Intégration sur un intervalle quelconque

Dans ce chapitre

K

désigne

R ou C

I Intégrales convergentes

Le cadre d'étude change : on considère toujours des fonctions continues, plus seulement sur des segments mais des intervalles quelconques.

I.1 Intégrales impropres

I.1.1 Définition

Soient

a < b \leq + \infty

f \in C ([a, b [, R)

une fonction continue .
Si

lim_{x \to b} \int_{a}^{x} f (t) d t

existe et est finie on la note

\int_{a}^{b} f (t) d t

et on dit que cette intégrale est une intégrale (impropre) convergente . Dans le cas contraire, l'intégrale est dite divergente.

I.1.2 Remarque

On ne se préoccupe pas de la valeur de

a

(la borne inférieure) du moment que l'intervalle de continuité est fermé en cette borne.
Par exemple pour

f

continue sur

R

\int_{0}^{+ \infty} f

est convergente ssi

\int_{4}^{+ \infty} f

est convergente.

I.1.3 Exemple

Convergence + calcul de la valeur de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t d t

I.1.4 Définition

Soient

- \infty \leq a < b

f \in C (] a, b], R)

. La borne ouverte est

a

.
Si

lim_{x \to a} \int_{x}^{b} f (t) d t

existe et est finie on la note

\int_{a}^{b} f (t) d t

et on dit que cette intégrale est une intégrale (imprope) convergente .

I.1.5 Exemple (A savoir refaire)

Montrons que

\int_{0}^{1} \ln (t) d t

converge et donnons sa valeur.

$\ln \in C (] 0, 1], R)$ (ie. on fait une étude de convergence en 0).
Soit $x > 0$ . $\int_{x}^{1} \ln (t) d t = - 1 - x \ln (x) + x \underset{x \to 0}{\to} - 1$
Conclusion : $\int_{0}^{1} \ln (t) d t$ est une intégrale convergente et sa valeur est -1.

I.1.6 Définition-proposition

Soient

a, b \in \bar{R}

avec

a < b

(on peut avoir

a = - \infty et / ou b = + \infty

). Soit

f \in C (] a, b [, R)

.
S'il existe un

c \in] a, b [

tel que

\int_{a}^{c} f

\int_{c}^{b} f

sont des intégrales convergentes alors on dit que

\int_{a}^{b} f

converge.
Dans ce cas on a

\forall c^{'} \in] a, b [\int_{a}^{c^{'}} f + \int_{c^{'}}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f

et on note cette valeur

\int_{a}^{b} f

Preuve

On a, par limite d'une somme (une intégrale convergente et une constante),

\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{c^{'}} f + \int_{c^{'}}^{c} f

. De même

\int_{c}^{b} f = \int_{c}^{c^{'}} f + \int_{c^{'}}^{b} f

. Finalement, l'égalité demandée est vérifiée.

I.1.7 Interprétation graphique

On peut continuer à voir une intégrale impropre comme une aire, mais cette fois comme l'aire limite d'un partie non nécessairement bornée.

I.1.8 Exemple

Montrer la convergence et calculer la valeur de

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} d t

I.1.9 Coin-culture

L'intégrale suivante est d'importance fondamentale en probabilité :

\int_{- \infty}^{+ \infty} \exp (- t^{2}) d t = \sqrt{π}

I.1.10 Définition (Notation)

Soit

I

un intervalle dont les bornes sont

a < b

. Ces bornes peuvent être ouvertes ou fermées. On note

\int_{I}^{} f

l'intégrale (classique ou impropre)

\int_{a}^{b} f

.
Cette notation permet de ne pas préciser à priori la nature fermée ou ouverte des bornes.

I.2 Prolongement par continuité

I.2.1 Proposition

On se place dans le cas

f \in C ([a, b [, R)

b \in R

(ce n'est pas

+ \infty

). Si on peut prolonger

f

par continuité en

b

(on note

\tilde{f}

le prolongement), alors l'intégrale

\int_{a}^{b} f

converge et sa valeur est

\int_{a}^{b} \tilde{f} (t) d t

(qui est une intégrale sur un segment).
Le résultat s'applique encore lorsque c'est la borne inférieure qui est ouverte, voire lorsque les deux bornes sont ouvertes, si on peut prolonger à chaque borne.

