Compléments sur les espaces vectoriels

Dans ce chapitre

K

désigne

R ou C

I Espaces vectoriels

I.1 Sous-espaces et dimension

I.1.1 Définition

Soit

E

K

-espace vectoriel.

On dit que $E$ est de dimension finie ssi $E$ possède une famille génératrice finie $E = V e c t (u_{1}, \dots, u_{p})$ c'est à dire que chaque élément de $x \in E$ peut s'écrire sous la forme $x = \sum_{k = 1}^{p} λ_{k} u_{k}$ où les $λ_{k} \in K$ sont des scalaires.
Dans le cas où $E$ est de dimension finie, $E$ possède au moins une base et toutes les bases de $E$ ont le même cardinal que l'on appelle la dimension de $E$ et que l'on note $\dim_{K} (E)$ ou plus simplement $\dim (E)$ s'il n'y a pas d'ambiguïté sur $K$

I.1.2 Dimensions usuelles

$\dim_{K} (K) = 1$ , une base est $(1)$
$\dim_{R} (C) = 2$ et la base canonique est $(1, i)$ .
$\dim_{K} (K^{n}) = n$ .
$\dim_{K} (K_{n} [X]) = n + 1$
$\dim_{R} (C^{n}) = 2 n$
$\dim_{K} (M_{n, p} (K)) = n \times p$

I.1.3 Remarque

Plus généralement, si

E

est un

C

-espace vectoriel de dimension

n

, alors on peut considérer

E

comme un

R

-espace vectoriel et

\dim_{R} (E) = 2 n

I.1.4 Proposition (Formules de dimension)

On considère

E, F

deux

K

-espaces vectoriels de dimensions finies. Soit également

m, n \in N ∖ {0}

$\dim (E \times F) = \dim (E) + \dim (F)$
$\dim (L (E, F)) = \dim (E) \times \dim (F)$
$\dim (L (E)) = (\dim (E))^{2}$
Si $E, F$ sont deux sous-espaces d'un même espace vectoriel, $\dim (E + F) = \dim (E) + \dim (F) - \dim (E \cap F)$

I.1.5 Rappel

Dans un espace de dimension fini,

\dim (E) = n

, on a pour une famille

F = (u_{1}, \dots, u_{p})

Si $F$ est libre alors $p \leq n$ .
Si $F$ est génératrice alors $p \geq n$ .

I.1.6 Théorème

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

F

un sous-espace de

E

$F$ est de dimension fini et $\dim (F) \leq n$
$F = E$ ssi $\dim (F) = n$

Preuve

Une idée de la preuve (voir le cours de sup pour plus de détails) :
On considère une famille libre de cardinal maximal dans

F

(le cardinal des familles libres est forcément

\leq n

d'après le point précédent) et on montre que cette famille est forcément génératrice de

F

I.1.7 Exemple

On se sert très souvent de la deuxième partie de cette propriété pour prouver l'égalité de deux espaces.
Considérons par exemple le plan

P : x + y + z = 0

dans

R^{3}

. On vérifie aisément que

u = (1, - 1, 0)

v = (1, 0, - 1)

sont des éléments de

P

et donc

V e c t (u, v) \subset P

. De plus,

V e c t (u, v)

est de dimension 2, tout comme

P

car

(u, v)

est libre. Donc

P = V e c t (u, v)

(et on a en fait trouvé une base de

P

I.2 Supplémentaires

I.2.1 Définition

Soient

E

K

-espace vectoriel et

F, G

deux sous-espaces. La somme de

F

G

est

F + G = {x_{F} + x_{G} | x_{F} \in F et x_{G} \in G}

. C'est un espace vectoriel et on a même

F + G = V e c t (F \cup G)

I.2.2 Exemple

Dans

R^{2}

, la somme de deux droites vectorielles non confondues est

R^{2}

: on raisonne sur la dimension de l'espace vectoriel somme qui vaut forcément 2 (par élimination des deux autres cas).
Dans

R^{3}

la somme d'un plan et d'une droite non contenue dans ce plan est

R^{3}

I.2.3 Famille génératrice

Si on dispose d'une famille

(u_{i})

génératrice de

F

et d'une famille

(v_{i})

génératrice de

G

, alors la concaténation de ces familles engendre

F + G

.
Ainsi, en dimension finie,

\dim (F + G) \leq \dim (F) + \dim (G), \dim (F + G) \geq \dim (F), \dim (F, + G) \geq \dim (G)

I.2.4 Exemple

On se place dans

R^{3}

.
Donner une base de

P_{1} + P_{2}

où

P_{1} : x - y + 2 z = 0

P_{2} = V e c t ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}))

.
On a

P_{1} = V e c t ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}))

( en résolvant le système à 3 inconnue et une seule équation, on a posé

y, z

comme paramètres ).
Alors

P_{1} + P_{2} = V e c t ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}))

( cette famille génératrice ne peut pas être libre car elle est de cardinal 4 dans un espace de dimension maximale 3 ). on remarque la présence de deux fois le même vecteur. Alors

P_{1} + P_{2} = V e c t ((\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}))

il reste à prouver que cette dernière famille est libre. Considérons sa matrice dans la base canonique,

M = (\begin{matrix} - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

. Par l'opération

L_{1} \leftarrow L_{1} + 2 L_{3}

puis développement par rapport à la première ligne,

det (M) = + 1 \times | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 1

et donc

M \in G L_{3} (R)

. Ainsi la famille de ses colonnes forme une base de

R^{3}

donc est libre et est une base de

P_{1} + P_{2}

.
Deuxième méthode :

