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Colle 9

  • Séries entières

    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
    • Développement en série d'une fonction : développements usuels.
  • Algèbre linéaire

    • Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
    • Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
    • Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
    • Somme directe : définition par l'unicité de la décomposition. Théorème de la base adaptée.
    • Rappels sur les applications linéaires : noyau, image, théorème du rang.
    • Espace stable par une application linéaire. Effet sur la forme des matrices.
    • Projecteur : définition.
  • Questions de cours

    • Décrire les supplémentaires non triviaux (aucun des espaces n'est l'espace nul) dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).
    • L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace.
    • Définition d'un projecteur, donner les propriétés importantes (théorème 9).

Colle 7, semaine 8

  • Séries entières

    • Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
    • Développement en série d'une fonction : développements usuels.
  • Algèbre linéaire

    • Rappels sur les familles libres, génératrices, bases.
    • Espaces supplémentaires : définition par l'unicité de la décomposition, caractérisations (en dimension quelconque, en dimension finie). Théorème de la base adaptée.
    • Utilisation de la dimension pour calculer une somme d'espaces dans le cas où \(\dim(E)\) vaut 2 ou 3.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).
    • Décrire les supplémentaires non triviaux (aucun des espaces n'est l'espace nul) dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).

Colle 6, semaine 7

  • Matrices carrées

    • Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
    • Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
    • \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
    • \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
    • Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
  • Séries entières

    • Forme des séries entières, somme en tant que fonction.
    • Domaine de convergence : lemme d'Abel, rayon de convergence.
    • Déduction du rayon par la convergence et la divergence de certaines séries.
    • Rayon de la somme, du produit, de \(\sum{na_nz^n}\).
    • Application de la règle de d'Alembert pour le calcul du rayon (aucune formule liant \(\lim{\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|}}\) au rayon n'est au programme).
    • Propriétés de la somme dans le cas d'une variable réelle : continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme.
  • Questions de cours

    • Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
    • Montrer que \(\forall x \in ]-1, 1[\ \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n}\).
    • Calcul du rayon de convergence de \(\sum{\binom{2n}{n}x^n}\).

Colle 5, semaine 6

  • Matrices carrées

    • Rappel sur quelques méthodes de calcul de puissances d'une matrice : récurrence, Newton, calculer un reste dans une division euclidienne de polynômes.
    • Matrices inversibles : définition, différentes CNS, méthode pratique de calcul de l'inverse.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre composition et produit, changement de base.
    • Trace d'une matrice, d'une application linéaire.
    • Déterminant d'une matrice : définition en tant qu'une application linéaire par rapport à chaque colonne, valant 1 en \(I_n\) et anti-symétrique.
    • Opérations élémentaires sur un déterminant, déterminant d'une matrice triangulaire.
    • \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \ne 0\).
    • \(\det(\T{}A) = \det(A)\).
    • Développement par rapport à une ligne ou un colonne.
    • \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
  • Questions de cours

    • Pour \(A \in \M_n(\K)\), \(A \in GL_n(\K) \iff \T{A} \in GL_n(\K)\).
    • Pour \(A, B \in \M_n(\K)\), \(\tr(AB) = \tr(BA)\).
    • Calcul du déterminant de taille \(n\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)

Colle 4, semaine 5

  • Révisions sur les séries

    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
    • Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
  • Quelques révisions de géométrie

    • Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
    • A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
    • Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
  • Matrices carrées

    • Rappel sur quelques méthodes de calcul de puissances d'une matrice : récurrence, Newton, calculer un reste dans une division euclidienne de polynômes.
    • Matrices inversibles : définition, différentes CNS, méthode pratique de calcul de l'inverse.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire. Lien entre composition et produit, changement de base.
    • Trace d'une matrice, d'une application linéaire.
  • Questions de cours

    • On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Pour \(A \in \M_n(\K)\), \(A \in GL_n(\K) \iff \T{A} \in GL_n(\K)\).
    • Pour \(A, B \in \M_n(\K)\), \(\tr(AB) = \tr(BA)\).

Colle 3, semaine 4

  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
    • Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
    • Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
    • Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
    • Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
  • Quelques révisions de géométrie

    • Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
    • A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
    • Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
  • Questions de cours

    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).
    • On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

Colle 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
    • Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
    • Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
    • Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.