Preuve

Soit

F_{1} : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

la primitive de

f

sur

[a, b [

qui s'annule en

a

F_{2} : x \mapsto \int_{a}^{x} \tilde{f} (t) d t

la primitive de

\tilde{f}

sur

[a, b]

qui s'annule en

a

, alors

\forall x \in [a, b [F_{1} (x) = F_{2} (x)

F_{2}

est continue sur

[a, b]

F_{2}

est donc le prolongement par continuité de

F_{1}

et on a bien

F_{1} (x) \underset{x \to b}{\to} F_{2} (b) = \int_{a}^{b} \tilde{f}

I.2.2 Exemple

Montrer que

\int_{0}^{1} \frac{t - 1}{\ln (t)} d t

converge. Posons

f : t \mapsto \frac{t - 1}{\ln (t)}

qui est continue sur

] 0, 1 [

(et donc on a deux études de convergence à faire.)

Etude en 0. On a $t - 1 \underset{0}{\to} - 1$ et $\ln (t) \underset{0}{\to} - \infty$ donc $f (t) \underset{0}{\to} 0$ et on peut prolonger $f$ par continuité en 0.
Etude en 1. On a $\ln (t) \underset{1}{\sim} t - 1$ car $\ln (1 + u) \underset{0}{\sim} u$ . Ainsi $f (t) \underset{1}{\to} 1$ et on peut prolonger $f$ par continuité en 1.

Finalement,

\int_{0}^{1} f

converge.

I.3 Intégrales de référence

Dans cette partie, nous allons lister des intégrales notoirement convergentes. Les résultat ainsi que les preuves sont à connaître.

I.3.1 Proposition

\int_{0}^{1} \ln (t) d t

converge.

Preuve

Voir plus haut

I.3.2 Proposition

Soit

α \in R

\int_{0}^{+ \infty} e^{- α t} d t

converge ssi

α > 0

.
Dans le cas de convergence,

\int_{0}^{+ \infty} e^{- α t} d t = \frac{1}{α}

Preuve

Le cas

α = 0

est trivial.
Dans le cas

α \neq 0

, on a, pour

x > 0

\int_{0}^{x} e^{- α t} d t = \frac{1}{α} - \frac{e^{- α x}}{α}

e^{- α x} \underset{x \to + \infty}{\to} 0

lorsque

α > 0

e^{- α x} \underset{x \to + \infty}{\to} + \infty

lorsque

α < 0

.
On obtient bien une limite finie ssi

α > 0

(et on obtient

+ \infty

lorsque

α \leq 0

)

I.3.3 Théorème (Intégrales de Riemann)

Soit

α \in R

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{α}} d t$ converge ssi $α > 1$ .
$\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{α}} d t$ converge ssi $α < 1$ .
$\int_{0}^{1} \frac{1}{t} d t et \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t} d t$ sont deux intégrales divergentes

Preuve

Soit $x > 1$ . $\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{α}} d t = [\frac{t^{- α + 1}}{(1 - α)}]_{1}^{x}$ si $α \neq 1$ et $[\ln (t)]_{1}^{x}$ si $α = 1$ .

α = 1

intégrale divergente.

α \neq 1

x^{- α + 1} \underset{x \to + \infty}{\to} {\begin{cases} 0 si α > 1 \\ + \infty si α < 1 \end{cases}

Soit $x \in] 0, 1 [$ . Le même calcul de primitive vaut encore. Comme $\ln (x) \underset{0}{\to} - \infty$ , $\int_{0}^{1} \frac{1}{t} d t$ diverge.

x^{- α + 1} \underset{x \to 0}{\to} {\begin{cases} 0 si α < 1 \\ + \infty si α > 1 \end{cases}

Conséquence directe des deux points précédents.

I.4 Adaptation des outils

I.4.1 Théorème

Soient

f \in C (] a, b [, R)

ϕ :] α, β [\to] a, b [

une bijection de classe

C^{1}

strictement croissante.

\int_{a}^{b} f (t) d t

\int_{α}^{β} f (ϕ (u)) ϕ^{'} (u) d u

sont de même nature et égales quand elles convergent.