P_{1} \subset P_{1} + P_{2} \subset R^{3}

donc

2 \leq \dim (P_{1} + P_{2}) \leq 3

. De plus,

\dim (P_{1} + P_{2}) = 2

ssi

P_{1} + P_{2} = P_{1}

d'après I.1.6 ; Or

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \notin P_{1}

( il ne vérifie pas l'équation ) et donc

P_{1} + P_{2} \neq P_{1}

et la seule possibilité restante est

\dim (P_{1} + P_{2}) = 3

et donc

P_{1} + P_{2} = R^{3}

.
Finalement une base de

P_{1} + P_{2}

est la base canonique de

R^{3}

I.2.5 Définition

Soient

E

K

-espace vectoriel et

F, G

deux sous-espaces. On dit que

F et G

sont supplémentaires dans

E

et on note

E = F \oplus G

ssi

\forall x \in E \exists! (x_{F}, x_{G}) \in F \times G x = x_{F} + x_{G}

Avec ces notations,

x_{F}

est appelé le projeté de

x

sur

F

dans la direction

G

(ou parallèlement à

G

) et

x_{G}

le projeté de

x

sur

G

dans la direction

F

I.2.6 Caractérisation

On montre facilement (en sup) que

E = F \oplus G ⟺ {\begin{cases} E = F + G \\ F \cap G = {0_{E}} \end{cases}

I.2.7 Exemple

$M_{n} (K) = S_{n} (K) \oplus A_{n} (K)$ et la décomposition associée est $A = \frac{1}{2} (A +^{t} A) + \frac{1}{2} (A -^{t} A)$ .
La preuve se fait par analyse-synthèse.
Notons $F = {f : R \to R | f est paire} et G = {f : R \to R | f est impaire}$ .
Alors $R^{R} = F \oplus G$ , les éléments correspondants à $f \in E$ dans $F et G$ étant respectivement $x \mapsto \frac{f (x) + f (- x)}{2} et x \mapsto \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ .

I.2.8 Théorème (Théorème de la base adaptée)

Soit

E

un espace de dimension fini et

F, G

des sous-espaces de

E

E = F \oplus G

ssi la concaténation d'une base de

F

et d'une base de

G

est une base de

E

. On dit que la base obtenue (par concaténation) est adaptée à la somme

F \oplus G

.
On a alors évidemment

\dim (E) = \dim (F) + \dim (G)

Preuve

Soient

(f_{1}, \dots, f_{p})

une base de

F

(g_{1}, \dots, g_{r})

une base de

G

On suppose dans un premier temps que $E = F \oplus G$ .
Montrons que $B = (f_{1}, \dots, f_{p}, g_{1}, \dots, g_{r})$ est une base de $E$ .

Caractère générateur.

x \in E

(x_{F}, x_{G}) \in F \times G

x = x_{F} + x_{G}

(f_{1}, \dots, f_{p})

F

x_{F}

(f_{1}, \dots, f_{p})

x_{G}

(g_{1}, \dots, g_{r})

x

B

E = V e c t (f_{1}, \dots, f_{p}, g_{1}, \dots, g_{r})

Caractère libre.

α_{1}, \dots, α_{p}, β_{1}, \dots, β_{r} \in K

\sum_{k = 1}^{p} α_{k} f_{k} + \sum_{k = 1}^{r} β_{r} g_{r} = 0_{E} .

\underset{\in F}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{p} α_{k} f_{k}}} = \underset{\in G}{\underset{⏟}{- \sum_{k = 1}^{r} β_{r} g_{r}}}

F \cap G = {0_{E}}

(f_{1}, \dots, f_{p})

(g_{1}, \dots, g_{r})

α_{k}

β_{k}

B

Supposons réciproquement que $B = (f_{1}, \dots, f_{p}, g_{1}, \dots, g_{r})$ est une base de $E$ . Montrons que $E = F \oplus G$ .
Soit $x \in E$ . Par définition d'une base on peut poser $α_{1}, \dots, α_{p}, β_{1}, \dots, β_{r} \in K$ tels que $x = \sum_{k = 1}^{p} α_{k} f_{k} + \sum_{k = 1}^{r} β_{r} g_{r}$ ( ces scalaires sont les coordonnées de $x$ dans $B$ ).
On a immédiatement sous cette forme $x \in F + G$ et donc $E = F + G$ (car l'inclusion $F + G \subset E$ est triviale.)

x_{F} = \sum_{k = 1}^{p} α_{k} f_{k} \in F

x_{G} = \sum_{k = 1}^{r} β_{r} g_{r} \in G

x = x_{F} + x_{G}

F

G

x_{F}

α_{k}

x_{G}

β_{k}

F et G

I.2.9 Corollaire

En dimension finie, tout sous-espace possède au moins un supplémentaire.

Preuve

Il s'agit d'appliquer le théorème de la base incomplète à une base de

F

(pour la famille libre) et une base de

E

(pour la famille génératrice).

I.2.10 Théorème (Grassmann)

Soient

F, G

deux sous-espaces de dimension finies d'un espace vectoriel

E

. Alors

\dim (F + G) = \dim (F) + \dim (G) - \dim (F \cap G)

Preuve

Une idée de la preuve : considérer

H

un supplémentaire de

F \cap G

dans

G

(possible d'après le corollaire précédent) et montrer que

F \oplus H = F + G

I.2.11 Corollaire

Dans un espace de dimension finie, on a

E = F \oplus G ⟺ {\begin{cases} F + G = E \\ \dim (F) + \dim (G) = \dim (E) \end{cases} ⟺ {\begin{cases} F \cap G = {0_{E}} \\ \dim (F) + \dim (G) = \dim (E) \end{cases}

Preuve

Utiliser la formule de Grassman :

\dim (F + G) = \dim (F) + \dim (G)

ssi

\dim (F \cap G) = 0 ⟺ F \cap G = {0_{E}}

I.2.12 Exercice

Caractériser (donner une ou des CNS sur) les espaces supplémentaires dans

R^{2} et R^{3}

I.3 Hyperplans

I.3.1 Définition

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie ou infinie. Un sous-espace

H

E

est appelé hyperplan ssi H admet une droite comme supplémentaire.

I.3.2 Proposition

Les hyperplan de

E

de dimension

n > 0

sont exactement les sous-espaces de dimension

n - 1

I.3.3 Exemple

Les droites du plan, les plans dans l'espace. Remarquer les équations cartésiennes similaires dans ces cas.

