Étude métrique des courbes paramétrées

Dans tout ce cours,

I

désigne un intervalle non vide et non réduit à un point.

I Etude métrique

I.1 Longueur d'une courbe

I.1.1 Notion intuitive de longueur

La longueur de la courbe entre les points de paramètres

t

t + d t

est

\approx ∥ f^{'} (t) ∥ d t

= vitesse

\times

temps. Si on intègre entre

a et b

, on trouve donc la longueur de la courbe entre les points de paramètres

a et b

I.1.2 Définition

Soient

a, b \in I

. On appelle longueur (algébrique) de

f \in C^{1} (I, R^{2})

entre les points de paramètres

a et b

le réel

\int_{a}^{b} ∥ f^{'} (t) ∥ d t

I.1.3 Exemple

Calculer la longueur du cercle trigonométrique.
Calculer la longueur de l'arc de la parabole $y = x^{2}$ entre les abscisses 0 et 2.

t \mapsto (\begin{matrix} t \\ t^{2} \end{matrix})

M = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

y = x^{2}

t \in R

x = t et y = x^{2} = t^{2}

f

C^{1}

f^{'} : t \mapsto (\begin{matrix} 1 \\ 2 t \end{matrix})

l

l = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4 t^{2}} d t

x \mapsto s h (x)

R

R

u

2 t = s h (u)

C^{1}

t = \frac{1}{2} s h (u)

α

\frac{1}{2} s h (α) = 2

s h α = 4

d t = \frac{1}{2} c h (u) d u

l = \int_{0}^{α} \sqrt{1 + {s h}^{2} (u)} \frac{1}{2} c h (u) d u = \frac{1}{2} \int_{0}^{α} {c h}^{2} (u) d u

c h

{c h}^{2} = 1 + {s h}^{2}

l = \frac{1}{2} \int_{0}^{α} \frac{e^{2 u} + 2 + e^{- 2 u}}{4} d u = \frac{1}{8} {[\frac{e^{2 u}}{2} + 2 u - \frac{e^{- 2 u}}{2}]}_{0}^{α} = \frac{e^{2 α} + 4 α - e^{2 α}}{16}

e^{α} - e^{- α} = 8

s h (α) = 4

(e^{α})^{2} - 8 e^{α} - 1 = 0

e^{α}

68 = 4 \times 17

e^{α} = \frac{8 + 2 \sqrt{17}}{2} = 4 + \sqrt{17}

α = \ln (4 + \sqrt{17})

e^{2 α} = 8 e^{α} + 1 = 33 + 8 \sqrt{17}

e^{- α} = e^{α} - 8 = \sqrt{17} - 4

e^{- 2 α} = 1 - 8 e^{- α} = 33 - 8 \sqrt{17}

l = \frac{33 + 8 \sqrt{17} + 4 \ln (4 + \sqrt{17}) - (33 - 8 \sqrt{17})}{16} = \sqrt{17} + \frac{1}{4} \ln (4 + \sqrt{17})

importscipy.integrateassciimportnumpyasnpdeff(t):returnnp.sqrt(1+4*t**2)sci.quad(f,0,2)# valeur approchée de l'intégrale de f entre 0 et 2np.sqrt(17)+np.log(4+np.sqrt(17))/4

I.1.4 Exemple

Longueur de la cycloïde sur

[- π, π]

définie par

f : t \mapsto (\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix})

. On trouve

∥ f^{'} (t) ∥ = 2 | \sin \frac{t}{2} |

en utilisant

1 - \cos t = 2 \sin^{2} \frac{t}{2}

\sin (t) = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}

.
Alors la longueur cherchée est

\int_{- π}^{π} 2 | \sin \frac{t}{2} | d t = 4 \int_{0}^{π} \sin \frac{t}{2} d t

car

t \mapsto | s i n \frac{t}{2} |

est paire et

\forall t \in [0, π] \sin \frac{t}{2} \geq 0

.
On obtient donc

4 {[- 2 \cos \frac{t}{2}]}_{0}^{π} = 8

, qui la longueur d'une arche de cette cycloïde.

