convergence. La convergence en $\pm R$ est éventuellement à étudier au cas par cas.
Pour une série complexe, la série converge sur $D_{R}$ . Sur l'ensemble $C_{R} = {z \in C | | z | = R}$ , on ne peut rien dire a priori.

I.2.11 Contraposées

Si on trouve un

z \in C

tel que la série numérique

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

converge alors

R \geq | z |

.
Si on trouve un

z \in C

tel que la série numérique

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

diverge alors

R \leq | z |

I.3 Calcul du rayon de convergence

I.3.1 Rayon 1

Soit

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

Si $(a_{n})$ n'est pas bornée (par exemple $a_{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty$ ) alors $R \leq 1$ .
Si $(a_{n})$ est bornée (par exemple $(a_{n})$ converge), alors $R \geq 1$ .

I.3.2 Proposition

Soient

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

une série de convergence de rayon de convergence

R_{a}

\sum_{n \in N} b_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R_{b}

Si $a_{n} = O_{+ \infty} (| b_{n} |)$ alors $R_{a} \geq R_{b}$ (un cas particulier : $a_{n} = o_{+ \infty} (| b_{n} |)$ ).
Si $| a_{n} | \underset{+ \infty}{\sim} | b_{n} |$ alors $R_{a} = R_{b}$ .

Preuve

Soit $r < R_{b}$ . On doit montrer que $(| a_{n} | r^{n})$ est bornée (et donc que $r \leq R_{a}$ ).
Or par hypothèse, on peut poser $M \in R^{+}$ tel que $| a_{n} | \leq M | b_{n} |$ pour tout $n \in R$ .
Ainsi $| a_{n} | r^{n} \leq M | b_{n} | r^{n}$ et $(| b_{n} | r^{n})$ est bornée donc $(| a_{n} | r^{n})$ est bornée aussi.
Ainsi $r \leq R_{a}$ et tout nombre plus petit que $R_{b}$ est plus petit que $R_{a}$ . On ne peut pas avoir $R_{a} < R_{b}$ , c'est à dire qu'on a prouvé $R_{a} \geq R_{b}$ .
C'est une conséquence directe car dans ce cas $a_{n} = O_{+ \infty} (| b_{n} |)$ et $b_{n} = O_{+ \infty} (| a_{n} |)$ .

I.3.3 Exemple

Le rayon de convergence de

\sum \sin (\frac{1}{n}) z^{n}

est 1 car

\sin (\frac{1}{n}) \underset{+ \infty}{\sim} \frac{1}{n}

I.3.4 Conséquence

Comme pour les séries numériques, on peut commencer par calculer un équivalent simple de

a_{n}

et raisonner sur cet équivalent.

I.3.5 Exemple

Trouver le rayon de convergence de

\sum 2 n (e - {(1 + \frac{1}{n})}^{n}) z^{n}

.
On a

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} = \exp (n \ln (1 + \frac{1}{n})) = \exp (1 - \frac{1}{2 n} + o_{+ \infty} (\frac{1}{n})) = e^{1} (1 - \frac{1}{2 n} + o_{+ \infty} (\frac{1}{n}))

. Ainsi

2 n (e - {(1 + \frac{1}{n})}^{n}) \underset{+ \infty}{\sim} 1

et le rayon cherché vaut 1.

I.3.6 Théorème

Soient

\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R_{a}

\sum_{n \in N} b_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R_{b}

Pour $λ \in C^{*}$ , la série entière $\sum_{n \in N} λ a_{n} z^{n}$ est de rayon de convergence $R_{a}$ . Le cas $λ = 0$ donne un rayon infini.
Le rayon de convergence $R$ de la série somme vérifie $R = min (R_{a}, R_{b})$ si $R_{a} \neq R_{b}$ et $R \geq R_{a}$ dans le cas $R_{a} = R_{b}$ .
Le rayon de convergence $R$ de la série produit vérifie $R \geq min (R_{a}, R_{b})$ .

