Ajouts récent :

Categories disponibles :
Aucune
Filtres actifs :

Colle 18, semaine 20

Un premier programme, la version détaillée suivra.


Espaces euclidiens : comme la colle précédente + matrices orthogonales en dimension 2 ou3 (trouver les éléments géométriques)

Fonctions de plusieurs variables : Classe C1 par des arguments d'opérations, calcul des dérivées partielles pour trouver les points critiques (pas de matrice hessienne pour le moment) ou des équations de plan tangents.


Démonstrations : les 2 dernières du programme précédent + reconnaître et caractériser géométriquement une matrice de réflexion ou rotation de l'espace sur un exemple numérique.

Semaine 19

Pas de colle cette semaine pour cause de concours blanc. Reprise des colles à la rentrée

Colle 17, semaine 18

  • Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Espaces euclidiens

    • Définition d'un produit scalaire, exemple dans \(\Co([a, b], \R), \R[X], \M_n(\R), \R^n\).
    • Norme et distance associées à un produit scalaire.
    • Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
    • Familles orthogonales et orthonormales, liberté de telles familles. Théorème de Pythagore.
    • Coordonnées dans une base orthonormale, expression du produit scalaire en fonction des coordonnées dans une telle base.
    • Orthonogolalisation de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sous espace de dimension fini. Projection et symétrie orthogonales.
    • Calcul pratique d'une projection orthogonale sur \(F\) : directement si on connaît une base orthonormée de \(F\) ou alors en résolvant \(p(x) \in F\) et \(x - p(x) \perp F\).
    • Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie.
    • Isométries : image d'une base orthonormée, composition et réciproque restent des isométries.
    • Matrices orthogonales : savoir les reconnaître et exploiter le fait que \(M^{-1} = \T{}M\).
  • Questions de cours

    • \(\phi : (f, g) \mapsto \int_a^b{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).
    • Si \(\B = (e_1, \dots, e_n)\) est une base orthonormée de \(E\) et \(x, y \in E\) alors on a \(x = \sum\limits_{k = 1}^n{(x|e_k)e_k}\) et expression de \((x | y)\) en fonction des coordonnées dans \(\B\).
    • Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt dans un espace de dimension 3.

Colle 16, semaine 17

  • Intégrale sur un intervalle quelconque

    • Intégrabilité sur un intervalle. Elle prouve la convergence.
    • Intégration par parties, changement de variables.
  • Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Espaces euclidiens

    • Définition d'un produit scalaire, exemple dans \(\Co([a, b], \R), \R[X], \M_n(\R), \R^n\).
    • Norme et distance associées à un produit scalaire.
    • Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
    • Familles orthogonales et orthonormales, liberté de telles familles. Théorème de Pythagore.
    • Orthonogolalisation de Gram-Schmidt.
  • Questions de cours

    • Pour \(\beta \in \R\), \(\Gamma(\beta) = \int_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
    • Montrer que pour \(\beta > 0\), \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).
    • \(\phi : (f, g) \mapsto \int_a^b{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).

Colle 15, semaine 16

  • Intégrale sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
    • Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité.
    • Intégrales de référence : Riemann, exponentielles.
    • Comparaison des fonctions positives pour prouver la convergence.
    • Intégrabilité sur un intervalle. Elle prouve la convergence.
    • Intégration par parties, changement de variables.
  • Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Questions de cours

    • Convergence et calcul de \(\int_0^1{\ln(t)\d t}\).
    • Pour \(\beta \in \R\), \(\Gamma(\beta) = \int_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
    • Montrer que pour \(\beta > 0\), \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).

Colle de la rentrée

  • Courbes paramétrées

    • Analyser les symétries d'une courbe en réduisant son domaine d'étude.
    • Trouver un vecteur directeur de la tangente en un point régulier.
    • Points singuliers
    • Branches infinies.
  • Intégrale sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
    • Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité.
    • Intégrales de référence : Riemann, exponentielles.
    • Comparaison des fonctions positives pour prouver la convergence.
  • Questions de cours

    • Pour une droite du plan donnée par un des moyens suivants (au choix du colleur), donner toutes les autres descriptions : point + vecteur directeur, point + vecteur normal, deux points non confondus, équations cartésienne, \(\forall t \in \R \begin{cases}x(t) = \dots \\ y(t) = \dots \end{cases}\).
    • Etude locale d'une courbe : connaître la définition des entiers \(p \et q\) qui donnent l'allure au point \(M(t_0)\), illustrer chacun des cas, donner un vecteur directeur de la tangente.
    • Convergence et calcul de \(\int_0^1{\ln(t)\d t}\).