I.2 Abscisse curviligne

On considère maintenant

f \in C^{k} (I, R^{2})

une courbe régulière (la vitesse ne s'annule pas), avec

k \geq 1

I.2.1 Définition

Soit

t_{0} \in I

. On appelle abscisse curviligne de

f

d'origine

t_{0}

la fonction

s : {\begin{array}{rcl} I & \to & R \\ t & \mapsto & \int_{t_{0}}^{t} ∥ f^{'} (u) ∥ d u \end{array}

.
A retenir :

\frac{d s}{d t} = ∥ f^{'} ∥

et lorsque cela a du sens,

\frac{d t}{d s} = \frac{1}{∥ f^{'} ∥}

I.2.2 Remarque

L'information connue a priori sur

s

est la dérivée :

\frac{d s}{d t} = ∥ f^{'} ∥

. Elle ne dépend pas de l'origine choisie. Dans la suite on supposera choisie une origine.

I.2.3 Proposition

On considère une courbe régulière

f

de classe

C^{k}

.
L'abscisse curviligne d'origine

t_{0}

est une bijection

C^{k}

dont la réciproque est

C^{k}

. Interprétation : on peut, dans le cas d'une courbe régulière, repérer un point de la trajectoire non plus par l'instant où on y passe mais par la distance (algébrique) à l'origine fixée. En effet tout point est à une distance donnée (surjectivité) et à une distance donnée correspond un seul point (injectivité). De plus, on ne change pas la classe

C^{k}

de la courbe paramétrée si on choisi d'utiliser l'abscisse curviligne d'origine

t_{0}

pour paramétrer (repérer les points).

Preuve

Rappelons que l'application

N : (x, y) \mapsto \sqrt{x^{2} + y^{2}}

est de classe

C^{\infty}

sur

R^{2} ∖ {(0, 0)}

.
Ainsi

g : t \mapsto ∥ f^{'} (t) ∥

est de classe

C^{k - 1}

sur

I

car

f^{'}

ne s'annule pas. On a même

\forall t \in I g (t) > 0

.
De plus,

s : t \mapsto \int_{t_{0}}^{t} g (u) d u

est la primitive de

g

qui s'annule en

t_{0}

et est donc de classe

C^{k}

sur

I

. Comme

s^{'} = g > 0

s

est strictement croissante et

s : I \to s (I)

est bien une bijection.
Comme

s^{'}

ne s'annule pas,

s^{- 1}

est également de classe

C^{k}

. Pour mémoire, on a

\forall x \in s (I) (s^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{s^{'} (s^{- 1} (x))}

I.2.4 Paramétrage par l'abscisse curviligne

Notons

J = s (I)

. Le résultat précédent permet de définir une nouvelle courbe de même support

g : {\begin{array}{rcl} J & \to & R^{2} \\ u & \mapsto & f (s^{- 1} (u)) \end{array}

. On a en fait changé la manière de parcourir la même trajectoire, et on obtient immédiatement

∥ \frac{d g}{d u} ∥ = 1

(paramétrage normal). Remarquons que

u = s (t) \Rightarrow g (u) = f (t)

I.2.5 Notation

La relation relation

∥ \frac{d g}{d u} ∥ = 1

est classiquement notée

∥ \frac{d f}{d s} ∥ = 1

, pour indiquer que le paramétrage choisi est celui par l'abscisse curviligne. On a maintenant

\frac{d f}{d s} = \frac{d f}{d t} \frac{d t}{d s} = f^{'} \times \frac{1}{∥ f^{'} ∥}

.
Si on paramètre

f

par

s

, on repère en fait les points de la trajectoire non plus par le temps de parcours, mais par la distance depuis l'origine. Il semble cohérent que le vecteur vitesse soit de norme 1.

I.2.6 Proposition

Pour une courbe régulière

f

, on a

\frac{d f}{d s} = \frac{d f}{d t} \frac{d t}{d s} = \frac{1}{∥ f^{'} ∥} \frac{d f}{d t}

. C'est un vecteur directeur unitaire de la tangente pour chaque paramètre.

