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Colle 23

Voici venue la dernière colle de l'année. En ce qui concerne les intégrales à paramètre, en cas de besoin d'une domination locale, une indication doit être donnée.

  • Théorème spectral

    • Enoncé et implications pratique sur le calcul des espaces propres.
    • Réduction d'équations de coniques.
    • Matrice hessienne, application à la recherche d'extrema locaux.
  • Etude métrique des courbes

    • Rappels sur les courbes paramétrées.
    • Abscisse curviligne.
    • Repère de Frenet et formule de Frenet pour le calcul de la courbure.
    • Courbe développée
    • Enveloppe d'une famille de droite.
    • Calcul d'une développée en tant qu'enveloppe des normales.
  • Intégrales à paramètre

    • Connaissance des théorèmes.
    • Pratique de la domination.
  • Questions de cours

    • Enoncé de la formule de Taylor-Young en un point de critique de \(f \in \Co^2(U, \R)\). Conclure sur la présence d'un extremum suivant le signe des valeurs propres de la matrice hessienne.
    • Citer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
    • Citer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.

Colle 22

  • Equations différentielles linéaires

    • Chercher des solutions développable en série entière.
    • Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants, dans le cas où la matrice est diagonalisable.
  • Théorème spectral

    • Enoncé et implications pratique sur le calcul des espaces propres.
    • Réduction d'équations de coniques.
    • Matrice hessienne, application à la recherche d'extrema locaux.
  • Questions de cours

    • Résolution pratique d'un système différentiel de taille 2.
    • Ellipse, parabole, hyperbole : forme de l'équation réduite et tracé (pas l'étude de la courbe, seulement le tracé, en faisant apparaître la ou les constantes de l'équation sur le graphique).
    • Enoncé de la formule de Taylor-Young en un point de critique de \(f \in \Co^2(U, \R)\). Conclure sur la présence d'un extremum suivant le signe des valeurs propres de la matrice hessienne.

Colle 21

  • Compléments de probabilités

    • Fonction de répartition : elle caractérise la loi.
    • Fonction génératrice, application au calcul de l'espérance et de la variance.
  • Equations différentielles linéaires

    • révisions de 1ère année : équations scalaires d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
    • Equation scalaire d'ordre 2 à coefficients non constants : théorème de Cauchy, structure de l'ensemble des solutions, variation de la constante pour trouver une deuxième solution à l'équation homogène.
    • Chercher des solutions développable en série entière.
    • Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants, dans le cas où la matrice est diagonalisable.
  • Théorème spectral

    • Enoncé et implications pratique sur le calcul des espaces propres.
  • Questions de cours

    • L'ensemble des solutions de \(y'' + by' + cy = d(t)\) où \(d\) est continue est un espace affine de dimension 2.
    • Résolution pratique d'un système différentiel de taille 2.
    • Ellipse, parabole, hyperbole : forme de l'équation réduite et tracé (pas l'étude de la courbe, seulement le tracé, en faisant apparaître la ou les constantes de l'équation sur le graphique).

Colle 20, semaine 22

  • Fonctions de plusieurs variables

    • Ouverts et fermés de \(\R^p\) : définition et savoir les reconnaître intuitivement. Points intérieurs, extérieurs, adhérents, frontières.
    • Continuité et dérivabilité des fonctions de 2 ou 3 variables (à valeurs dans \(\R^n\)), classe \(\Co^1\). L'étude de prolongement par continuité n'est pas un attendu.
    • Gradient d'une fonction à valeurs dans \(\R\). Théorème de Taylor-Young et équation de plan tangents à une surface représentative.
    • Points critiques, recherche d'extrema. (la matrice hessienne n'est pas encore au programme)
    • Formule de dérivation composée. Application au changement de variable dans une EDP.
    • Dérivée d'ordre supérieur, théorème de Schwarz.
  • Compléments de probabilités

    • Fonction de répartition : elle caractérise la loi.
    • Fonction génératrice, application au calcul de l'espérance et de la variance.
  • Equations différentielles linéaires

    • révisions de 1ère année : équations scalaires d'ordre 1, d'ordre 2 à coefficients constants.
  • Questions de cours

    • Pour \(f\) de classe \(\Co^1\) sur \(\R^2\), calculer les dérivées partielles de \(g : (r \theta) \mapsto f(r\cos \theta, r\sin \theta)\).
    • Révisions : calcul de la variance de \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour \(p \in ]0, 1[\).
    • L'ensemble des solutions de \(ay'' + by' + cy = d(t)\) où \(d\) est continue est un espace affine de dimension 2.

