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Vous trouverez chaque semaine le programme de colle de la semaine courante. Attention aux dates !
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Colle 3, semaine 4

  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
    • Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
    • Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
    • Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
    • Produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.
    • Pour \(z \in \C\), \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument et quand \(x \in \R\), \(\sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{x^n}{n!}} = e^x\)
  • Quelques révisions de géométrie

    • Equation de plan (vectoriels) dans l'espace, de droite (vectorielles) dans le plan : savoir donner un vecteur normal et une base.
    • A partir d'une base, savoir retrouver une équation.
    • Projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle du plan (savoir refaire le schéma, retrouver les conditions géométriques, puis résoudre).
  • Questions de cours

    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).
    • On pose pour \(z \in \C\), \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Montrer que pour \(a, b \in \C\) on a \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

Colle 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
    • Séries de références : connaître la nature des séries de Riemann, séries géométriques (raison complexe).
    • Séries à termes positifs : elles convergent ssi elles sont majorées. Théorème de convergence par comparaison (majorant, négligeable, équivalent)
    • Application à l'étude des suites : \((u_n)_{n \in \N}\) converge ssi \(\sum_{n \in \N}{(u_{n + 1} - u_n)}\) converge.
    • Séries à termes complexes : convergence absolue, elle entraîne la convergence.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.
    • Pour \(q \in \C\) la série \(\sum_{n \in \N}{q^n}\) converge ssi \(|q| < 1\) et en cas de convergence sa somme vaut \(\inv{1 - q}\).

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions sur les séries

    • Définition d'une série, sommes partielles.
    • Séries convergentes, divergentes, grossièrement divergentes : définitions et exemples.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \((u_n) \in \C^{\N}\), si \(u_n\nrightarrow 0\) alors \(\sum{u_n}\) diverge.