I.3.4 Hyperplans et équations

Si on considère un système à 1 équation et

n

inconnues (équation non triviale) alors l'ensemble des solutions est un hyperplan.
Par exemple,

F = {P \in R_{n - 1} [X]; P (2) = 0}

est un hyperplan de

R_{n - 1} [X]

(les

n

inconnues sont ici les coefficients de d'un polynôme

P

I.4 Sommes directes d'espaces vectoriels

I.4.1 Définition-proposition

Soit

E

K

-espace vectoriel et

F_{1} \dots F_{p}

des sous espaces de

E

La somme des espaces $(F_{i})_{i \in ⟦ 1, p ⟧}$ est $\sum_{i = 1}^{p} F_{i} = {u_{1} + \dots + u_{p} | u_{1} \in F_{1} et u_{2} \in F_{2} et \dots et u_{p} \in F_{p}}$ .
C'est le sous espace de $E$ engendré par les $F_{i}$
On dit que la somme $F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}$ est une somme directe et on note $F = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ ssi tout vecteur $u \in F$ s'écrit de manière unique sous la forme $u = u_{1} + \dots + u_{p}$ avec $\forall i \in ⟦ 1, p ⟧ u_{i} \in F_{i}$ .

La somme et la somme directe sont associatives, ce qui permet de justifier a posteriori l'utilisation de

\sum

⨁

Preuve

Il s'agit de montrer que $\sum_{i = 1}^{n} F_{i}$ est un sous-espace de $E$ et que la somme d'espace est associative. Nous allons le montrer dans le cas $p = 3$ et on pourrait généraliser facilement (seule la formalisation est plus délicate).
Montrons que
$\underset{cette définition}{\underset{⏟}{F_{1} + F_{2} + F_{3}}} = \underset{somme de deux espaces}{\underset{⏟}{(F_{1} + F_{2}) + F_{3}}} = \underset{somme de deux espaces}{\underset{⏟}{F_{1} + (F_{2} + F_{3})}}$
Soit $x \in F_{1} + F_{2} + F_{3}$ . Alors on peut écrire $x = u_{1} + u_{2} + u_{3}$ où $u_{i} \in F_{i}$ pour $i \in ⟦ 1, 3 ⟧$ .
Alors $x = (u_{1} + u_{2}) + u_{3} \in (F_{1} + F_{2}) + F_{3}$ et $x = u_{1} + (u_{2} + u_{3}) \in F_{1} + (F_{2} + F_{3})$ et on a prouvé deux inclusions.
Soit maintenant $x \in (F_{1} + F_{2}) + F_{3}$ . Alors on peut écrire $x = u + u_{3}$ où $u \in F_{1} + F_{2}$ et $u_{3} \in F_{3}$ par définition de la somme de deux espaces. Comme $u \in F_{1} + F_{2}$ , on peut écrire $u = u_{1} + u_{2}$ où $u_{1} \in F_{1} et u_{2} \in F_{2}$ . Finalement on a bien $x \in F_{1} + F_{2} + F_{3}$ .
De la même manière $F_{1} + (F_{2} + F_{3}) \subset F_{1} + F_{2} + F_{3}$ et on a bien
$F_{1} + F_{2} + F_{3} = (F_{1} + F_{2}) + F_{3} = F_{1} + (F_{2} + F_{3})$
ce qui prouve au passage que $F_{1} + F_{2} + F_{3}$ est un sous-espace de $E$ en tant que somme de deux sous-espaces.
On a alors $F_{1} + F_{2} + F_{3} = V e c t ((F_{1} \cup F_{2}) \cup F_{3}) = V e c t (F_{1} \cup F_{2} \cup F_{3})$ .
Comme la somme d'espaces est associative, la somme directe l'est aussi.

I.4.2 Remarque

Le cas

p = 2

est déjà connu. La somme

F + G

est directe ssi

F et G

sont supplémentaires dans

F + G

. Autrement dit

F + G = F \oplus G ⟺ F \cap G = {0_{E}}

I.4.3 Exercice

Trouver 3 espaces

D_{1}, D_{2}, D_{3}

tels que

R^{3} = D_{1} \oplus D_{2} \oplus D_{3}

I.4.4 Théorème

Soient

F_{1}, \dots, F_{p}

des sous espaces de

E

. La somme

\sum_{i = 1}^{p} F_{i}

est directe ssi

\forall (u_{1}, \dots, u_{n}) \in \prod_{i = 1}^{p} F_{i} u_{1} + \dots + u_{p} = 0_{E} ⟺ u_{1} = u_{2} = \dots = u_{p} = 0_{E} .

Ainsi il suffit de vérifier que le vecteur nul possède une unique écriture sous forme de somme.

Preuve

Si on suppose la somme directe, alors le vecteur nul s'écrit de manière unique comme

0_{E} = \underset{\in F_{1}}{\underset{⏟}{0_{E}}} + \dots + \underset{\in F_{p}}{\underset{⏟}{0_{E}}}

.
Réciproquement, supposons que

\forall (u_{1}, \dots, u_{n}) \in \prod_{i = 1}^{p} F_{i} u_{1} + \dots + u_{p} = 0_{E} ⟺ u_{1} = u_{2} = \dots = u_{p} = 0_{E}

. Soit

u \in \sum_{i = 1}^{p} F_{i}

. Montrons que sa décomposition en somme est unique.
Si on a

u = \sum_{i = 1}^{p} u_{i} = \sum_{i = 1}^{p} u_{i}^{'}

avec

\forall i \in ⟦ 1, p ⟧ u_{i}, u_{i}^{'} \in F_{i}

alors

\sum_{i = 1}^{p} \underset{\in F_{i}}{\underset{⏟}{(u_{i} - u_{i}^{'})}} = u - u = 0_{E}

et donc

u_{i} - u_{i}^{'} = 0_{E}

pour tout

i \in ⟦ 1, p ⟧

par hypothèse.

I.4.5 Exemple

Montrer que si

B = (e_{i})_{i \in ⟦ 1, n ⟧}

est une base de

E

alors

E = ⨁_{i = 1}^{n} V e c t (e_{i})

.
On a déjà

\sum_{i = 1}^{n} V e c t (e_{i}) = V e c t (e_{1}, \dots, e_{n}) = E

car

B

est génératrice de

E

.
De plus, si on pose des

u_{i} \in F_{i} = V e c t (e_{i})

pour

i \in ⟦ 1, n ⟧

tels que

\sum_{i = 1}^{n} u_{i} = 0_{E}

alors on peut écrire

u_{i} = α_{i} e_{i}

car

u_{i} \in V e c t (e_{i})

pour tout

i

.
On a donc

\sum_{i = 1}^{n} α_{i} e_{i} = 0_{E}

et comme

B

est libre

\forall i \in ⟦ 1, n ⟧ α_{i} = 0_{K}

et donc

u_{i} = 0_{E}

ce qui conclut.