Preuve

Soient

c, d \in] α, β [

. On a

\int_{ϕ (c)}^{ϕ (d)} f (t) d t = \int_{c}^{d} f (ϕ (u)) ϕ^{'} (u) d u

avec

c \to α ⟺ ϕ (c) \to a

.
Ainsi les intégrales convergent simultanément en

a

α

I.4.2 Cas d'un changement décroissant

ϕ

est supposée décroissante, on a alors

\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{β}^{α} f (ϕ (u)) ϕ^{'} (u) d u

I.4.3 Exemple

Étudier la convergence de

\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - t} d t

. La fonction

t \mapsto \frac{1}{1 - t}

est continue sur

[0, 1 [

.
Par changement de variable bijectif

u = 1 - t

t = 1 - u

(bijectif et

C^{1}

) on trouve une intégrale de Riemann divergente.

I.4.4 Exemple

Convergence et valeur de

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t (1 - t)}} d t

t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t (1 - t)}}

est continue sur

] 0, 1 [

par composition et inverse.
Posons

u = \sqrt{t}

pour

t \in] 0, 1 [

(qui est bien

C^{1}

) et donc on a

t = u^{2}

d t = 2 u d u

. Alors

I = \int_{0}^{1} \frac{2 u}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = 2 [\arcsin (u)]_{0}^{1} = π

I.4.5 Théorème

Soient

u, v : [a, b [\to R

des fonctions de classe

C^{1}

.
Si

lim_{x \to b^{-}} u (x) v (x)

existe et est finie alors

\int_{a}^{b} u^{'} v et \int_{a}^{b} u v^{'}

sont de même nature et en cas de convergence

\int_{a}^{b} u^{'} v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'}

où on a noté

[u v]_{a}^{b} = lim_{x \to b^{-}} u (x) v (x) - u (a) v (a)

Preuve

Immédiat d'après le cours de sup, en passant par des intégrales sur

[a, x]

I.4.6 Remarque

On peut étendre ce théorème à

] a, b]

et même à

] a, b [

(dans ce cas le crochet est la différence de deux limites).

I.4.7 En pratique

On reviendra toujours à une intégrale sur un segment

[a, x]

pour effectuer une intégration par parties puis on fait tendre

x

vers

b

. En effet, on ne connaît pas a priori la fonction

u

ni la limite de

u v

I.4.8 Exemple

Montrer la convergence et calculer

I = \int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t

t \mapsto t e^{- t}

est continue sur

[0, + \infty [

.
Posons

A > 0

. Alors

\int_{0}^{A} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{A} + \int_{0}^{A} e^{- t} \underset{A \to + \infty}{\to} 1

qui est une limite finie. Ainsi

I

converge et vaut 1.

I.4.9 Théorème

Soit

I

un intervalle de

R

.
Soit

f : I \to R^{+}

une fonction continue, positive et telle que

\int_{I}^{} f (t) d t

converge.
Si

\int_{I} f = 0

alors

\forall x \in I f (x) = 0

Preuve

Remarquons que si

x \in I

alors il existe un segment

[a, b] \subset I

tel que

x \in [a, b]

.
De plus, comme

f

est positive,

0 \leq \int_{[a, b]} f \leq \int_{I} f = 0

Or ce théorème est vrai quand

I

est un segment. Pour

x \in I

, il suffit d'appliquer le cours de 1ère année pour prouver que

f

est nulle sur un segment

[a, b]

qui contient

x

et donc

f (x) = 0

II Preuves de convergence

II.1 Fonctions intégrables

II.1.1 Définition

Soit

I

un intervalle et

f : I \to K

une fonction continue. On dit que

f

est intégrable sur

I

ssi

\int_{I} | f |

converge.
L'ensemble des fonctions continues et intégrables définies sur l'intervalle

I

et à valeurs dans

K

est noté

L^{1} (I, K)

II.1.2 Exemple

Etudier l'intégrabilité sur

] 0, + \infty [

t \mapsto \ln (t) e^{- t}

II.1.3 Remarque

Pour les fonction positives ou négatives, l'intégrabilité et le fait que l'intégrale converge est équivalent.