Preuve

Il s'agit d'une traduction directe des propriétés de convergences vu dans le chapitre sur les séries. Le méthode est la suivante : on prend

r < R

(le rayon de convergence que l'on veut calculer) et on prouve la convergence par application du chapitre sur les séries numériques. La remarque I.2.11 conclut.

I.3.7 Inégalités strictes

On peut tout à fait avoir des inégalités strictes dans le théorème précédent. Il suffit de considérer des séries opposées pour la somme et le produit par la série nulle.

I.3.8 Proposition

Soit

(a_{n}) \in C^{N}

. Les séries entières

\sum a_{n} z^{n} et \sum n a_{n} z^{n}

ont le même rayon de convergence.

Preuve

Notons

R_{1} et R_{2}

ces deux rayons (respectifs). Comme

a_{n} = o_{+ \infty} (n | a_{n} |)

R_{1} \geq R_{2}

. On traite maintenant le cas

R_{1} > 0

.
Soit

r < R_{1}

. Montrons que

(n | a_{n} | r^{n})

est bornée. Soit

r^{'} \in] r, R_{1} [

. Alors, pour

n \in N

n | a_{n} | r^{n} = \underset{bornée}{\underset{⏟}{| a_{n} | (r^{'})^{n}}} \times n {(\frac{r}{r^{'}})}^{n}

.
Or, par croissances comparées,

n {(\frac{r}{r^{'}})}^{n} \underset{+ \infty}{\to} 0

et est donc bornée. Par produit,

(n | a_{n} | r^{n})

est bornée. Ainsi

r \leq R_{2}

et finalement

R_{2} \geq R_{1}

I.3.9 Exemple

Les séries suivantes sont de rayon de convergence 1 :

\sum n^{2} z^{n}, \sum \frac{1}{n^{2}} z^{n}, \sum P (n) z^{n}

où

P \in C [X] ∖ {0}

I.4 d'Alembert

Commençons par un rappel :

I.4.1 Théorème (Règle de d'Alembert)

Soit

(u_{n}) \in R^{N}

telle que

\forall n \in N u_{n} > 0

. Supposons que

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{}{\to} ℓ

Si $ℓ < 1$ alors $\sum u_{n}$ converge (on a même $\forall q \in] ℓ, 1 [u_{n} = o_{+ \infty} (q^{n})$ ).
Si $ℓ > 1$ alors $\sum u_{n}$ diverge grossièrement (car $u_{n} \underset{+ \infty}{\to} + \infty$ ).
Si $l = 1$ la série $\sum u_{n}$ peut être divergente ou convergente.

I.4.2 Application au calcul de rayon de convergences

Calculer le rayon de convergence de $\sum \frac{z^{n}}{n!}$ .
Pour $z \neq 0$ on pose $u_{n} = \frac{| z |^{n}}{n!} > 0$ . Alors $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{+ \infty}{\to} 0$ et donc $\sum \frac{z^{n}}{n!}$ converge (absolument).
Ainsi $R \geq | z |$ pour tout $z \in C^{*}$ et $R = + \infty$ .
On pose $a_{n} = (\binom{2 n}{n})$ pour tout $n \in N$ . Calculer le rayon de convergence $R$ de $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ .
Pour $z \neq 0$ on pose $u_{n} = (\binom{2 n}{n}) | z^{n} | > 0$ . Alors $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(2 n + 2)!}{((n + 1)!)^{2}} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!} | z | = \frac{(2 n + 2) (2 n + 1)}{(n + 1)^{2}} | z | \underset{+ \infty}{\to} 4 | z |$ .
Ainsi si $| z | > \frac{1}{4}$ , $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ diverge donc $R \leq \frac{1}{4}$ . En effet, pour $z$ tel que $| z | > \frac{1}{4}$ , la série en peut pas converger, et donc on ne peut pas avoir $| z | < R$ d'après le théorème I.2.9 .
De plus, si $| z | < \frac{1}{4}$ , $\sum_{n \in N} a_{n} z^{n}$ converge donc $R \geq \frac{1}{4}$ . Finalement $R = \frac{1}{4}$ .