I.3 Repère de Frenet

I.3.1 Définition

Soit

t \in I

. On note

\vec{T} (t) = \frac{f^{'} (t)}{∥ f^{'} (t) ∥}

(vecteur unitaire tangent de

f

t

) et

\vec{N} (t)

(vecteur unitaire normal de

f

t

) le vecteur unitaire directement orthogonal à

\vec{T} (t)

. Le repère

(f (t), \vec{T} (t), \vec{N} (t))

est appelé repère de Frenet de

f

t

I.3.2 Exemple

On considère la courbe

f : {\begin{array}{rcl} ] 0, 2 π [ & \to & R^{2} \\ t \mapsto & \mapsto & (\begin{array}{c} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{array}) \end{array}

(une arche de cycloïde).
Alors, pour

t \in] 0, π [

, on a

f^{'} (t) = (\begin{matrix} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix})

∥ f^{'} (t) ∥ = | 2 \sin \frac{t}{2} | = 2 \sin \frac{t}{2}

.
Ainsi

\vec{T} (t) = (\begin{matrix} \sin \frac{t}{2} \\ \cos \frac{t}{2} \end{matrix})

. Ainsi

\vec{N} (t) = (\begin{matrix} - \cos \frac{t}{2} \\ \sin \frac{t}{2} \end{matrix})

.
Ainsi, à l'instant

t

, le repère de Frénet est

(M (t), \vec{T} (t), \vec{N} (t))

où

M (t) = (\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix})

.
Lien géogébra : Lancer la lecture sur le paramètre

t_{0}

pour animer le lien

I.3.3 Théorème (Détermination angulaire)

Il existe une fonction

α \in C^{k - 1} (I, R)

telle que

\forall t \in I \vec{T} (t) = \cos (α (t)) \vec{ı} + \sin (α (t)) \vec{ȷ} .

Ainsi

α (t)

est l'angle entre

\vec{ı}

\vec{T} (t)

Preuve

Hors programme.
On considère la fonction

g : I \to C

qui à

t

associe l'affixe de

\vec{T} (t)

. On a

∥ \vec{T} (t) ∥ = 1

et donc

| g (t) | = 1

. il s'agit de montrer que

\forall t \in I g (t) = e^{i α (t)}

et que la fonction

α

est

C^{k - 1}

. On sait que

g

est de classe

C^{k - 1}

. On a

g \bar{g} = 1

et en dérivant on obtient

g^{'} \bar{g} + g \bar{g^{'}} = 0

, c'est à dire que la fonction

g^{'} \bar{g} = \frac{g^{'}}{g}

(si

| z | = 1

alors

\bar{z} = \frac{1}{z}

) est imaginaire pure. On fixe

t_{0} \in I

. Soit

θ : t \mapsto - i \int_{t_{0}}^{t} \frac{g^{'} (t)}{g (t)} d t

. Alors

θ : I \to R

et est de classe

C^{k - 1}

On a alors

{(\frac{e^{i θ (t)}}{g (t)})}^{'} = \frac{i θ^{'} (t) e^{i θ (t)} g (t) - e^{i θ (t)} g^{'} (t)}{f^{2} (t)} = \frac{e^{θ (t)}}{g^{2} (t)} (\frac{g^{'} (t)}{g (t)} g (t) - g (t)) = 0

Ainsi

t \mapsto \frac{e^{i θ (t)}}{g (t)}

est une fonction constante sur l'intervalle

I

g (t) = K e^{i θ (t)}

avec

g (t_{0}) = K = e^{i a}

car

| g (t_{0}) | = 1

et donc

g (t) = e^{i (a + θ (t))}

α = a + θ \in C^{k - 1}

convient !

I.3.4 Illustration

I.3.5 Proposition

On a alors $\vec{N (t)} = - \sin α (t) \vec{ı} + \cos α (t) \vec{ȷ}$
Comme $\vec{T} = \frac{d f}{d s}$ , on en déduit que $\frac{d x}{d s} (= \frac{d x}{d t} \times \frac{d t}{d s}) = \cos α et \frac{d y}{d s} = \sin α .$

I.3.6 Exemple

Déterminer la fonction

t \mapsto α (t)

pour la courbe représentative de l'exponentielle.
On considère la courbe paramétrée associée

f : t \mapsto (\begin{matrix} t \\ e^{t} \end{matrix})

qui est une courbe

C^{1}

sur

R

dont la dérivée vaut

f^{'} : t \mapsto (\begin{matrix} 1 \\ e^{t} \end{matrix}) \neq \vec{0}

pour tout

t \in R

. Ainsi

f

est bien une courbe régulière.
Reprenons la définition de

α

. Pour cela il nous faut calculer le repère de Frénet en tout point. On a, pour

t \in R

\vec{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2 t}}} (\begin{matrix} 1 \\ e^{t} \end{matrix})

et donc

\vec{N} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2 t}}} (\begin{matrix} - e^{t} \\ 1 \end{matrix})