II.1.4 Proposition (Linéarité des intégrales convergentes)

Soient

f, g : [a, b [\to K

continues. Si

\int_{a}^{b} f et \int_{a}^{b} g

convergent toutes les deux alors pour tout

(α, β) \in K^{2}

\int_{a}^{b} (α f + β g)

converge également et on a

\int_{a}^{b} (α f (t) + β g (t)) d t = α \int_{a}^{b} f (t) d t + β \int_{a}^{b} g (t) d t

Preuve

Simple retour à la définition. On remplace

b

par

x \in [a, b [

pour intégrer sur un segment. La linéarité de l'intégrale s'applique alors et le théorème est une conséquence de du théorème de combinaison linéaire de limites finies.

II.1.5 Théorème

Soit

f \in C (I, K)

. SI

f

est intégrable sur

I

ALORS

\int_{I} f

converge.

Preuve

Cas $K = R$ . On traite le cas $I = [a, b [$ , la preuve s'adapte facilement dans le cas $I =] a, b]$
Notons $f_{+} : x \mapsto max (f (x), 0)$ et $f_{-} : x \mapsto min (f (x), 0)$ les fonctions qui valent respectivement $f (x)$ ou 0 suivant que $f (x)$ est positif ou négatif. D'après le cours de 1ère année ces fonctions sont continues (en utilisant $max (a, b) = \frac{| a - b | + a + b}{2}$ )

f = f_{+} + f_{-}

| f | = f_{+} - f_{-}

f

intégrable

I

\int_{I}^{} (f_{+} - f_{-})

\int_{I}^{} - f_{-}

- f_{-} \geq 0

F : x \mapsto \int_{a}^{x} - f_{-} (t) d t

- f_{-} \leq | f |

f_{+} \geq 0

x \in [a, b [

F (x) \leq \int_{a}^{x} | f (t) | d t \leq \int_{a}^{b} | f (t) | d t

| f | \geq 0

F

b

\int_{I}^{} - f_{-}

f = | f | + 2 f_{-}

\int_{I}^{} f

Cas $K = C$ . Notons $f = u + i v$ la forme algébrique de $f$ .
Alors $| u | \leq | f | et | v | \leq | f |$ . Par comparaison de fonctions à valeurs positives (voir théorème suivant), $u, v$ sont d'intégrales convergentes sur $I$ et donc $f = u + i v$ aussi.

II.1.6 Exemple

Montrer que

\int_{1}^{+ \infty} \frac{e^{i t}}{t^{2}} d t

converge. Le module de l'intégrande est une fonction de Riemann de référence.

II.2 Comparaison

II.2.1 Théorème (Comparaison)

Soient

f, g \in C ([a, b [, K)

des fonctions continues.

Si $| f | \leq | g |$ au voisinage de $b$ et $g$ est intégrable sur $[a, b [$ alors $f$ est intégrable sur $[a, b [$ .
Si $f = O_{b} (g)$ et $g$ est intégrable sur $[a, b [$ alors $f$ est intégrable sur $[a, b [$ .
Si $f = o_{b} (g)$ et $g$ est intégrable sur $[a, b [$ alors $f$ est intégrable sur $[a, b [$ .
Si $f \underset{b}{\sim} g$ alors $f$ est intégrable sur $[a, b [$ ssi $g$ est intégrable sur $[a, b [$ .

Le résultat vaut encore pour des fonctions définies sur

] a, b]

, à condition de prouver des relations de comparaison (ou une inégalité) en

a

Preuve

Plaçons nous sur un intervalle $[c, b [$ où $| f | \leq | g |$ . Les intégrales $\int_{a}^{b} | f |$ et $\int_{c}^{b} | f |$ ont la même nature.

x \in [c, b [

\int_{c}^{x} | f | \leq \int_{c}^{x} | g |

x \mapsto \int_{c}^{x} | g |

x \mapsto \int_{c}^{x} | f |

f \geq 0

b

\int_{c}^{b} | f |

\leq \int_{c}^{b} | g |

\int_{a}^{b} | f |

Dans le cas où $f = O_{b} (g)$ on a $| f | \leq M | g |$ au voisinage de $b$ pour un $M \in R +$ fixé.

\int_{a}^{b} M | g (t) | d t

\int_{a}^{b} | f |

On a dans ce cas $f = O_{b} (g)$
On a dans ce cas $f = O_{b} (g) et g = O_{b} (f)$ .