I.4.6 Définition-proposition (Théorème de la base adaptée)

Soient

F_{1}, \dots, F_{p}

des sous espaces de

E

, de dimensions finies. Notons

F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}

F = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}

ssi la concaténation de bases des

F_{i}

est une base de

F

.
Une telle base de

F

est dite adaptée à la somme directe.

Preuve

Procéder par récurrence sur le nombre d'espace, le cas

p = 2

étant le théorème de la base adaptée pour les espaces supplémentaires.

I.4.7 Remarque

Observer le ssi, et surtout la réciproque. Il est facile de décomposer un espace en somme si on en connaît une base. Par exemple $R_{3} [X] = V e c t (1) \oplus V e c t (X, X^{2}) \oplus V e c t (X^{3})$ .
On obtient immédiatement $\dim (⨁_{i = 1}^{p} F_{i}) = \sum_{i = 1}^{p} \dim (F_{i})$ .

I.4.8 Pour les 5/2

Quels genre de sous-espaces sont forcément en somme directe ?
Réponse : des espaces propres associés à des valeurs propres distinctes.

II Applications linéaires

II.1 Propriétés générales

II.1.1 Définition

Soient

E, F

deux

K

-espaces vectoriels et

f : E \to F

. On dit que

f

est linéaire ssi

\forall α, β \in K \forall x, y \in E f (α x + β y) = α f (x) + β f (y)

On a alors

f (0_{E}) = 0_{F}

.
Si

F = K

on dit que

f

est une forme linéaire . L'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

est noté

L (E, F)

II.1.2 Exemple

Quelques exemples important (avec des notations évidentes) :

f \mapsto f^{'}, f \mapsto \int_{a}^{b} f, (u_{n})_{n} \mapsto (u_{n + 1})_{n}, P \mapsto P (X + 1), P \mapsto P (a)

(avec un

a \in K

fixé).
D'autres plus géométriques : les projection (orthogonales ou non) et symétries, les rotations du plan et de l'espace.

II.1.3 Application canoniquement associée

Soit

A \in M_{n, p} (K)

. L'application linéaire canoniquement associée à

A

est

f : {\begin{array}{rcl} K^{p} & \to & K^{n} \\ X & \mapsto & A X \end{array}

et la matrice dans les bases canoniques de

K^{p} et K^{n}

f

est la matrice

A

II.1.4 Proposition

$L (E, F)$ est un $K$ -espace vectoriel (de dimension $\dim (E) \times \dim (F)$ quand $E, F$ sont de dimensions finies).
Quand elle existe, la composée de deux applications linéaire est linéaire.
Quand elle existe, la bijection réciproque d'une application linéaire est linéaire.

II.1.5 Définition

Soit

f \in L (E, F)

Son noyau est $\ker (f) = f^{- 1} ({0}) = {x \in E | f (x) = 0_{F}}$ .
Son image est $I m (f) = f (E) = {y \in F | \exists x \in E y = f (x)}$ .

II.1.6 Exemple

Notons

B = (1, X, X^{2})

la base canonique de

R_{2} [X]

f \in L (R_{2} [X])

telle que

{M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 2 \end{matrix})

. Calculer

\ker (f)

.
On trouve

\ker (f) = V e c t (1 - X - X^{2})

il faut transformer la colonne

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix})

trouvée pour la matrice en un vecteur de

R_{2} [X]

en se souvenant que les coefficients sont en fait les coefficients dans la base canonique de

R_{2} [X]

II.1.7 Proposition

Soient

f \in L (E, F)

G

un sous-espace de

E

H

un sous-espace de

F

.
Alors

f (G) et f^{- 1} (H)

sont des sous-espaces de

F

E

respectivement. En particulier

\ker (f)

est un sous-espace de

E

I m (f)

est un sous-espace de

F

Preuve

Montrons que $f (G)$ est un sous espace de $F$ .
Soient donc $x, y \in f (G), λ, μ \in K$ . Montrons que $λ x + μ y \in f (G)$ .
Or $x, y \in f (G)$ donc on peut poser $u, v \in G$ tels que $x = f (u) et y = f (v)$ . Alors, par linéarité, $λ x + μ y = f (λ u + μ G) \in f (G)$ car $λ u + μ v \in G$ (c'est un espace vectoriel).
Montrons que $f^{- 1} (H)$ est un sous-espace de $E$ .
Soient $x, y \in f^{- 1} (H)$ et $λ, μ \in K$ .
Alors $f (λ x + μ y) = λ \underset{\in H}{\underset{⏟}{f (x)}} + μ \underset{\in H}{\underset{⏟}{f (y)}} \in H$ car $H$ est un sous-espace de $F$ donc $λ x + μ y \in f^{- 1} (H)$

II.1.8 Rappels

Soit

f \in L (E, F)

$f$ est injective ssi $\ker (f) = {0_{E}}$ .
$f$ est surjective ssi $I m (f) = F$ (valable même si $f$ n'est pas linéaire).
Si $E = V e c t (e_{1}, \dots, e_{n})$ alors $I m (f) = V e c t (f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ .
Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ , $f$ est bijective (isomorphisme) ssi $(f (e_{1}), \dots f (e_{n}))$ est une base de $F$ .
Pour une application linéaire $f \in L (E, F)$ avec $E$ de dimension finie, si $f$ est bijective alors on a forcément $\dim (F) = \dim (E)$ .