.
On cherche

α (t)

tel que

\vec{T} (t) = \cos (α (t)) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + \sin (α (t)) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

. On a donc

\cos (α (t)) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2 t}}} et \sin (α (t)) = \frac{e^{t}}{\sqrt{1 + e^{2 t}}}

.
Ainsi (et c'est cohérent avec le tracé),

\cos (α (t)) > 0 et \sin (α (t)) > 0

. On peut prendre

α (t) = \arccos (\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2 t}}})

α (t) = \arcsin (\frac{e^{t}}{\sqrt{1 + e^{2 t}}})

ou même, comme

α \in] 0, \frac{π}{2} [α (t) = \arctan (e^{t})

I.4 Courbure

I.4.1 Définition

On appelle courbure la dérivée de la fonction

α

par rapport à

s

γ = \frac{d α}{d s}

Comme

α

est un angle, il n'a pas d'unité.

γ

s'exprime donc en

m^{- 1}

I.4.2 Interprétation

Si $γ > 0$ , c'est que la détermination angulaire croit, c'est à dire que la courbe tourne vers la gauche.
Si $γ < 0$ , c'est que la détermination angulaire décroît, c'est à dire que la courbe tourne vers la droite.
Si $γ$ est grand en valeur absolue, c'est que $α$ change rapidement, c'est à dire que la courbe tourne "vite".

I.4.3 Théorème (Formules de Frenet)

On a

\frac{d \vec{T}}{d s} = γ \vec{N} et \frac{d \vec{N}}{d s} = - γ \vec{T}

Preuve

On a

\frac{d \vec{T}}{d s} = \frac{d \vec{T}}{d α} \frac{d α}{d s} = γ \vec{N}

I.4.4 Exemple

Calculer l'expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération en fonction de

\vec{T}, \vec{N}, γ

. On note

v = ∥ f^{'} ∥

\vec{v} = f^{'}

. Alors

\vec{v} = v \vec{T}

par définition de

\vec{T}

.
De plus,

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d v}{d t} \vec{T} + v \frac{d \vec{T}}{d t} = \frac{d v}{d t} \vec{T} + v \frac{d \vec{T}}{d s} \frac{d s}{d t} = \frac{d v}{d t} \vec{T} + v^{2} γ \vec{N}

I.4.5 Exemple

Courbure du cercle de centre $O$ et de rayon $R > 0$ . On trouve $γ = \frac{1}{R}$ (une fonction constante).
Pour la cycloïde, sur $] - π, π [$ , on avait $\frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}}$ .
Ainsi $\vec{T} = \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} (\begin{matrix} 1 - \cos (t) \\ \sin t \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin \frac{t}{2} \\ \cos \frac{t}{2} \end{matrix})$ .
Donc $\vec{N} = (\begin{matrix} - \cos \frac{t}{2} \\ \sin \frac{t}{2} \end{matrix})$ .
De plus, $\frac{d T}{d s} = \frac{d s}{d t} \frac{d T}{d t} = \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \cos \frac{t}{2} \\ - \frac{1}{2} \sin \frac{t}{2} \end{matrix})$ et donc $γ (t) = \frac{- 1}{4 \sin \frac{t}{2}}$ .

I.4.6 Dans le repère de Frenet

Si on calcule

[\vec{T}, \frac{d \vec{T}}{d s}]

(produit mixte, c'est le déterminant dans le plan qui ne dépend pas du ROND choisi pour le calculer), on obtient

γ

en prenant les coordonnées dans la base de Frenet.
Hors,

\vec{T} = \frac{1}{∥ f^{'} ∥} f^{'}

\frac{d \vec{T}}{d s} = \frac{d s}{d t} \frac{d \vec{T}}{d t} = \frac{1}{∥ f^{'} ∥} \times ({(\frac{1}{∥ f^{'} ∥})}^{'} f^{'} + \frac{1}{∥ f^{'} ∥} f^{″})

.
Ainsi

γ = [\frac{1}{∥ f^{'} ∥} f^{'}, \frac{1}{∥ f^{'} ∥} \times ({(\frac{1}{∥ f^{'} ∥})}^{'} f^{'} + \frac{1}{∥ f^{'} ∥} f^{″})] = [[\frac{1}{∥ f^{'} ∥} f^{'}, [\frac{1}{∥ f^{'} ∥^{2}} f^{″}] = \frac{1}{∥ f^{'} ∥^{3}} [f^{'}, f^{″}]