II.2.2 Négligeabilité

Si on a

f = o_{b} (g)

\int_{a}^{b} g

converge (avec

g

une fonction positive de référence) alors

\int_{a}^{b} f

converge. Dans la pratique, on utilisera très souvent ce fait.
Exemple :

\frac{1}{t^{t}} = o_{+ \infty} (\frac{1}{t^{2}})

donc

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{t}} d t

converge par comparaison de fonctions positives.

II.2.3 Divergence

On peut tout à fait appliquer les contraposées des points 1 et 2 pour prouver la divergence d'une intégrale d'une fonction positive. Par exemple, si

f = o_{b} (g)

\int_{a}^{b} f

diverge (avec

f

positive, fonction de référence), alors

g

n'est pas intégrable sur

I

(raisonnement par l'absurde).

II.2.4 $t^{α} f (t)$

En 0 Pour la convergence en 0, si $t^{\frac{1}{2}} f (t) \underset{0}{\to} 0$ ou plus généralement $t^{1 - ϵ} f (t) \underset{0}{\to} 0$ pour un $ϵ > 0$ fixé alors l'intégrale de $f$ converge en 0.
En $+ \infty$ si $t^{2} f (t) \underset{+ \infty}{\to} 0$ ou plus généralement $t^{1 + ϵ} f (t) \underset{+ \infty}{\to} 0$ alors l'intégrale de $f$ converge en $+ \infty$ .
De manière plus générale, si on peut déterminer $lim_{0 ou + \infty} t^{α} f (t)$ en fonction de la valeur de $α$ alors on pourra souvent conclure sur la convergence en 0 ou en $+ \infty$ .

II.2.5 Application à la preuve de divergence

a = 0

comme en

a = + \infty

, si on a

t f (t) \underset{t \to a}{\to} + \infty

on peut conclure à la divergence de l'intégrale de

f

, une fonction positive ou négative. Par exemple

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{\ln (t)} d t

diverge.

II.2.6 Exemple

Discuter suivant la valeur de

β \in R

la convergence de de

\int_{0}^{+ \infty} t^{β - 1} e^{- t} d t

.
On pose

f_{β} : t \mapsto t^{β - 1} e^{- t}

qui est continue sur

] 0, + \infty [

dans le cas général (pas en 0, à cause du cas

β - 1 < 0

). Alors

f_{β} (t) = o_{+ \infty} (\frac{1}{t^{2}})

car

t^{2} f_{β} (t) \underset{+ \infty}{\to} 0

. Ainsi l'intégrale converge en

+ \infty

par comparaison de fonctions positives.
En 0, on a

f_{β} (t) \underset{}{\sim} t^{α - 1} = \frac{1}{t^{1 - α}}

. L'intégrale converge ssi

α > 0

d'après le théorème précédent et par comparaison de fonctions positives.

II.2.7 Exemple

Montrer (enfin !) que

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t

converge.
Le calcul de la valeur est un exercice classique.

Preuve

Voici une preuve en plusieurs étapes.

Montrons que $\forall x > - 1 \ln (1 + x) \leq x$ (avec égalité seulement en 0).

f : x \mapsto \ln (1 + x)

] - 1, + \infty [

inégalité des accroissements finis

[0, x]

[x, 0]

f^{'} : x \mapsto \frac{1}{1 + x}

] - 1, + \infty [

x > 0

f^{'} (x) \leq \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \leq f^{'} (0)

\frac{\ln (1 + x)}{x} \leq 1

x < 0

f^{'} (1) \leq \frac{f (0) - f (x)}{0 - x} \leq f^{'} (x)

1 \leq \frac{- \ln (1 + x)}{- x}

- x \leq - \ln (1 + x)

- x > 0

Soit $n \in N ∖ {0}$ et $t \in [0, \sqrt{n} [$ , on a alors $\pm \frac{t^{2}}{n} \in] - 1, + \infty [$ et donc $\ln (1 + \frac{t^{2}}{n}) \leq \frac{t^{2}}{n}$ et $\ln (1 - \frac{t^{2}}{n}) \leq - \frac{t^{2}}{n}$ .

n \ln (1 - \frac{t^{2}}{n}) \leq - t^{2} \leq - n \ln (1 + \frac{t^{2}}{n})

{(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} \leq e^{- t^{2}} \leq {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- n}