II.1.9 Équation linéaire

On dit d'une équation qu'elle est linéaire ssi elle est de la forme

f (x) = b

où

f \in L (E, F)

est une application linéaire,

b \in F

est fixé et l'inconnue est

x

, un élément de

E

.
Par exemple :

$\forall x \in R y^{″} (x) + 3 y^{'} (x) + x y (x) = \cos (x)$ d'inconnue $y \in C^{2} (R, R)$ est une équation linéaire et ici $f : y \mapsto y^{″} + 3 y^{″} - I d$ et $b = \cos$ . On prouve facilement que $f$ est linéaire (par compositions, et combinaison linéaire).
le système de matrice $A \in M_{n, p} (K)$ et second membre $B \in K^{n}$ peut s'écrire $A X = B$ où l'inconnue est $X \in K^{p}$ est également une équation linéaire. Cette fois l'application linéaire est l'application canoniquement associée à $A$ .

Dans tous les cas si on dispose d'une solution particulière

x_{p}

qui vérifie donc

f (x_{p}) = b

on peut écrire

f (x) = b ⟺ f (x) = f (x_{p}) ⟺ f (x - x_{p}) = 0 ⟺ x - x_{p} \in \ker (f) ⟺ x \in x_{p} + \ker (f)

et donc toute solution de

f (x) = 0

est de la forme

x_{p} + x_{H}

où

x_{p}

est une solution particulière et

x_{H}

une solution de l'équation homogène associée.

II.2 Applications linéaires et dimension

II.2.1 Proposition (Théorème d'isomorphisme)

Soit

f \in L (E, F)

où

E et F

sont deux

K

(espaces vectoriels.
Si

H

un supplémentaire de

\ker (f)

dans

E

alors

f_{| H} : {\begin{array}{rcl} H & \to & I m (f) \\ x & \mapsto & f (x) \end{array}

est un isomorphisme.

Preuve

On a

f_{| H} : {\begin{array}{rcl} H & \to & I m f \\ x & \mapsto & f (x) \end{array}

H \oplus \ker (f) = E

. Il s'agit bien d'une application linéaire de

L (H, I m f)

$\ker f_{| H} = {x \in H | f (x) = 0} = H \cap \ker f = {0_{E}}$ car $H$ et $\ker f$ sont en somme directe.
Soit $y \in I m f$ . Alors il existe $x \in E$ tel que $f (x) = y$ .
Or on peut écrire $x = x_{H} + x_{K}$ avec $x_{H} \in H$ et $x_{K} \in \ker f$ . Ainsi $f (x) = f (x_{H}) + f (x_{K}) = f (x_{H}) + 0_{E}$ et donc $y = f (x_{H}) = f_{| H} (x_{H})$ .
Donc $I m f_{| H} = I m f$ .

Finalement

f_{| H}

est bien un isomorphisme linéaire.

II.2.2 Théorème (Théorème du rang)

Soit

f \in L (E, F)

et supposons

E

de dimension finie . Alors

\dim (E) = \dim (\ker (f)) + r g (f)

Preuve

Comme

E

est de dimension finie, on peut poser

H

un supplémentaire de

\ker (f)

dans

E

. Alors

\dim (H) = \dim (E) - \dim (\ker (f))

et d'après le théorème précédent,

\dim (H) = \dim (I m (f)) = r g (f)

ce qui conclut.

II.2.3 Exemple

E

est de dimension

n

f \in L (E, K)

est une forme linéaire non nulle, alors

\dim (\ker (f)) = n - 1

II.2.4 Corollaire

Soit

E, F

des espaces de même dimension et

f \in L (E, F)

f est bijective ⟺ f est injective ⟺ f est surjective

Dans le cas où

f

est un endomorphisme, les dimensions de

E et F

sont évidemment égales et ce résultat s'applique.

II.2.5 Exemple (Polynômes interpolateur de Lagrange)

Soient

a_{0}, \dots a_{n} \in K

des scalaires deux à deux distincts.
L'application

ϕ : {\begin{array}{rcl} K_{n} [X] & \to & K^{n + 1} \\ P & \mapsto & (\begin{array}{c} P (a_{0}) \\ ⋮ \\ P (a_{n}) \end{array}) \end{array}

est injective (compter les racines d'un polynôme du noyau, seul le polynôme nul en possède autant) et donc bijective.
En conséquence, si on fixe

y_{0}, \dots, y_{n} \in K

(quelconques cette fois), il existe un unique polynôme

P \in K_{n} [X]

tel que

\forall i \in ⟦ 0, n ⟧ P (a_{i}) = y_{i}

, ou encore par

n + 1

points d'abscisses 2 à 2 distinctes il passe une unique courbe polynomiale de degré

n

ou moins.
Pour déterminer

P

, on calcule les

P_{i}

tels que

ϕ (P_{i}) = e_{i}

i

ème vecteur de la base canonique de

K^{n + 1}

. Un raisonnement rapide sur les racines (2 à 2 distinctes) de

P_{i}

montre que

P_{i} = α_{i} \prod_{\begin{matrix} j = 0 \\ \neq i \end{matrix}}^{n} (X - a_{j})

et comme

P_{i} (a_{i}) = 1

on trouve la valeur de

α_{i}

.
Ensuite, la linéarité de

ϕ

montre que

ϕ (\sum_{i = 0}^{n} y_{i} P_{i}) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} e_{i}

et donc

P = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} P_{i}

II.2.6 Corollaire

Soit

f \in L (E)

où

E

est de dimension finie.

f \in G L (E) ⟺ \exists g \in L (E) f \circ g = I d_{E} ⟺ \exists g \in L (E) g \circ f = I d_{E}

II.2.7 Exemple

Soit

f

un endomorphisme d'un espace de dimension finie, vérifiant

f^{2} - 3 f - I d = 0

. Montrer que

f

est un automorphisme et exprimer

f^{- 1}

.
On a

f \circ (f - 3 I d)

et donc

f

est bijective et

f^{- 1} = f - 3 I d

II.2.8 Remarque

C'est le pendant du théorème qui énonce qu'une matrice est inversible ssi on trouve un inverse à gauche ou un inverse à droite.