II Propriétés de la somme, cas réel

Dans cette partie, on note

\sum a_{n} x^{n}

les séries entières et on considère que

x

est réel (peu importe pour les

a_{n}

). Ainsi, si

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

est de rayon

R > 0

on considère la fonction (qui est la somme de la série)

f : {\begin{array}{rcl} ] - R, R [ & \to & K \\ x & \mapsto & \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} \end{array}

II.1 Intégration

II.1.1 Théorème

Soit

f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}

la somme d'une série entière de rayon de convergence

R > 0

. Alors

f

est continue sur

] - R, R [

Preuve

Cette preuve est hors programme...
Soit

a \in] - R, R [

. Montrons que

f (x) \underset{x \to a}{\to} f (a)

. Il s'agit d'un résultat d'inversion de limites.
Soit

N \in N

. On note

S_{N} : x \mapsto \sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n}

. Alors, pour

x \in] - R, R [

S_{N} (x) - S_{N} (a) = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} (x^{n} - a^{n}) = (x - a) \sum_{n = 1}^{N} a_{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} x^{k} a^{n - 1 - k}

. Ainsi

| S_{N} (x) - S_{N} (a) | \leq | x - a | \sum_{n = 1}^{N} | a_{n} | \sum_{k = 0}^{n - 1} | x |^{k} | a^{k} |

On se restreint maintenant à des valeurs de

x

dans

[a - α, a + α]

pour un

α

bien choisi (de telle manière que cette intervalle soit inclus dans

] - R, R [

).
Soit

b \in] - R, R [

tel que

| b | > max (| a - α |, | a + α |)

Alors

| S_{N} (x) - S_{N} (a) | \leq | x - a | \sum_{n = 1}^{N} n a_{n} | b |^{n}

. D'après I.3.8 , la somme partielle du majorant converge vers

K \in R^{+}

qui ne dépend pas de

x

(seulement de

α

, qui lui ne dépend que de

a

). Par passage à la limite en faisant

N \to + \infty

| f (x) - f (a) | \leq | x - a | K

et donc par encadrement (cette fois

x \to a

f (x) \underset{x \to a}{\to} f (a)

II.1.2 Exercice

Soit

f

une fonction définie par une série entière

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

de rayon de convergence

R = + \infty

avec

a_{0} < 0

\forall n \in N ∖ {0} a_{n} > 0

. Montrer que

f

s'annule au moins une fois.

II.1.3 Exemple

Posons

f : {\begin{array}{rcl} R & \to & R \\ x & \mapsto & {\begin{cases} \frac{e^{x} - 1}{x} si x \neq 0 \\ 1 si x = 0 \end{cases} \end{array}

. Alors

f \in C (R^{*}, R)

. De plus, pour

x \neq 0

f (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n!} x^{n - 1}

et aussi pour

x = 0

. Donc

f

est bien la somme de cette série entière sur

R

en entier et donc

f

est continue sur

R

en entier.

II.1.4 Théorème (Intégration terme à terme)

Soit

f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}

la somme d'une série entière de rayon de convergence

R > 0

\forall x \in] - R, R [\int_{0}^{x} f (t) d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{a_{n - 1}}{n} x^{n}

Remarquons que les séries entières qui interviennent ici sont de rayon de convergence

R

exactement d'après I.3.8

Preuve

Encore une fois hors programme.
Soit

x \in] - R, R [

t

entre 0 et

x

. Soit également

N \in N

\int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} t^{n} d t = \sum_{n = 0}^{N} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n}

. Il s'agit encore une fois de pouvoir faire tendre

N

vers

+ \infty

.
Or

| \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} t^{n} d t | = | \int_{0}^{x} (f (t) - \sum_{n = 0}^{N} a_{n} t^{n}) d t | = | \int_{0}^{x} (\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_{n} t^{n}) d t |

.
On voit apparaître des restes de séries numériques absolument convergentes, appliquons l'inégalité triangulaire (sur l'intégrale et la série, on conserve la valeur absolue extérieure au cas où

x \leq 0

| \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} t^{n} d t | \leq | \int_{0}^{x} (\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} | a_{n} | | t |^{n}) d t |