(linéarité + caractère alterné). Finalement

γ = {(\frac{d t}{d s})}^{3} [\frac{d \vec{O M}}{d t}, \frac{d^{2} \vec{O M}}{d t^{2}}]

I.4.7 Exercice

Traduire cette formule en fonction des fonctions coordonnées

x, y

. Et si

f

est la courbe

t \mapsto (\begin{matrix} t \\ ϕ (t) \end{matrix})

II Enveloppe, développée

II.1 Courbe développée

II.1.1 Définition

Un point d'une courbe paramétrée est dit birégulier ssi les vecteurs vitesse et accélération en ce point ne sont pas colinéaires. On a donc (avec les notations classiques) les entiers

p et q

qui valent

p = 1 et q = 2

II.1.2 Proposition

Pour une courbe

C^{2}

, le point de paramètre

t

est birégulier ssi

γ (t) \neq 0

Preuve

Il s'agit juste d'une redite du calcul de

γ (t) = \frac{1}{∥ f^{'} (t) ∥^{3}} [f^{'} (t), f^{″} (t)]

II.1.3 Définition

Soit

f \in C^{2} (I, R^{2})

une courbe birégulière (tous les points sont biréguliers). Le rayon de courbure au point

t

est

R (t) = \frac{1}{γ (t)}

et le centre de courbure est le point

C (t) = M (t) + R (t) \vec{N} (t)

\vec{M C} = R \vec{N}

.
On peut évidemment repérer

M

par son abscisse curviligne et exprimer toutes les quantités en fonction de

s

II.1.4 Interprétation

Au point de paramètre

t_{1} \in I

, le cercle tangent en

\vec{T (t_{1})}

qui ``ressemble'' le plus à la courbe est le cercle centré en

C (t_{1})

et de rayon

R (t_{1})

. On l'appelle cercle de courbure en

t_{1}

II.1.5 Définition

Le lieu des centres de courbure d'une courbe s'appelle la courbe développée. C'est la courbe

t \mapsto C (t)

II.1.6 Exemple

Prenons comme courbe l'ellipse

f : t \mapsto (\begin{matrix} 2 \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}) = M (t)

sur

[- π, π]

. Trouvons sa courbe développée.

f

est de classe

C^{2}

. Soit

t \in [- π, π]

f^{'} (t) = (\begin{matrix} - 2 \sin (t) \\ \cos (t) \end{matrix})

et donc

\vec{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{4 \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}} (\begin{matrix} - 2 \sin (t) \\ \cos (t) \end{matrix})

.
Trouvons

γ

.
On a

\frac{d \vec{T}}{d s} = \frac{1}{∥ f^{'} (t) ∥} \frac{d \vec{T}}{d t}

Ainsi

$\begin{aligned} \frac{d \vec{T}}{d s} (t) & = \frac{1}{\sqrt{3 \sin^{2} (t) + 1}} (- \frac{1}{2} \frac{6 \cos (t) \sin (t)}{(3 \sin^{2} (t) + 1)^{\frac{3}{2}}} (\begin{array}{c} - 2 \sin (t) \\ \cos (t) \end{array}) + \frac{1}{\sqrt{3 \sin^{2} (t) + 1}} (\begin{array}{c} - 2 \cos (t) \\ - \sin (t) \end{array})) \\ = \frac{1}{(3 \sin^{2} (t) + 1)^{2}} (- 3 \cos (t) \sin (t) (\begin{array}{c} - 2 \sin (t) \\ \cos (t) \end{array}) + (3 \sin^{2} (t) + 1) (\begin{array}{c} - 2 \cos (t) \\ - \sin (t) \end{array})) \\ = \frac{1}{(3 \sin^{2} (t) + 1)^{2}} (\begin{array}{c} 6 \cos (t) \sin^{2} (t) - 6 \sin^{2} (t) \cos (t) - 2 \cos (t) \\ - 3 \cos^{2} (t) \sin (t) - 3 \sin^{3} (t) - \sin (t) \end{array}) \\ = \frac{1}{(3 \sin^{2} (t) + 1)^{2}} (\begin{array}{c} - 2 \cos (t) \\ - 4 \sin (t) \end{array}) = \frac{2}{(3 \sin^{2} (t) + 1)^{\frac{3}{2}}} \vec{N} \end{aligned}$