Colle 19, semaine 21

  • Espaces euclidiens

    • Matrices orthogonales : savoir les reconnaître et exploiter le fait que \(M^{-1} = \T{}M\).
    • Description des isométries du plan et de l'espace.
  • Fonctions de plusieurs variables

    • Ouverts et fermés de \(\R^p\) : définition et savoir les reconnaître intuitivement. Points intérieurs, extérieurs, adhérents, frontières.
    • Continuité et dérivabilité des fonctions de 2 ou 3 variables (à valeurs dans \(\R^n\)), classe \(\Co^1\). L'étude de prolongement par continuité n'est pas un attendu.
    • Gradient d'une fonction à valeurs dans \(\R\). Théorème de Taylor-Young et équation de plan tangents à une surface représentative.
    • Points critiques, recherche d'extrema. (la matrice hessienne n'est pas encore au programme)
    • Formule de dérivation composée. Application au changement de variable dans une EDP.
    • Dérivée d'ordre supérieur, théorème de Schwarz.
  • Questions de cours

    • Sur un exemple, reconnaître une matrice de réflexion ou de rotation dans l'espace et trouver ses éléments géométriques.
    • Pour \(f\) de classe \(\Co^1\) sur \(\R^2\), calculer les dérivées partielles de \(g : (r \theta) \mapsto f(r\cos \theta, r\sin \theta)\).
    • Révisions : calcul de la variance de \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour \(p \in ]0, 1[\).

Colle 18, semaine 20

  • Espaces euclidiens

    • Définition d'un produit scalaire, exemple dans \(\Co([a, b], \R), \R[X], \M_n(\R), \R^n\).
    • Norme et distance associées à un produit scalaire.
    • Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
    • Familles orthogonales et orthonormales, liberté de telles familles. Théorème de Pythagore.
    • Coordonnées dans une base orthonormale, expression du produit scalaire en fonction des coordonnées dans une telle base.
    • Orthonogolalisation de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sous espace de dimension fini. Projection et symétrie orthogonales.
    • Calcul pratique d'une projection orthogonale sur \(F\) : directement si on connaît une base orthonormée de \(F\) ou alors en résolvant \(p(x) \in F\) et \(x - p(x) \perp F\).
    • Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie.
    • Isométries : image d'une base orthonormée, composition et réciproque restent des isométries.
    • Matrices orthogonales : savoir les reconnaître et exploiter le fait que \(M^{-1} = \T{}M\).
    • Description des isométries du plan et de l'espace.
  • Fonctions de plusieurs variables

    • Ouverts et fermés de \(\R^p\) : définition et savoir les reconnaître intuitivement. Points intérieurs, extérieurs, adhérents, frontières.
    • Continuité et dérivabilité des fonctions de 2 ou 3 variables (à valeurs dans \(\R^n\)), classe \(\Co^1\). L'étude de prolongement par continuité n'est pas un attendu.
    • Gradient d'une fonction à valeurs dans \(\R\). Théorème de Taylor-Young et équation de plan tangents à une surface représentative.
  • Questions de cours

    • Si \(\B = (e_1, \dots, e_n)\) est une base orthonormée de \(E\) et \(x, y \in E\) alors on a \(x = \sum\limits_{k = 1}^n{(x|e_k)e_k}\) et expression de \((x | y)\) en fonction des coordonnées dans \(\B\).
    • Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt dans un espace de dimension 3.
    • Su un exemple, reconnaître une matrice de réflexion ou de rotation dans l'espace et trouver ses éléments géométriques.

Semaine 19

Pas de colle cette semaine pour cause de concours blanc. Reprise des colles à la rentrée

Colle 17, semaine 18

  • Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Espaces euclidiens

    • Définition d'un produit scalaire, exemple dans \(\Co([a, b], \R), \R[X], \M_n(\R), \R^n\).
    • Norme et distance associées à un produit scalaire.
    • Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
    • Familles orthogonales et orthonormales, liberté de telles familles. Théorème de Pythagore.
    • Coordonnées dans une base orthonormale, expression du produit scalaire en fonction des coordonnées dans une telle base.
    • Orthonogolalisation de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sous espace de dimension fini. Projection et symétrie orthogonales.
    • Calcul pratique d'une projection orthogonale sur \(F\) : directement si on connaît une base orthonormée de \(F\) ou alors en résolvant \(p(x) \in F\) et \(x - p(x) \perp F\).
    • Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie.
    • Isométries : image d'une base orthonormée, composition et réciproque restent des isométries.
    • Matrices orthogonales : savoir les reconnaître et exploiter le fait que \(M^{-1} = \T{}M\).
  • Questions de cours