II.3 Espaces stables

II.3.1 Définition

Soit

f \in L (E)

F

un sous-espace de

E

. On dit que

F

est stable par

f

ssi

f (F) \subset F

II.3.2 Exemple

Soit

f \in L (E)

λ \in K

. Montrer que

F_{λ} = \ker (f - λ i d_{E})

est stable par

f

.
Soit

x \in F_{λ}

. Alors

(f - λ I d) (x) = 0_{E}

et donc

f (x) - λ x = 0_{E}

ou encore

f (x) = λ x

. Or

F_{λ}

est un sous-espace de

E

(car c'est un noyau d'endomorphisme) et donc

λ x \in F_{λ}

.
Ainsi

f (x) \in F_{λ}

F_{λ}

est effectivement stable par

f

II.3.3 Endomorphisme induit

F

est stable par

f

alors on peut définir

f_{| F} : {\begin{array}{rcl} F & \to & F \\ x & \mapsto & f (x) \end{array}

la restriction de

f

F

(le détail important ici est l'espace d'arrivé qui est illégal si

F

n'est pas stable).
Alors

f_{| F} \in L (F)

II.3.4 Familles génératrices

Soit

F = V e c t (e_{1}, \dots, e_{p})

F

est stable par

f

ssi

\forall j \in ⟦ 1, p ⟧ f (e_{j}) \in F

. En effet

f (F) = V e c t (f (e_{1}), \dots, f (e_{p}))

II.3.5 Exemple

Considérons l'application

f : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} - x + y + z \\ x - y + z \\ x + y - z \end{matrix})

.
On pose

u = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), v = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), w = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

F = V e c t (u, v) et G = V e c t (w)

.
Montrer que

B = (u, v, w)

est une base de

R^{3}

, que

F, G

sont stables par

f

, calculer

{M a t}_{(u, v)} (f_{F}), {M a t}_{(v)} (f_{G}) et {M a t}_{B} (f)

.
Réponse : Le déterminant dans la base canonique de

(u, v, w)

vaut -6 (faire l'opération

C_{3} \leftarrow C_{3} - \frac{1}{2} C_{1}

pour trouver un déterminant triangulaire.) et donc

B

est bien une base de

R^{3}

.
On a

f (w) = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = - 2 w \in G

et donc

G

est stable par

f

. De plus,

f (u) = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = - \frac{1}{2} u + \frac{3}{2} v

( on a cherché

α, β \in R

tels que

f (u) = α u + β v

) et

f (v) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{3}{2} u - \frac{1}{2} v

et donc

F

est stable par

f

.
Ces calculs permettent d'écrire les matrices demandées

{M a t}_{(u, v)} (f_{| F}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}), {M a t}_{(w)} f_{| G} = (- 2) et {M a t}_{B} (f) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

où les 0 sont la conséquence du fait que

G

est stable par

f

(seul

w

est nécessaire à l'expression de

f (w)

) et les 0 la conséquence de la stabilité de

F

par

f

(

f (u), f (v)

s'expriment en fonction de seulement

u et v

II.3.6 Théorème

Soit

F

un sous-espace de

E

B_{F}

une base de

F

que l'on complète en une base

B

E

. On note

n = \dim (E) et p = \dim (F)

F

est stable par

f

ssi

{M a t}_{B} (f)

est de la forme

(\begin{matrix} A & B \\ 0 & C \end{matrix})

où

$A \in M_{p} (K)$ ( et on a alors $A = {M a t}_{B_{F}} (f_{| F})$ )
$B \in M_{p, n - p} (K)$
$C \in M_{n - p} (K)$
0 représente la matrice nulle de $M_{n - p, p}$

Preuve

On note

M = (m_{i, j}) = {M a t}_{B} (f) \in M_{n} (K)

.
Supposons

F

stable par

f

et notons,

B = (e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})

(les

p

premiers sont dans

F

). Pour

j \in ⟦ 1, p ⟧

, on a

f (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i j} e_{i}

. Les derniers termes de cette somme sont nuls car

e_{j} \in F

, ainsi

f (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{p} m_{i j} e_{i}

. Ceci prouve que les n - p dernières lignes de

M

sont nulles dans les

p

premières colonnes.
Réciproquement, si

M

est de la forme annoncée, alors

f (e_{j})

n'a des coordonnées que sur

e_{1}, \dots, e_{p}

ie est dans

F

, et ce pour tout

j \in ⟦ 1, p ⟧

III Endomorphismes particuliers

III.1 Homothéties

III.1.1 Définition

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soit

λ \in K

. L'homothétie de rapport

λ

est l'application linéaire

{\begin{array}{rcl} E & \to & E \\ x & \mapsto & λ x \end{array}

III.1.2 Exemple

Deux homothéties très importantes : l'application nulle et l'identité.

III.1.3 Matrice d'une homothétie

On considère

E

de dimension finie égale à

n

cette fois et on note

h_{λ}

l'homothétie de rapport

λ

. Alors dans toute base

B

E

{M a t}_{B} (h_{λ}) = λ I_{n}

.
Matriciellement, la seule matrice semblable à

λ I_{n}

est elle même, car pour

P \in G L_{n} (K)

, on a

P^{- 1} λ I_{n} P = P^{- 1} P λ I_{n} = λ I_{n}

III.1.4 Commutation

Une homothétie commute avec tout endomorphisme.

III.2 Projecteurs, symétries

III.2.1 Définition

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soient également

F, G

deux sous-espaces de

E

, supplémentaires dans

E

. Tout

x \in E

s'écrit donc de manière unique comme

x_{F} + x_{G}

avec

x_{F} \in F

x_{G} \in G

. L'application

p : {\begin{array}{rcl} E & \to & E \\ x & \mapsto & x_{F} \end{array}

est appelé projecteur sur

F

parallèlement à

G

(ou de direction

G

). L'application

s : {\begin{array}{rcl} E & \to & E \\ x & \mapsto & x_{F} - x_{G} \end{array}

est appelé symétrie par rapport à

F

parallèlement à

G

(ou de direction

G

III.2.2 Illustration

On représente les deux projections d'un vecteur

u

R^{2}

sur les droites

F et G

supplémentaires dans

R^{2}

, avec les mêmes conventions de notation que la définition.