Colle 13, semaine 14

  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Courbes paramétrées

    • Analyser les symétries d'une courbe en réduisant son domaine d'étude.
    • Trouver un vecteur directeur de la tangente en un point régulier.
    • Points singuliers
    • Branches infinies.
  • Questions de cours

    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.
    • Pour une droite du plan donnée par un des moyens suivants (au choix du colleur), donner toutes les autres descriptions : point + vecteur directeur, point + vecteur normal, deux points non confondus, équations cartésienne, \(\forall t \in \R \begin{cases}x(t) = \dots \\ y(t) = \dots \end{cases}\).
    • Etude locale d'une courbe : connaître la définition des entiers \(p \et q\) qui donnent l'allure au point \(M(t_0)\), illustrer chacun des cas, donner un vecteur directeur de la tangente.

Colle 12, semaine 13

  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Questions de cours

    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.
    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.

Colle 11, semaine 12

  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Loi conjointe, lois marginales.
    • Variables indépendantes.
    • Espérance et variance.
  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
  • Questions de cours

    • \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) est d'espérance finie qui vaut \(\inv{p}\).
    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.

Colle 10, semaine 11

  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Extension des définitions et théorèmes dans le cas d'un univers dénombrable. Propriétés des probabilités
    • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique et loi de Poisson.
    • Loi conjointe, lois marginales.
    • Variables indépendantes.
    • Espérance et variance.
  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Questions de cours

    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).
    • \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) est d'espérance finie qui vaut \(\inv{p}\).

Colle 9, semaine 10

  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
    • Théorème de comparaison, application au rayon de convergence. Opérations sur les séries entières.
    • La multiplication ou la division par \(n\) du terme général ne modifie pas le rayon de convergence.
    • Propriété de la somme dans le cas réel : sur l'intervalle ouvert de convergence, intégration et dérivation terme à terme.
    • Unicité des coefficients.
    • Inégalité de Taylor-Lagrange.
    • Développements usuels.
  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Extension des définitions et théorèmes dans le cas d'un univers dénombrable. Propriétés des probabilités
    • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique et loi de Poisson.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DSE de \(\ln(1 + x)\).
    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).

Colle 8, semaine 9

  • Matrices carrées

    • Calculs de déterminants.
  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
    • Théorème de comparaison, application au rayon de convergence. Opérations sur les séries entières.
    • La multiplication ou la division par \(n\) du terme général ne modifie pas le rayon de convergence.
    • Propriété de la somme dans le cas réel : sur l'intervalle ouvert de convergence, intégration et dérivation terme à terme.
    • Unicité des coefficients.
    • Inégalité de Taylor-Lagrange.
    • Développements usuels.
  • Questions de cours

    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont semblables alors \(\tr(A) = \tr(B) \et \det(A) = \det(B)\).
    • Retrouver le DSE de \(\ln(1 + x)\).

Colle 7, semaine 8

  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effets des opérations élémentaires sur les colonnes, invariance par transposition. Développement par rapport à une colonne ou une ligne.
    • Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
    • Déterminant d'un produit de matrices, déterminant d'un endomorphisme.
  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
  • Questions de cours

    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).
    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont semblables alors \(\tr(A) = \tr(B) \et \det(A) = \det(B)\).

Colle 6, semaine 7

  • Séries numériques

    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effets des opérations élémentaires sur les colonnes, invariance par transposition. Développement par rapport à une colonne ou une ligne.
    • Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
    • Déterminant d'un produit de matrices, déterminant d'un endomorphisme.
  • Questions de cours

    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).

Colle 5, semaine 6

Une précision :  la démonstration de \(f(x) = e^x\) n'est pas exigible (pour les démonstrations 2 et 3)

  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
  • Questions de cours

    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).
    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

Colle 4, semaine 5

  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
    • Supplémentaires, espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0_E\). Bases adaptées.
    • Projecteurs et symétries.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire.
    • Espaces stables et effet sur les matrices.
  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
  • Questions de cours

    • L'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impaires sont supplémentaires dans \(\R^{\R}\).
    • Si \(p\) est un projecteur alors \(p\) est linéaire et \(p^2 = p\).
    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).

Colle 3, semaine 4

  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
    • Supplémentaires, espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0_E\). Bases adaptées.
    • Projecteurs et symétries.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire.
    • Espaces stables et effet sur les matrices.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\phi : P \mapsto \col{P(a_0)}{\vdots}{P(a_n)}\) est un isomorphisme de \(\R_n[X]\) dans \(\R^{n + 1}\) dans le cas où \(a_0, \dots, a_n\) sont des réels deux à deux distincts.
    • L'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impaires sont supplémentaires dans \(\R^{\R}\).
    • Si \(p\) est un projecteur alors \(p\) est linéaire et \(p^2 = p\).

Colle 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
  • Questions de cours

    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(f \in \Li(E, F)\), \(\ker(f)\) est un sous-espace de \(E\).
    • Montrer que \(\phi : P \mapsto \col{a_0}{\vdots}{a_n}\) est un isomorphisme de \(\R_n[X]\) dans \(\R^{n + 1}\) dans le cas où \(a_0, \dots, a_n\) sont des réels deux à deux distincts.

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(f \in \Li(E, F)\), \(\ker(f)\) est un sous-espace de \(E\).