Or, pour

t

entre 0 et

x

| a_{n} | | t |^{n} \leq | a_{n} | | x |^{n}

. De plus,

\sum a_{n} x^{n}

converge absolument donc on peut trouver

N_{0}

tel que

\forall N \geq N_{0} \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} | a_{n} | | x |^{n} \leq ϵ

pour un

ϵ > 0

fixé.
Alors, pour ces

N

| \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} t^{n} d t | \leq | \int_{0}^{x} ϵ d t | = ϵ | x |

qui peut être rendu arbitrairement proche de 0.
Ainsi,

lim_{N \to + \infty} \sum_{n = 0}^{N} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n} = \int_{0}^{x} f (t) d t

II.1.5 Exemple

Posons

f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}

, qui est la somme d'une série entière de rayon 1.
Ainsi, pour

x \in] - 1, 1 [

on a

\int_{0}^{x} f (t) d t = [- \ln (1 - t)]_{0}^{x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

.
Après un changement d'indice, on obtient la formule (à connaître et à savoir retrouver)

\forall x \in] - 1, 1 [- \ln (1 - x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n}

De plus,

- x \in] - 1, 1 [

ssi

x \in] - 1, 1 [

( on veut changer

x

- x

dans la formule précédente, on calcule le nouveau domaine de validité ) et donc

\forall x \in] - 1, 1 [\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} x^{n}

II.1.6 Exercice

Exprimer

\arctan (x)

comme somme d'une série pour

x \in] - 1, 1 [

II.1.7 Exercice

Pour quels

x

peut-on écrire

\ln (1 + 2 x)

sous forme d'une série entière ?
Réponse : $x \in] - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} [$

II.1.8 Corollaire

Sous les mêmes hypothèses que le théorème, on peut calculer, pour

a, b \in] - R, R [

l'intégrale

\int_{a}^{b} f (t) d t

en intégrant la somme terme à terme.
L'hypothèse importante est que

a, b

doivent être à l'intérieur de

] - R, R [

et pas une borne de cet intervalle.

II.2 Dérivation

II.2.1 Théorème (Dérivation terme à terme)

Soit

f

la somme de la série entière

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

de rayon de convergence

R > 0

f

est dérivable sur

] - R, R [

et pour

x \in] - R, R [

on a

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} .

Remarquons que la série entière qui définit

f^{'}

est également de rayon de convergence

R

Preuve

Hors programme.
Posons, au hasard,

g : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}

qui est bien définie sur

] - R, R [

, continue et que l'on peut intégrer terme à terme d'après le théorème II.1.4 . Alors pour

x \in] - R, R [

\int_{0}^{x} g (t) d t = f (x) - a_{0}

et donc

f

est une primitive de

g

.
Ainsi

f

est dérivable et

f^{'} = g

II.2.2 Exemple

Calculons

S = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n}{2^{n - 1}}

après avoir prouvé sa convergence.
Premièrement la série entière

\sum_{n \geq 0} x^{n}

est de rayon de convergence 1. Notons

f : x \mapsto \frac{1}{1 - x}

sa somme. Sa dérivée est

f^{'} : x \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} n x^{n - 1}

.
Comme

\frac{1}{2} \in] - 1, 1 [

S

est bien la somme d'une série convergente et

S = f^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{(1 - \frac{1}{2})^{2}} = 4

II.2.3 Théorème

Soit

f

la somme de la série entière

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

de rayon de convergence

R > 0

. Alors

f

est de classe

C^{\infty}

sur

] - R, R [

et les dérivées de

f

sont obtenues par dérivation terme à terme de la série entière, ou encore

\forall k \in N \forall x \in] - R, R [f^{(k)} (x) = \sum_{n = k}^{+ \infty} \frac{n!}{(n - k)!} a_{n} x^{n - k} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(n + k)!}{n!} a_{n + k} x^{n}

Preuve

Simple récurrence. Hors programme aussi.