Ainsi

γ (t) = \frac{2}{(3 \sin^{2} (t) + 1)^{\frac{3}{2}}}

.
Maintenant, le centre de courbure vérifie

C (t) = M (t) + \frac{1}{γ (t)} \vec{N (t)} = (\begin{matrix} 2 \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}) + \frac{3 \sin^{2} (t) + 1}{2} (\begin{matrix} - \cos (t) \\ - 2 \sin (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3}{2} \cos (t) - \frac{3}{2} \cos (t) \sin^{2} (t) \\ - 3 \sin^{3} (t) \end{matrix}) = \frac{3}{2} (\begin{matrix} \cos^{3} (t) \\ - 2 \sin^{3} (t) \end{matrix})

et on reconnaît une astroïde.
Lien géogébra : Animer

t_{0}

pour observer le centre de courbure le long de la développée, ainsi que les cercles de courbures

II.1.7 Exemple

Calculons la développée de la cycloïde (sur

] - π, π [

, le reste s'obtenant par translation).
Ici

M (t) = (\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix})

. De plus,

R (t) = - 4 \sin \frac{t}{2}

\vec{N} (t) = (\begin{matrix} - \cos \frac{t}{2} \\ \sin \frac{t}{2} \end{matrix})

.
Ainsi

C (t) = (\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \sin t \\ 2 (1 - \cos (t)) \end{matrix}) = (\begin{matrix} t + \sin (t) \\ - 1 + \cos (t) \end{matrix})

. On obtient une autre cycloïde.

II.2 Enveloppe

II.2.1 Définition

Soit

(D_{t})_{t \in I}

une famille de droite. On dit que

(D_{t})_{t \in I}

admet la courbe

f : t \mapsto M (t)

comme enveloppe ssi pour tout

t \in I

on a

$M (t) \in D_{t}$
$D_{t}$ est tangente à $f$ en $M (t)$ .

II.2.2 Mise en équation

On se donne un points

A (t)

et un vecteur directeur

\vec{u} (t)

pour chaque droite

D_{t}

. Ainsi

D_{t} = {A (t) + λ \vec{u} (t) | λ \in R} = A (t) + V e c t (\vec{u} (t))

.
On cherche donc à écrire

M (t) = A (t) + λ (t) \vec{u} (t)

et il faut en plus que la tangente en

M (t)

soit dirigée par

\vec{u} (t)

.
On suppose les fonctions en jeu dérivables et on obtient

\frac{d \vec{O M}}{d t} = A^{'} (t) + λ^{'} (t) \vec{u} (t) + λ (t) {\vec{u}}^{'} (t)

. La condition de tangence devient

[\frac{d \vec{O M}}{d t}, \vec{u} (t)] = 0

qui peut se récrire

[A^{'} (t) + λ (t) {\vec{u}}^{'} (t), \vec{u} (t)] = 0

(le déterminant est alterné).

II.2.3 Proposition

Une enveloppe de la famille

D_{t} = A (t) + V e c t (\vec{u} (t))

est donnée par

f : t \mapsto M (t) = A (t) + λ (t) \vec{u} (t)

où

λ

est une fonction de classe

C^{1}

vérifiant

[A^{'} (t) + λ (t) {\vec{u}}^{'} (t), \vec{u} (t)] = 0

II.2.4 Exemple

Cherchons l'enveloppe de la famille de droites

D_{t} : x - \cos (t) y - \sin (t) = 0

t \in [- π, π]

.
Pour

t \in R

on a

D_{t} = (\begin{matrix} \sin (t) \\ 0 \end{matrix}) + V e c t ((\begin{matrix} \cos (t) \\ 1 \end{matrix})) = A (t) + V e c t (\vec{u} (t))