La relations qui précède est encore vraie pour $t = \sqrt{n}$ , et en intégrant on obtient : $\underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} d t}} \leq \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \leq \underset{I_{2}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- n} d t}}$ En posant $t = \sqrt{n} \cos (u)$ dans $I_{1}$ (possible d'après les valeurs prises par $t$ ), on a $d t = - \sqrt{n} \sin (u) d u$ et donc $I_{1} = \int_{\frac{π}{2}}^{0} - \sqrt{n} \sin^{2 n + 1} (u) d u$ .

u = \sqrt{n} \tan (u)

I_{2}

I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{n} \cos^{2 n - 2} (u) d u

1 + \tan^{2} = \frac{1}{\cos^{2}} = \tan^{'}

Si on note $W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} (t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} (t) d t$ (par changement de variable $\frac{π}{2} - t$ ), on a $I_{2} \leq \sqrt{n} W_{2 n - 2}$ (car on intègre une fonction positive sur un segment plus petit) et donc $\sqrt{n} W_{2 n + 1} \leq \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \leq \sqrt{n} W_{2 n - 2}$ D'après l'étude des intégrales de Wallis, $W_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}}$ et par encadrement $\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \underset{n \to + \infty}{\to} \frac{\sqrt{π}}{2}$ .

II.2.8 Proposition

L^{1} (I, K)

est un

K

-espace vectoriel : toute combinaison linéaire de fonctions intégrables est encore intégrable.

Preuve

La fonction nulle est clairement intégrable sur $I$ et son intégrale vaut 0.
Soient $f, g \in L^{1} (I, K)$ et $λ, μ \in K$ .
Montrons que $λ f + μ g$ est encore intégrable.
Comme $| λ f + μ g | \leq | λ | | f | + | μ | | g |$ on peut utiliser la linéarité des intégrales convergentes pour conclure.

III Exemples importants

III.1 Application aux séries numériques

III.1.1 Théorème

Soit

f : [n_{0}, + \infty [\to R

(avec

n_{0} \in N

) une fonction continue, positive et décroissante.

\int_{n_{0}}^{+ \infty} f (t) d t et \sum_{n \geq n_{0}} f (n) ont la même nature

Preuve

Pour un

N > n_{0}

on a, (voir le schéma. La preuve est la décroissance de

f

et la croissance de l'intégrale, puis on somme des inégalités et on applique la relation de Chasles),

\int_{n_{0} + 1}^{N + 1} f (t) d t \leq \sum_{n = n_{0}}^{N} f (n) \leq \int_{n_{0}}^{N} f (t) d t .

Remarquer les bornes des intégrales, en lien avec le domaine de définition de

f

Ainsi la suite des sommes partielle est majorée ssi

x \mapsto \int_{n_{0}}^{x} f (t) d t

est majorée (il suffit de majorer les valeurs aux entiers car cette fonction est croissante).

III.1.2 Exemple

On prouve de cette manière la convergence et la divergence des séries de Riemann.

III.1.3 Application aux séries divergentes

On souhaite donner un équivalent de

\ln (n!) = \sum_{k = 2}^{n} \ln (k)

.
Or, pour

k \geq 2

\int_{k - 1}^{k} \ln (t) d t \leq \ln (k) \leq \int_{k}^{k + 1} \ln (t) d t

car

\ln

est croissante sur

[k - 1, k]

et sur

[k, k + 1]

.
En sommant de

2

n

on obtient

\int_{1}^{n} \ln (t) d t \leq \ln (n!) \leq \int_{2}^{n + 1} \ln (t) d t

n \ln (n) - n + 1 \leq n! \leq (n + 1) \ln (n + 1) - (n + 1) - 2 \ln (2) + 2

.
On en tire classiquement

\ln (n!) = n \ln (n) - n + o_{+ \infty} (n)

III.1.4 Restes d'une série convergente

On cherche un équivalent de

R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{2}}

. Avec

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}

on a (cf DM)

S_{n} + R_{n} = \frac{π^{2}}{6}

et donc

| S_{n} - \frac{π^{2}}{6} | = | R_{n} |

où

R_{n} \underset{n \to + \infty}{\to} 0

R_{n}

représente en fait la qualité de l'approximation de

\frac{π^{2}}{6}

par la somme finie

S_{n}

.
Pour

k > n

(on fixe

n \geq 1

pour l'instant), on a classiquement

\int_{k}^{k + 1} \frac{1}{t^{2}} d t \leq \frac{1}{k^{2}} \leq \int_{k - 1}^{k} \frac{1}{t^{2}} d t

et en sommant de

n + 1

+ \infty

\int_{n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}} d t \leq R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}} d t

.
Or

\int_{n}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}} d t = \frac{1}{n}

et donc

R_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \frac{1}{n}

(multiplier l'encadrement par

n

+ théorème d'encadrement).