Pour obtenir les projections, on a tracé en pointillés les parallèles à

F

G

passant par l'extrémité de

u

. les projections sont obtenues par intersection de ces parallèles avec

G et F

respectivement.
Remarquons qu'on a bien

u = u_{F} + u_{G}

ou encore

u_{G} = u - u_{F}

III.2.3 Liens entre ces applications

On a les liens important entre ces applications : $s = 2 p - I d et p = \frac{s + I d}{2}$ .
Si $p^{'} et s^{'}$ désignent les projection et symétrie sur $G$ et de direction $F$ , on a $p + p^{'} = I d, p \circ p^{'} = 0 = p^{'} \circ p, s + s^{'} = 0, s \circ s^{'} = s^{'} \circ s = - I d$ ..

III.2.4 Méthode

Pour déterminer la projection

p (x)

d'un vecteur

x

sur

F

parallèlement à

G

on exprime deux conditions sur

p (x)

$p (x) \in F$
$x - p (x) \in G$

III.2.5 Exemple

Soient

u = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) et v = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{2}

. Alors

(u, v)

est une base de

R^{2}

( deux vecteurs libres dans un espace de dimension 2 ).
Ainsi

F = V e c t (u) et G = V e c t (v)

sont supplémentaires dans

R^{2}

d'après le théorème de la base adaptée. Notons

p

la projection sur

F

dans la direction

G

et déterminons

p (X)

où

X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

On a $p (X) \in F$ et donc $p (X) = α u$ pour un $α \in R$ .
On a $X - p (X) \in G$ et donc $X - p (X) = β v$ pour un $β \in R$ .

Ainsi

(\begin{matrix} x \\ y \\ = \end{matrix}) X = α u + β v = (\begin{matrix} α - 2 β \\ - α + β \end{matrix})

et donc

- α = x + 2 y

.
Finalement,

p (X) = α u = (- x - 2 y) (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - x - 2 y \\ x + 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

.
On constate que

p \in L (R^{2})

et est canoniquement associée à la matrice

(\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix})

III.2.6 Théorème

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soient également

F, G

deux sous-espaces de

E

, supplémentaires dans

E

Soit $p$ le projecteur sur $F$ de direction $G$ . On a alors :
- $p \in L (E)$
- $p^{2} = p$
- $\ker p = G$
- $I m p = F = \ker (I d_{E} - p)$
Réciproquement si $f \in L (E)$ vérifie $f^{2} = f$ alors $f$ est le projecteur sur $I m (f) = \ker (f - I d)$ dans la direction $\ker (f)$ (et on a donc $\ker (f) \oplus I m (f) = E$ ).

Preuve

Prouvons tout d'abord la linéarité.
Soient $x, y \in E$ que l'on décompose en $x = x_{F} + x_{G} et y = y_{F} + y_{G}$ .
Soient $α, β \in K$ .
Alors $p (α x + β y) = p ((α x_{F} + β y_{F}) + (α x_{G} + β y_{G})) = α x_{F} + β y_{F} = α p (x) + β p (y)$ et $p$ est bien linéaire.
Evidemment, $p^{2} (x) = p (x_{F} + 0_{E}) = x_{F} = p (x)$ et on a bien $p^{2} = p$ .
Ensuite, avec les mêmes notations, $p (x) = 0_{E}$ ssi $x_{F} = 0_{E}$ ssi $x \in G$ . De plus, $p (x) = x_{F} \in F$ et on a en fait prouvé $I m (f) \subset F$ .
Si $x \in F$ , alors $p (x) = x \in I m (f)$ et donc $F \subset I m (p)$ et finalement $F = I m (p)$ .
Il reste à prouver que $I m (p) = \ker (p - I d_{E})$ . ON a déjà montré que tout $x \in F$ vérifie $p (x) - x = 0$ ie $(p - I d_{E}) (x) = 0$ et donc $F \subset \ker (p - I d_{E})$ .
Soit maintenant $x \in \ker (p - I d_{E})$ ie $x$ vérifie $p (x) = x$ . Ainsi $x \in I m (p)$ et l'autre inclusion est prouvée.
- On a d'abord $(f - I d) \circ f = 0$ donc $I m (f) \subset \ker (f - I d)$ . L'autre inclusion est évidente (cf fin du point précédent).
- Montrons maintenant que $\ker (f) \oplus \ker (f - I d) = E$ . Soit $x \in E$ .
  - Analyse : Supposons que $x = x_{1} + x_{2}$ avec $x_{1} \in \ker (f)$ et $x_{2} \in \ker (f - I d)$ .
    Alors $f (x) = 0_{E} + f (x_{2}) = x_{2}$ . Ainsi $x_{2} = f (x)$ et donc $x_{1} = x - x_{2} = x - f (x)$ .
  - Synthèse : Réciproquement, posons $x_{1} = x - f (x)$ et $x_{2} = f (x)$ .
    Montrons que $x = x_{1} + x_{2}$ (trivial) et que $x_{1} \in \ker (f) et x_{2} \in \ker (f - I d)$ (moins trivial).
    Cependant, $f (x_{1}) = f (x) - f^{2} (x) = 0_{E}$ et $(f - I d) (x_{2}) = f (x_{2}) - x_{2} = f^{2} (x) - f (x) = 0_{E}$ car $f^{2} = f$ .
  Conclusion : $E = \ker (f) + \ker (f - I d)$ . Le fait que la somme est directe provient directement de l'analyse (les seules valeurs possibles sont...) ou du fait que si $x \in \ker (f) \cap \ker (f - I d)$ alors $f (x) = 0_{E}$ et $f (x) - x = 0_{E}$ donc $x = 0_{E}$ et on a bien $\ker (f) \cap \ker (f - I d) = {0_{E}}$ .
- Par définition d'un projecteur, et d'après notre analyse, $f$ est le projecteur sur $\ker (f - I d) = I m (f)$ dans la direction $\ker (f)$ .