II.2.4 Exemple

Posons

f : {\begin{array}{rcl} R & \to & R \\ x & \mapsto & {\begin{cases} \frac{\arctan (x)}{x} si x \neq 0 \\ 1 si x = 0 \end{cases} \end{array}

.
Alors

f

est de classe

C^{\infty}

sur

R^{*}

par quotient dont le dénominateur ne s'annule pas.
De plus, pour

x \in] - 1, 1 [∖ {0}

on a

f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1}

. Cette relation est encore vraie en 0. Ainsi

f \in C^{\infty} (] - 1, 1 [, R)

et finalement

f

est

C^{\infty}

sur

R

II.2.5 Corollaire

Soit

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

une série entière de rayon de convergence

R > 0

f

sa somme. Alors

a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}

pour tout

n \in N

II.2.6 Taylor

Nous ne sommes pas si étonnés de ce résultat. On retrouve les coefficients du développement de Taylor de

f

(qui est

C^{\infty}

) en 0.

II.2.7 Corollaire (``Identification'' (unicité) des coefficients)

Les coefficients d'une série entière de rayon non nul sont uniques.
Plus précisément, si

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

\sum_{n \in N} b_{n} x^{n}

sont de rayons non nuls et vérifient pour un

α > 0

que

\forall x \in] - α, α [\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}

alors

\forall n \in N a_{n} = b_{n}

II.2.8 Application importante

Si une série entière

\sum a_{n} x^{n}

est de rayon

R > 0

et vérifie

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = 0

pour

x \in] - R, R [

alors tous ses coefficients sont nuls.

II.2.9 Exemple

Cherchons une fonction

f

somme d'une série entière qui vérifie

f^{'} = f

. Notons

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

la série cherchée de rayon

R > 0

(inconnu pour l'instant).
Alors

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}

pour tout

x \in] - R, R [

. Alors on a pour tout

n \in N a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} a_{n}

. Par récurrence immédiate

\forall n \geq 1 a_{n} = \frac{1}{n!} a_{0}

f = a_{0} \exp

qui est bien de rayon

R = + \infty > 0

. On a vérifié a posteriori que l'hypothèse faite sur le rayon est cohérente avec le résultat obtenu.

III Développement en série entière

III.1 Taylor

III.1.1 Théorème fondamental du calcul différentiel

f

est continue sur l'intervalle

I

non vide et non réduit à un point et

a \in I

alors

F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

est la primitive de

f

sur

I

qui s'annule en

a

.
Il faut bien remarquer que

a

est une constante et que la variable de

F

se trouve être la borne supérieure d'une intégrale.
En particulier, si

f

est de classe

C^{1}

sur

I

x \in I

, on a

f (x) = f (a) + \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t

III.1.2 Théorème (Formule de Taylor avec reste intégral)

Soit

f \in C^{n + 1} (I, R)

, (où

I

est un intervalle non vide et non réduit à un point)

a, x \in I

. Alors

f (x) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!} f^{(n + 1)} (t) d t .

Preuve

La preuve se fait par récurrence, le théorème fondamental du calcul différentiel étant le cas

n = 0

.
Pour l'hérédité, on effectue une intégration par parties :

f^{(n + 1)} (t) \underset{'}{\to} f^{(n + 2)} (t)

\frac{(x - t)^{n}}{n!} \underset{'}{\leftarrow} - \frac{(x - t)^{n + 1}}{(n + 1)!}

(la variable étant

t

x

est fixé).

III.1.3 Théorème (Inégalité des accroissements finis)

Soient

a, x \in R

a < x

f \in C ([a, x], R)

. On suppose en plus que

f

est dérivable sur

] a, x [

Si on peut trouver $m, M \in R$ tels que $\forall t \in] a, x [m \leq f^{'} (t) \leq M$ alors $m (x - a) \leq f (x) - f (a) \leq M (x - a) .$
Si on peut trouver $K \in R^{+}$ tel que $\forall t \in] a, x [| f^{'} (t) | \leq K$ alors $| f (x) - f (a) | \leq K | x - a |$ qui reste vrai même quand $x < a$ (à condition de réécrire l'intervalle sous la forme $] x, a [$ ).