III.2 Intégrales classiques

III.2.1 Fonction $Γ$

Reprenons II.2.6 . On pose, pour

β > 0

Γ (β) = \int_{0}^{+ \infty} t^{β - 1} e^{- t} d t

. Donnons un lien entre

Γ (β + 1) et Γ (β)

On a, pour

a > 0 et b > a

\int_{a}^{b} t^{β} e^{- t} d t = {[- t^{β} e^{- t}]}_{a}^{b} + \int_{a}^{b} β t^{β - 1} e^{- t} d t

. Comme le crochet tend vers 0 en

0 et + \infty

(

β > 0

) et que les deux intégrales considérées sont convergentes d'après l'étude de II.2.6 ,

Γ (β + 1) = β Γ (β) .

De plus,

Γ (1) = 1

et par récurrence immédiate,

\forall n \in N ∖ {0} Γ (n) = (n - 1)!

III.2.2 $\int_{I}^{} f$ converge mais $\int_{I}^{} | f |$ diverge

Comme pour les série numérique, ce n'est pas parce que

f

n'est pas intégrable que l'on peut déduire la divergence de l'intégrale de

f

. Voir les exemples de séries convergentes mais pas absolument convergentes.
Nous allons démontrer le résultat

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t converge, \int_{0}^{+ \infty} | \frac{\sin t}{t} | d t d i v e r g e

Posons

f : t \mapsto \frac{\sin t}{t}

qui est continue sur

I =] 0, + \infty [

. On veut montrer que l'intégrale de

f

sur

I

converge mais que

f

n'est pas intégrable sur

I

Montrons que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t$ converge.
1. $lim_{t \to 0^{+}} f (t) = 1$ par quotient d'équivalents et donc $f$ est prolongeable par continuité en 0 et $\int_{0}^{1} f (t) d t$ converge.
2. Pour l'intervalle $[1, + \infty [$ , nous allons effectuer une intégration par partie. Soit $A > 1$ .
  Posons $u : t \mapsto \frac{1}{t}$ et $v^{'} : t \mapsto \sin (t)$ qui sont $C^{1}$ sur $[1, A]$ . Alors $u^{'} : t \mapsto - \frac{1}{t^{2}}$ et $v : t \mapsto - \cos (t)$ convient.
  Par intégration par parties
  $\int_{1}^{A} \frac{\sin (t)}{t} d t = {[- \frac{\cos (t)}{t}]}_{1}^{A} - \int_{1}^{A} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t = \frac{\cos (1)}{1} - \frac{\cos (A)}{A} - \int_{1}^{A} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t$
  Nous avons deux limites à étudier.
  - Premièrement $0 \leq | \frac{\cos (A)}{A} | \leq \frac{1}{A}$ et donc $\frac{\cos (A)}{A} \underset{A \to + \infty}{\to} 0$ par encadrement.
  - Deuxièmement, $g : t \mapsto \frac{\cos (t)}{t^{2}}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ car $\forall t \geq 1 | g (t) | \leq \frac{1}{t^{2}}$ et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{2}}$ converge et par comparaison à une fonction positive.
    Ainsi $\int_{1}^{A} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t$ possède une limite finie lorsque $A \to + \infty$ .
  Par somme, $\int_{1}^{A} \frac{\sin (t)}{t} d t$ possède une limite finie lorsque $A \to + \infty$ ie $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\sin (t)}{t} d t$ converge.
Finalement, $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t$ converge.
Coin culture : cette intégrale s'appelle intégrale de Dirichlet et vaut $\frac{π}{2}$ , fait qui peut faire l'objet d'un problème.
Montrons que $f$ n'est pas intégrable sur $I$ . Supposons au contraire que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{| \sin t |}{t} d t$ converge et donc que $\int_{π}^{+ \infty} \frac{| \sin t |}{t} d t$ converge.