    • \(\phi : (f, g) \mapsto \int_a^b{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).
    • Si \(\B = (e_1, \dots, e_n)\) est une base orthonormée de \(E\) et \(x, y \in E\) alors on a \(x = \sum\limits_{k = 1}^n{(x|e_k)e_k}\) et expression de \((x | y)\) en fonction des coordonnées dans \(\B\).
    • Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt dans un espace de dimension 3.

Colle 16, semaine 17

  • Intégrale sur un intervalle quelconque

    • Intégrabilité sur un intervalle. Elle prouve la convergence.
    • Intégration par parties, changement de variables.
  • Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Espaces euclidiens

    • Définition d'un produit scalaire, exemple dans \(\Co([a, b], \R), \R[X], \M_n(\R), \R^n\).
    • Norme et distance associées à un produit scalaire.
    • Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
    • Familles orthogonales et orthonormales, liberté de telles familles. Théorème de Pythagore.
    • Orthonogolalisation de Gram-Schmidt.
  • Questions de cours

    • Pour \(\beta \in \R\), \(\Gamma(\beta) = \int_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
    • Montrer que pour \(\beta > 0\), \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).
    • \(\phi : (f, g) \mapsto \int_a^b{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).

Colle 15, semaine 16

  • Intégrale sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
    • Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité.
    • Intégrales de référence : Riemann, exponentielles.
    • Comparaison des fonctions positives pour prouver la convergence.
    • Intégrabilité sur un intervalle. Elle prouve la convergence.
    • Intégration par parties, changement de variables.
  • Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Questions de cours

    • Convergence et calcul de \(\int_0^1{\ln(t)\d t}\).
    • Pour \(\beta \in \R\), \(\Gamma(\beta) = \int_{0}^{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t}\d t}\) converge ssi \(\beta > 0\).
    • Montrer que pour \(\beta > 0\), \(\Gamma(\beta + 1) = \beta \Gamma(\beta)\).

Colle de la rentrée

  • Courbes paramétrées

    • Analyser les symétries d'une courbe en réduisant son domaine d'étude.
    • Trouver un vecteur directeur de la tangente en un point régulier.
    • Points singuliers
    • Branches infinies.
  • Intégrale sur un intervalle quelconque

    • Rappels sur l'intégrale sur un segment : théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann.
    • Intégrations des fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré \(\le 2\).
    • Intégrales convergentes : définition, exemples de calcul.
    • Convergence par prolongement par continuité.
    • Intégrales de référence : Riemann, exponentielles.
    • Comparaison des fonctions positives pour prouver la convergence.
  • Questions de cours

    • Pour une droite du plan donnée par un des moyens suivants (au choix du colleur), donner toutes les autres descriptions : point + vecteur directeur, point + vecteur normal, deux points non confondus, équations cartésienne, \(\forall t \in \R \begin{cases}x(t) = \dots \\ y(t) = \dots \end{cases}\).
    • Etude locale d'une courbe : connaître la définition des entiers \(p \et q\) qui donnent l'allure au point \(M(t_0)\), illustrer chacun des cas, donner un vecteur directeur de la tangente.
    • Convergence et calcul de \(\int_0^1{\ln(t)\d t}\).

Colle 13, semaine 14

  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Courbes paramétrées

    • Analyser les symétries d'une courbe en réduisant son domaine d'étude.
    • Trouver un vecteur directeur de la tangente en un point régulier.
    • Points singuliers
    • Branches infinies.
  • Questions de cours

    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.
    • Pour une droite du plan donnée par un des moyens suivants (au choix du colleur), donner toutes les autres descriptions : point + vecteur directeur, point + vecteur normal, deux points non confondus, équations cartésienne, \(\forall t \in \R \begin{cases}x(t) = \dots \\ y(t) = \dots \end{cases}\).
    • Etude locale d'une courbe : connaître la définition des entiers \(p \et q\) qui donnent l'allure au point \(M(t_0)\), illustrer chacun des cas, donner un vecteur directeur de la tangente.

Colle 12, semaine 13

  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Questions de cours

    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.
    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.