.
On cherche

λ (t)

tel que

M (t) = A (t) + λ (t) \vec{u} (t)

et vérifiant

\underset{B_{c}}{det} (M^{'} (t), \vec{u} (t)) = 0

. Alors la fonction

λ

vérifie

det (A^{'} (t) + λ (t) {\vec{u}}^{'} (t), \vec{u} (t)) = 0

| \begin{matrix} \cos (t) - λ (t) \sin (t) & \cos (t) \\ 0 & 1 \end{matrix} |

ou encore

\cos (t) - λ (t) \sin (t) = 0

.
Pour

t \notin {- π, 0, π}

λ (t) = \frac{\cos (t)}{\sin (t)}

et on obtient

M (t) = (\begin{matrix} \sin (t) \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} \\ \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin (t) + \frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} \\ \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sin (t)} \\ \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \end{matrix})

.
On peut tracer au remarquer que tous les points de la courbe vérifient

x^{2} - y^{2} = 1

. On connaît les symétries de cette courbes qui correspondent à celles de l'enveloppe calculée.
De plus, si on prend

x, y \geq 0

tels que

x^{2} - y^{2} = 1

alors

x^{2} = 1 + y^{2} \geq 1

et donc

| x | \geq 1

. Ainsi on peut poser un

t \in] 0, \frac{π}{2}]

tel que

\frac{1}{x} = \sin (t)

et donc

x = \frac{1}{\sin (t)}

. On a alors

y^{2} = x^{2} - 1 = \frac{1}{\sin^{2} (t)} - 1 = \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}

. Ainsi

y = \pm \frac{\cos (t)}{\sin (t)}

et comme

y \geq 0

y = \frac{\cos (t)}{\sin (t)}

.
Finalement, on peut paramétrer notre quart d'hyperbole pour être la courbe enveloppe calculée et le tracé est maintenant immédiat.
Lien géogébra : Lancer la lecture du paramètre

t

pour observer la positions des droites

D_{t}

II.2.5 Proposition

Soit

f \in C^{2} (I, R^{2})

une courbe birégulière. La courbe développée de

f

est également l'enveloppe de la famille

D_{t} = M (t) + V e c t (\vec{N} (t))

(la famille des normales).
On peut remplacer le vecteur

\vec{N} (t)

par n'importe quel vecteur proportionnel et non nul.

Preuve

Notons

g : s \mapsto C (s) = M (s) + R (s) \vec{N} (s)

la courbe développée de

f

que l'on a paramétré par l'abscisse curviligne. Clairement chaque point de

g

est sur une normale.
Il reste à montrer que les normales sont tangentes à

g

. Or

\frac{d \vec{O C}}{d s} = \vec{T} + \frac{d R}{d s} \vec{N} + R \times (- γ \vec{T}) = \frac{d R}{d s} \vec{N}

. Ainsi les tangentes à

g

sont dirigées par

\vec{N}

II.2.6 Conséquence géométrique

Les normales à

f

sont tangentes à la courbe développée.

II.2.7 Exemple

Calculons la développée de la demi-hyperbole paramétrée par

x (t) = c h (t) et y (t) = s h (t)

pour

t \in R

.
On note

f : t \mapsto (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix})

qui est

C^{\infty}

. De plus, pour

t \in R

f^{'} (t) = (\begin{matrix} s h (t) \\ c h (t) \end{matrix})

et donc

\vec{N} (t)

est proportionnel à

\vec{u} (t) = (\begin{matrix} - c h (t) \\ s h (t) \end{matrix})

.
On cherche donc une courbe notée

M

qui vérifie

M (t) = (\begin{matrix} c h (t) \\ s h (t) \end{matrix}) + λ (t) (\begin{matrix} - c h (t) \\ s h (t) \end{matrix})

pour une fonction

λ

telle que

[f^{'} (t) + λ (t) {\vec{u}}^{'} (t), \vec{u} (t)] = 0

.
Cette équation peut s'écrire

| \begin{matrix} s h (t) - λ (t) s h (t) & - c h (t) \\ c h (t) + λ (t) c h (t) & s h (t) \end{matrix} | = 0

ou encore

{s h}^{2} (t) + {c h}^{2} (t) + λ (t) (- {s h}^{2} (t) + {c h}^{2} (t)) = 0

c'est à dire

λ (t) = - {c h}^{2} (t) - {s h}^{2} (t)

.
Finalement,

M (t) = (\begin{matrix} c h (t) + {c h}^{3} (t) + {s h}^{2} (t) c h (t) \\ s h (t) - {c h}^{2} (t) s h (t) - {s h}^{3} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 {c h}^{3} (t) \\ - 2 {s h}^{3} (t) \end{matrix})