Preuve

Il s'agit d'une application directe du théorème des accroissements finis, lui même conséquence de théorème de Rolle, pour mémoire.

III.1.4 Théorème (Inégalité de Taylor-Lagrange)

Soit

f \in C^{n + 1} (I, R)

(où

I

est un intervalle non vide et non réduit à un point) et

a, x \in I

.
On pose

M_{n + 1}

la valeur maximale de

| f^{(n + 1)} (t) |

pour

t

entre

a et x

| f (x) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} | \leq M_{n + 1} \frac{| x - a |^{n + 1}}{(n + 1)!} .

Preuve

M_{n + 1}

existe car

| f^{(n + 1)} |

est continue sur un intervalle fermé et borné.
Il s'agit ensuite seulement de majorer le reste intégral en utilisant l'inégalité triangulaire sur les intégrale puis la majoration

| f^{(n + 1)} | \leq M_{n + 1}

III.2 Fonctions développables

III.2.1 Définition

Soit

f

une fonction de classe

C^{\infty}

sur

I

tel que

0 \in I

0

n'est pas une borne de

I

. Le développement de Taylor de

f

est la série entière

\sum_{n \in N} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}

III.2.2 Exemple

On a déjà vu que

\exp

est la somme de son développement de Taylor sur

R

\forall x \in R \exp (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!} .

On a même prouvé que

\sum \frac{z^{n}}{n!}

converge pour tout

z \in C

( ce qui est cohérent avec ce chapitre, car le rayon de convergence de cette série entière, est

+ \infty

.)
On pose alors, pour

z \in C

e^{z} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!}

et le théorème sur le produit de Cauchy montre qu'on a bien

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

pour tous complexes

a, b

III.2.3 Définition

Soit

f : I \to K

où

I

est intervalle qui contient 0 (et 0 n'est pas une borne de

I

). On dit que

f

est développable en série entière (au voisinage de 0) ssi il existe

r > 0

et une série entière

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

tels que :

$] - r, r [\subset I$
$\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}$ est de rayon $R \geq r$
$\forall x \in] - r, r [f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ .

Autrement dit,

f

est la somme d'une série entière sur un intervalle

] - r, r [\neq \emptyset

contenu dans

I

.
La série entière

\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}

est appelée développement en série entière de

f

III.2.4 Résumé

Soit

f

une fonction développable en série entière sur

] - r, r [

avec

r > 0

$f$ est $C^{\infty}$ sur $] - r, r [$ .
Le développement en série entière est unique sur $] - r, r [$ et il s'agit du développement de Taylor de $f$ .
Toute primitive de $f$ est développable en série entière sur $] - r, r [$ .
Les dérivée successives de $f$ sont développable en série entière sur $] - r, r [$ .

III.2.5 Remarque

Il existe des fonctions

C^{\infty}

sans être développable en série entière. Par exemple

f : x \mapsto \exp (- \frac{1}{x^{2}})

prolongée en 0 par

f (0) = 0

est de classe

C^{\infty}

sur

R

(par récurrence, et application précise du théorème de prolongement

C^{1}

). Par contre sa série deTaylor est nulle et donc

f

ne coïncide avec cette série sur aucun intervalle infini centré en 0.

III.2.6 Parité

f

est DSE et paire, alors les

a_{2 n + 1}

sont nuls. Si

f

est impaire, les

a_{2 n}

sont nuls.
Pour obtenir ce résultat, on utilise l'unicité des coefficients sur l'égalité

f (- x) = f (x)

f (- x) = - f (x)

III.3 Développements en pratique

Dans les preuves des résultats qui suivent se trouvent les méthodes principales pour prouver qu'une fonctions est développable et calculer son développement.

III.3.1 Exemple

Donner le DSE (si possible) de

f : x \mapsto \frac{\ln (1 - x)}{1 - x}

qui est définie sur

] - \infty, - 1 [

. Soit

x \in] - 1, 1 [

(dans l'intervalle de convergence des deux séries entières que l'on voit apparaître ici).