III.2.7 Exemple

Soit la matrice

A = \frac{1}{6} (\begin{matrix} 5 & - 2 & 1 \\ - 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix})

Montrer que l'endomorphisme canoniquement associé à

A

est un projecteur dont on précisera les éléments caractéristiques.
Question 5/2 : au vu de la matrice

A

, que dire de plus de la projection ?
Réponse :
Notons

p

l'application linéaire canoniquement associée à

A

. on a

A^{2} = A

(par produit matriciel direct) et donc

p \circ p = p

; Ainsi

p

est bien un projecteur.
Il s'agit du projecteur sur

F = \ker (p - I d_{R^{3}}) = \ker (A - I_{3})

, dans la direction

G = \ker (p) = \ker (A)

. Calculons ces espaces. Soit

X = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3}

. On prendra garde au facteur

\frac{1}{6}

au moment de calculer

A - I_{3} = \frac{1}{6} (6 A - 6 I_{3})

$X \in \ker (A - I_{3}) ⟺ (A - I_{3}) X = 0 ⟺ {\begin{cases} - x - 2 y + z = 0 \\ - 2 x - 4 y + 2 z = 0 \\ x + 2 y - z = 0 \end{cases}$ .
Les 3 équations sont proportionnelles et donc $F = V e c t ((\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}))$ est le plan d'équation $F : x + 2 y - z = 0$ .
$X \in \ker (A) ⟺ A X = 0 ⟺ {\begin{cases} 5 x - 2 y + z = 0 \\ - 2 x + 2 y + 2 z = 0 \\ x + 2 y + 5 z = 0 \end{cases}$ . on résout ce système ( diviser la deuxième ligne par 2 puis l'utiliser pour éliminer $x$ des deux autres équations ) et on trouve que $G = V e c t (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})$ est la droite dirigée par $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})$

Finalement,

p

est le projecteur sur le plan

F : x + 2 y - z = 0

et parallèlement à la droite dirigée par

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

.
Réponse 5/2 :

A

étant symétrique réelle, ses espaces propres

F = E_{1} (A) et G = E_{0} (A)

sont orthogonaux et donc

p

est un projecteur orthogonal.

III.2.8 Matrice dans une base adaptée

On considère $p$ le projecteur de $R^{3}$ sur un plan $P$ parallèlement à une droite $D$ non inclue dans $P$ . On note $B = (u, v, w)$ une base adaptée à $R^{3} = P \oplus D$ . Donner la matrice de $p$ dans $B$ .
Même question dans le cas général $E = F \oplus G$ . On note $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base adaptée avec $F = V e c t (e_{1}, \dots, e_{r}) et G = V e c t (e_{r + 1}, \dots, e_{n})$ (et on suppose que $r = \dim (F) \in ⟦ 1, n - 1 ⟧$ : si $r = 0$ alors $p = 0_{L (E)}$ et si $r = n$ alors $p = I d_{E}$ .)
On trouve, en notation par bloc
${M a t}_{B} (p) = (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$
car pour $e_{i} \in F$ on a $p (e_{i}) = e_{i}$ et pour $e_{i} \in G$ on a $p (e_{i}) = 0_{E}$ .

III.2.9 Remarque

Pour un projecteur

p

en dimension finie, on a toujours

T r (p) = r g (p) = \dim (\ker (p - I d))

III.2.10 Exemple

On considère l'application

f : {\begin{array}{rcl} M_{n} (K) & \to & M_{n} (K) \\ A & \mapsto & \frac{A +^{t} A}{2} \end{array}

. Il s'agit, d'après le point I.2.7 de la projection sur

S_{n} (K)

parallèlement à

A_{n} (K)

III.2.11 Théorème

Soit

E

K

-espace vectoriel. Soient également

F, G

deux sous-espaces de

E

, supplémentaires dans

E

Soit $s$ la symétrie par rapport à $F$ dans la direction $G$ . Alors :
- $s \in G L (E)$ et $s^{2} = I d_{E}$ ie. $s = s^{- 1}$
- $F = \ker (s - I d_{E}) = {x \in E | s (x) = x}$
- $G = \ker (s + I d) = {x \in E | s (x) = - x}$
Réciproquement, soit $f \in L (E)$ . Si $f^{2} = I d_{E}$ alors $f$ est la symétrie par rapport à $\ker (f - I d_{E})$ parallèlement à $\ker (f + I d_{E})$ qui sont donc supplémentaires dans $E$ .

III.2.12 Exemple

Dans

E = R^{R}

l'application

s

qui à une fonction

f

associe

s (f) : x \mapsto f (- x)

est une symétrie. C'est la symétrie par rapport aux fonctions paire parallèlement aux fonctions impaires.

III.2.13 Matrice dans une base adaptée

Donner, avec les notations du théorème, la matrice de

s

dans une base adaptée à

E = F \oplus G

.
En utilisant les même notation que le point correspondant sur les projecteurs

{M a t}_{B} (s) = (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & - I_{n - r} \end{matrix})

III.2.14 Exemple

Remarquons que la transposition est une symétrie. C'est même la symétrie associée au projecteur de l'exemple III.2.10

III.3 Projection et espaces en somme directe

III.3.1 Définition

Soient

F_{1}, \dots F_{p}

des sous-espaces de

E

vérifiant

E = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}

. Pour

x \in E

, on pose

x = x_{1} + \dots + x_{p}

l'unique décomposition en somme telle que

\forall i \in ⟦ 1, p ⟧ x_{i} \in F_{i}

.
Le projeté du vecteur

x

sur

F_{j}

parallèlement à

⨁_{\begin{matrix} i = 1 \\ i \neq j \end{matrix}}^{p} F_{i}

est le vecteur

x_{j}

. Le projecteur associé est

p_{j} : x \mapsto x_{j}

III.3.2 Remarque

Si la somme directe des

F_{i}

n'est pas égale à l'espace

E

global, on peut se ramener à la définition en considérant plutôt

F = \sum_{i = 1}^{p} F_{i}

comme espace dans lequel on projette.

III.3.3 Proposition

Avec les notations de la définition précédente

$\forall (k, l) \in {⟦ 1, p ⟧}^{2} k \neq l \Rightarrow p_{k} \circ p_{l} = 0$
$\sum_{j = 1}^{p} p_{j} = I d_{E}$ .

III.3.4 En pratique

Pour déterminer ces projections, on procède comme dans le cas d'espaces supplémentaires :

calcul de coordonnées dans une base adaptée si possible, et on regroupe par espace.
analyse/synthèse s'il le faut.