N \in N ∖ {0, 1}

u_{N} = \int_{π}^{N π} \frac{| \sin t |}{t} d t

u_{N} = \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t

k \in ⟦ 1, N - 1 ⟧

t \in [k π, (k + 1) π]

\frac{1}{t} \geq \frac{1}{(k + 1) π}

| \sin t | \geq 0

\frac{| \sin t |}{t} \geq \frac{| \sin t |}{(k + 1) π}

\int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t \geq \frac{1}{k + 1} \int_{k π}^{(k + 1) π} | \sin (t) | d t .

k

\int_{k π}^{(k + 1) π} | \sin (t) | d t = \int_{k π}^{(k + 1) π} \sin (t) d t = 2

k

\int_{k π}^{(k + 1) π} | \sin (t) | d t = \int_{k π}^{(k + 1) π} - \sin (t) d t = 2

u_{N} \geq \sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{2}{(k + 1) π} = \frac{2}{π} \sum_{k = 2}^{N} \frac{1}{k}

série

u_{N} \underset{N \to + \infty}{\to} + \infty

III.2.3 $\int_{0}^{+ \infty} f$ converge mais $f ↛ 0$

Nous n'avons pas de critère aussi facile que la divergence grossière des séries pour les intégrales.
Montrons que

\int_{0}^{+ \infty} \sin (e^{t}) d t

converge.

f : t \mapsto \sin (e^{t})

est continue sur

[0, + \infty [

. Posons

u = e^{t}

et donc

t = \ln (u)

(ce qui prouve que le changement de variable est bijectif). Alors

d t = \frac{1}{u} d u

et notre intégrale à la même nature que

\int_{1}^{+ \infty} \sin (u) \frac{1}{u} d u

. D'après le point précédent,

\int_{0}^{+ \infty} \sin (e^{t}) d t

converge.
Cependant,

f

ne possède pas de limite en

+ \infty

(car

x \mapsto \sin x

n'a pas de limite en

+ \infty

I Intégrales convergentes

I.1 Intégrales impropres

I.1.1 Définition

I.1.2 Remarque

I.1.3 Exemple

I.1.4 Définition

I.1.5 Exemple (A savoir refaire)

I.1.6 Définition-proposition

I.1.7 Interprétation graphique

I.1.8 Exemple

I.1.9 Coin-culture

I.1.10 Définition (Notation)

I.2 Prolongement par continuité

I.2.1 Proposition

I.2.2 Exemple

I.3 Intégrales de référence

I.3.1 Proposition

I.3.2 Proposition

I.3.3 Théorème (Intégrales de Riemann)

I.4 Adaptation des outils

I.4.1 Théorème

I.4.2 Cas d'un changement décroissant

I.4.3 Exemple

I.4.4 Exemple

I.4.5 Théorème

I.4.6 Remarque

I.4.7 En pratique

I.4.8 Exemple

I.4.9 Théorème

II Preuves de convergence

II.1 Fonctions intégrables

II.1.1 Définition

II.1.2 Exemple

II.1.3 Remarque

II.1.4 Proposition (Linéarité des intégrales convergentes)

II.1.5 Théorème

II.1.6 Exemple

II.2 Comparaison

II.2.1 Théorème (Comparaison)

II.2.2 Négligeabilité

II.2.3 Divergence

II.2.4 tαf(t)

II.2.5 Application à la preuve de divergence

II.2.6 Exemple

II.2.7 Exemple

II.2.8 Proposition

III Exemples importants

III.1 Application aux séries numériques

III.1.1 Théorème

III.1.2 Exemple

III.1.3 Application aux séries divergentes

III.1.4 Restes d'une série convergente

III.2 Intégrales classiques

III.2.1 Fonction Γ

III.2.2 ∫If converge mais ∫I|f| diverge

III.2.3 ∫0+∞f converge mais f↛0

II.2.4 $t^{α} f (t)$

III.2.1 Fonction $Γ$

III.2.2 $\int_{I}^{} f$ converge mais $\int_{I}^{} | f |$ diverge

III.2.3 $\int_{0}^{+ \infty} f$ converge mais $f ↛ 0$