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{- 1}{n} x^{n} \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = - \sum_{n = 1}^{+ \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) x^{n} \end{aligned}$

A priori ce produit de Cauchy a un rayon de convergence

R \geq 1

(cf théorème I.3.6 ) Or

\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k} = (H_{n})_{n \geq 1}

diverge donc la suite

(H_{n} 1^{n})

n'est pas bornée. Ainsi

R \leq 1

. Finalement

R = 1

f

est développable sur

] - 1, 1 [

.
Remarque : on ne pouvait pas espérer beaucoup plus pour un DSE, vu que

f

est définie sur

] - \infty, 1 [

. Ceci n'empêchait pas a priori la série entière d'avoir un rayon plus grand que 1...

III.3.2 Proposition

\sin

\cos

sont développable en série entière sur

R

et pour tout

x \in R

\cos (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} et \sin (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}

Preuve

Prouvons le pour

\cos

.
Premièrement, le rayon de convergence de la série considéré est

+ \infty

. Soit

x \in R

N \in N

. Alors

| \cos^{(N + 1)} | \leq 1

sur tout intervalle et d'après l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée entre 0 et

x

| \cos (x) - \sum_{n = 0}^{N} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} | \leq \frac{| x^{2 N + 1} \times 1}{(2 N + 1)!}

Par croissances comparées

\frac{| x^{2 N + 1} |}{(2 N + 1)!} \underset{N \to + \infty}{\to} 0

\cos

coïncide bien avec son développement de Taylor sur

R

III.3.3 Formules d'Euler

Montrons que pour

x \in R

on a

\cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2} et \sin (x) = \frac{e^{- i x} - e^{- i x}}{2 i}

Pour

x \in R

on a

$\begin{aligned} \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2} & = \frac{1}{2} (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{i^{n} x^{n}}{n!} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n} i^{n} x^{n}}{n!}) \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{i^{n} x^{n}}{n!} (1 + (- 1)^{n}) = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{i^{2 k} x^{2 k}}{(2 k)!} \times 2 \end{aligned}$

où on a remarqué que

1 + (- 1)^{n}

vaut 0 lorsque

n

est impair et 2 lorsque

n

est pair.
De plus, pour

k \in N

i^{2 k} = (i^{2})^{k} = (- 1)^{k}

. Finalement

\frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} x^{2 k} = \cos (x)

d'après la proposition précédente.

III.3.4 Proposition

s h

c h

sont développable en série entière sur

R

et pour tout

x \in R

c h (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n} et s h (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}

Preuve

Similaire. A faire en exo. On peut également utiliser les opérations sur les DSE en remarquant que

c h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

III.3.5 Proposition

Soit

α \in R

f_{α} : x \mapsto (1 + x)^{α}

est développable en série entière sur

] - 1, 1 [

(1 + x)^{α} = 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n}

Le coefficient de

x^{n}

est un quotient d'un produit de

n

termes par

n!

.
Si

α \in N

, le rayon de convergence est

+ \infty

et le développement est en fait une somme finie.

Preuve

Considérons le problème de Cauchy

{\begin{cases} y (0) = 1 \\ (1 + x) y^{'} (x) - α y (x) = 0 \end{cases}

. Clairement

f_{α}

est solution sur

] - 1, + \infty [

. On considère que

α \notin N

Analyse
Cherchons maintenant une solution $g$ somme d'une série entière de rayon $R > 0$ , $g = \sum_{n \in N} a_{n} x^{n}$ .

Alors

$\begin{aligned} (1 + x) g^{'} (x) - α g (x) = 0 & ⟺ (1 + x) \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} - α \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = 0 \\ ⟺ \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n} - α \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = 0 \\ ⟺ \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} (n - α) a_{n} x^{n} = 0 \\ ⟺ \sum_{n = 0}^{+ \infty} ((n + 1) a_{n + 1} + (n - α) a_{n}) x^{n} = 0 \end{aligned}$