Colle 11, semaine 12

  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Loi conjointe, lois marginales.
    • Variables indépendantes.
    • Espérance et variance.
  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
  • Questions de cours

    • \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) est d'espérance finie qui vaut \(\inv{p}\).
    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.

Colle 10, semaine 11

  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Extension des définitions et théorèmes dans le cas d'un univers dénombrable. Propriétés des probabilités
    • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique et loi de Poisson.
    • Loi conjointe, lois marginales.
    • Variables indépendantes.
    • Espérance et variance.
  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Questions de cours

    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).
    • \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) est d'espérance finie qui vaut \(\inv{p}\).

Colle 9, semaine 10

  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
    • Théorème de comparaison, application au rayon de convergence. Opérations sur les séries entières.
    • La multiplication ou la division par \(n\) du terme général ne modifie pas le rayon de convergence.
    • Propriété de la somme dans le cas réel : sur l'intervalle ouvert de convergence, intégration et dérivation terme à terme.
    • Unicité des coefficients.
    • Inégalité de Taylor-Lagrange.
    • Développements usuels.
  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Extension des définitions et théorèmes dans le cas d'un univers dénombrable. Propriétés des probabilités
    • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique et loi de Poisson.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DSE de \(\ln(1 + x)\).
    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).

Colle 8, semaine 9

  • Matrices carrées

    • Calculs de déterminants.
  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
    • Théorème de comparaison, application au rayon de convergence. Opérations sur les séries entières.
    • La multiplication ou la division par \(n\) du terme général ne modifie pas le rayon de convergence.
    • Propriété de la somme dans le cas réel : sur l'intervalle ouvert de convergence, intégration et dérivation terme à terme.
    • Unicité des coefficients.
    • Inégalité de Taylor-Lagrange.
    • Développements usuels.
  • Questions de cours

    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont semblables alors \(\tr(A) = \tr(B) \et \det(A) = \det(B)\).
    • Retrouver le DSE de \(\ln(1 + x)\).

Colle 7, semaine 8

  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effets des opérations élémentaires sur les colonnes, invariance par transposition. Développement par rapport à une colonne ou une ligne.
    • Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
    • Déterminant d'un produit de matrices, déterminant d'un endomorphisme.
  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
  • Questions de cours

    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).
    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont semblables alors \(\tr(A) = \tr(B) \et \det(A) = \det(B)\).

Colle 6, semaine 7

  • Séries numériques

    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effets des opérations élémentaires sur les colonnes, invariance par transposition. Développement par rapport à une colonne ou une ligne.
    • Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
    • Déterminant d'un produit de matrices, déterminant d'un endomorphisme.
  • Questions de cours

    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).

Colle 5, semaine 6

Une précision :  la démonstration de \(f(x) = e^x\) n'est pas exigible (pour les démonstrations 2 et 3)

  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
  • Questions de cours

    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).
    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

Colle 4, semaine 5

  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
    • Supplémentaires, espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0_E\). Bases adaptées.
    • Projecteurs et symétries.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire.
    • Espaces stables et effet sur les matrices.
  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
  • Questions de cours

    • L'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impaires sont supplémentaires dans \(\R^{\R}\).
    • Si \(p\) est un projecteur alors \(p\) est linéaire et \(p^2 = p\).
    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).

Colle 3, semaine 4

  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
    • Supplémentaires, espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0_E\). Bases adaptées.
    • Projecteurs et symétries.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire.
    • Espaces stables et effet sur les matrices.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\phi : P \mapsto \col{P(a_0)}{\vdots}{P(a_n)}\) est un isomorphisme de \(\R_n[X]\) dans \(\R^{n + 1}\) dans le cas où \(a_0, \dots, a_n\) sont des réels deux à deux distincts.
    • L'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impaires sont supplémentaires dans \(\R^{\R}\).
    • Si \(p\) est un projecteur alors \(p\) est linéaire et \(p^2 = p\).

Colle 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
  • Questions de cours

    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(f \in \Li(E, F)\), \(\ker(f)\) est un sous-espace de \(E\).
    • Montrer que \(\phi : P \mapsto \col{a_0}{\vdots}{a_n}\) est un isomorphisme de \(\R_n[X]\) dans \(\R^{n + 1}\) dans le cas où \(a_0, \dots, a_n\) sont des réels deux à deux distincts.

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(f \in \Li(E, F)\), \(\ker(f)\) est un sous-espace de \(E\).