R > 0

\forall n \in N a_{n + 1} = \frac{α - n}{(n + 1)} a_{n}

g (0) = 1

a_{0} = 1

a_{n} = \frac{\prod_{k = 0}^{n - 1} (α - k)}{n!}

Synthèse
Considérons la série entière $\sum_{n \in N} a_{n} x^{n}$ où $a_{n} = \frac{\prod_{k = 0}^{n - 1} (α - k)}{n!} \neq 0 et a_{0} = 1$ .
Calculons le rayon de convergence $R$ de cette série. Pour $x \neq 0$ on a
$\frac{| a_{n + 1} x^{n + 1} |}{| a_{n} x^{n} |} = \frac{| α - n |}{n + 1} | x | \underset{n \to + \infty}{\to} 1 \times | x |$
Aucun besoin de simplifier le quotient, c'est la relation de récurrence qui donne le résultat.
Ainsi si $| x | > 1$ la série entière diverge et donc $R \leq 1$ .
De plus, si $| x | < 1$ la série converge et donc $R \geq 1$ .
Finalement, $R = 1 > 0$ et le calcul fait dans l'analyse montre que la fonction somme est solution du problème de Cauchy considéré sur $] - 1, 1 [$ .

Par unicité de la solution à un problème de Cauchy (sur un intervalle),

f_{α}

est développable en série entière sur

] - 1, 1 [

III.3.6 Exemple

Soit

p \in N ∖ {0}

. Donnons le DSE de

x \mapsto \frac{1}{(1 - x)^{p}}

qui est de rayon 1 d'après le théorème précédent.
Nous devons calculer, pour

n \in N ∖ {0}

\prod_{k = 0}^{n - 1} (- p - n) = (- 1)^{n} \prod_{k = 0}^{n - 1} (p + n) = (- 1)^{n} \frac{(n + p - 1)}{(p - 1)!}

. Ainsi, pour

x \in] - 1, 1 [

\frac{1}{(1 - x)^{p}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{(n + p - 1)!}{(p - 1)!} \frac{1}{n!} (- 1)^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\binom{n + p - 1}{p - 1}) x^{n}

III.3.7 Exemple

Montrons que

\arcsin

est DSE et donnons son développement.

x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

est DSE sur l'ensemble

{x \in R | x^{2} \in] - 1, 1 [} =] - 1, 1 [

. et on a pour

x \in] - 1, 1 [

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \prod_{k = 0}^{n - 1} (- \frac{1}{2} - k) \frac{1}{n!} (- 1)^{n} x^{2 n}

(rappel : un produit vide vaut 1 par convention).
Or pour

n \in N ∖ {0}

\prod_{k = 0}^{n - 1} (- \frac{1}{2} - k) = \prod_{k = 0}^{n - 1} \frac{- 2 k - 1}{2} = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}} \prod_{k = 0}^{n - 1} (2 k + 1) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}} \frac{(2 n)!}{2^{n} n!}

par l'opération classique consistant à multiplier et diviser par le produit des nombres pairs entre 2 et

2 n

.
Finalement,

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(2 n)!}{4^{n} (n!)^{2}} x^{2 n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{4^{n}} x^{2 n}

. Par intégration terme à terme :

\arcsin (x) = \underset{\arcsin (0)}{\underset{⏟}{0}} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{(2 n + 1) 4^{n}} x^{2 n + 1}

et le rayon de convergence est 1.

III.3.8 Formulaire

A savoir
$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n}$	$x \in] - 1, 1 [$
$\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} x^{n}$	$x \in] - 1, 1 [$
$(1 + x)^{α} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n}$	$x \in] - 1, 1 [$
$(1 + x)^{α} = 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{\prod_{k = 0}^{n - 1} (α - k)}{n!} x^{n}$	$x \in] - 1, 1 [$
$e^{x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!}$	$x \in R$
$\cos (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}$	$x \in R$
$\sin (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$	$x \in R$
$c h (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$	$x \in R$
$s h (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$	$x \in R$
A savoir refaire
$- \ln (1 - x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n}$	$x \in] - 1, 1 [$
$\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} x^{n}$	$x \in] - 1, 1 [$
$\arcsin (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{(2 n + 1) 4^{n}} x^{2 n + 1}$	$x \in] - 1, 1 [$
$\arctan (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1}$	$x \in] - 1, 1 [$