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Colle 13, semaine 14

  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Courbes paramétrées

    • Analyser les symétries d'une courbe en réduisant son domaine d'étude.
    • Trouver un vecteur directeur de la tangente en un point régulier.
    • Points singuliers
    • Branches infinies.
  • Questions de cours

    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.
    • Pour une droite du plan donnée par un des moyens suivants (au choix du colleur), donner toutes les autres descriptions : point + vecteur directeur, point + vecteur normal, deux points non confondus, équations cartésienne, \(\forall t \in \R \begin{cases}x(t) = \dots \\ y(t) = \dots \end{cases}\).
    • Etude locale d'une courbe : connaître la définition des entiers \(p \et q\) qui donnent l'allure au point \(M(t_0)\), illustrer chacun des cas, donner un vecteur directeur de la tangente.

Colle 12, semaine 13

  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
    • CNS de diagonalisabilité : \(\chi\) est scindé sur \(\K\) et la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la racine de \(\chi\) correspondante.
    • Condition suffisante : \(\chi\) est scindé à racines simples.
    • Equation caractéristique des suite récurrentes linéaires (à tout ordre). Expression quand les racines sont simples.
    • Trigonalisation : Toute matrice est semblable (dans \(\M_n(\C)\) s'il le faut) à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de \(\chi\) avec multiplicité. En pratique, il faut une indication pour trigonaliser.
    • Trace et déterminant en fonction des valeurs propres. Trouver la dernière valeur propre grâce à la trace.
  • Questions de cours

    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.
    • Expression du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille 2 : \(\chi_A(x) = x^2 - \tr(A) x + \det(A)\). Appliquer à un exemple et étudier la diagonalisabilité.

Colle 11, semaine 12

  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Loi conjointe, lois marginales.
    • Variables indépendantes.
    • Espérance et variance.
  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Réduction

    • Valeur propre et vecteur propre d'un endomorphisme. Espaces propres.
    • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Une somme d'espaces propres est directe.
    • Eléments propres des matrices. Polynôme caractéristique.
    • Retrouver la trace et le déterminant comme coefficients du polynôme caractéristique.
    • La dimension d'un espace propre est au maximum la multiplicité en tant que racine de \(\chi\).
  • Questions de cours

    • \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) est d'espérance finie qui vaut \(\inv{p}\).
    • \(\lambda\) est valeur propre de \(f \in \Li(E)\) (de dimension finie) ssi \(\chi_f(\lambda) = 0\).
    • Si \(D\) est une droite stable par \(f\) alors elle est dirigée par un vecteur propre.

Colle 10, semaine 11

  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Extension des définitions et théorèmes dans le cas d'un univers dénombrable. Propriétés des probabilités
    • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique et loi de Poisson.
    • Loi conjointe, lois marginales.
    • Variables indépendantes.
    • Espérance et variance.
  • Algèbre linéaire, révisions

    • Supplémentaires, projecteurs, base adaptée (à une somme directe).
    • Noyaux des endomorphismes. Bijectivité et déterminant.
    • ...
  • Questions de cours

    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).
    • \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) est d'espérance finie qui vaut \(\inv{p}\).

Colle 9, semaine 10

  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
    • Théorème de comparaison, application au rayon de convergence. Opérations sur les séries entières.
    • La multiplication ou la division par \(n\) du terme général ne modifie pas le rayon de convergence.
    • Propriété de la somme dans le cas réel : sur l'intervalle ouvert de convergence, intégration et dérivation terme à terme.
    • Unicité des coefficients.
    • Inégalité de Taylor-Lagrange.
    • Développements usuels.
  • Probabilités, révision

    • Programme de PTSI en entier, en particulier formule des probabilités totales, composées, indépendance, variable aléatoire, loi de Bernoulli, loi binomiale ainsi que leurs espérances et variances
  • Probabilités discrètes

    • Extension des définitions et théorèmes dans le cas d'un univers dénombrable. Propriétés des probabilités
    • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique et loi de Poisson.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DSE de \(\ln(1 + x)\).
    • Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) pour un \(p \in ]0, 1[\). Montrer que pour \(n, k \in \N\prive{0}\), \(\mathbb{P}(X > n + k| X > n) = \mathbb{P}(X > k)\).
    • Pour \(X \hookrightarrow \Pl(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \Pl(\mu)\) indépendantes, calculer la loi de \(Z = X + Y\).

Colle 8, semaine 9

  • Matrices carrées

    • Calculs de déterminants.
  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
    • Théorème de comparaison, application au rayon de convergence. Opérations sur les séries entières.
    • La multiplication ou la division par \(n\) du terme général ne modifie pas le rayon de convergence.
    • Propriété de la somme dans le cas réel : sur l'intervalle ouvert de convergence, intégration et dérivation terme à terme.
    • Unicité des coefficients.
    • Inégalité de Taylor-Lagrange.
    • Développements usuels.
  • Questions de cours

    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont semblables alors \(\tr(A) = \tr(B) \et \det(A) = \det(B)\).
    • Retrouver le DSE de \(\ln(1 + x)\).

Colle 7, semaine 8

  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effets des opérations élémentaires sur les colonnes, invariance par transposition. Développement par rapport à une colonne ou une ligne.
    • Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
    • Déterminant d'un produit de matrices, déterminant d'un endomorphisme.
  • Séries entières

    • Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entière.
    • Utilisation de la règle de d'Alembert pour calculer le rayon.
  • Questions de cours

    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).
    • Calcul de \(d_n = \begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}_{(n)}\)
    • Si \(A, B \in \M_n(\K)\) sont semblables alors \(\tr(A) = \tr(B) \et \det(A) = \det(B)\).

Colle 6, semaine 7

  • Séries numériques

    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
    • Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
    • Déterminant d'une matrice carrée : effets des opérations élémentaires sur les colonnes, invariance par transposition. Développement par rapport à une colonne ou une ligne.
    • Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
    • Déterminant d'un produit de matrices, déterminant d'un endomorphisme.
  • Questions de cours

    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).
    • Pour un projecteur \(p\) d'un espace de dimension finie, \(\tr(p) = \rg(p)\).

Colle 5, semaine 6

Une précision :  la démonstration de \(f(x) = e^x\) n'est pas exigible (pour les démonstrations 2 et 3)

  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
    • Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy. Les séries alternées sont hors programme.
  • Matrices carrées

    • Rappels sur les calculs de puissance (Newton, preuve par récurrence). Manipulation des expressions polynomiales.
    • Rappels sur les matrices inversibles : matrices triangulaires, caractérisations par la famille des lignes ou des colonnes qui est une base, interprétation sur les systèmes linéaires.
  • Questions de cours

    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).
    • Montrer que pour \(z \in \C\), la série \(\sum\limits_{n \ge 0}{\frac{z^n}{n!}}\) est absolument convergente.
    • Pour \(z \in \C\) on pose \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\). Rappeler la valeur de \(f(x)\) pour \(x \in \R\) et montrer que pour \(a, b \in \C\), \(f(a)f(b) = f(a + b)\).

Colle 4, semaine 5

  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
    • Supplémentaires, espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0_E\). Bases adaptées.
    • Projecteurs et symétries.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire.
    • Espaces stables et effet sur les matrices.
  • Séries numériques

    • Nature d'une série. CN de convergence.
    • Séries géométriques, de Riemann.
    • Calcul de sommes télescopique.
    • Séries à termes positifs. Elles convergent ssi elles sont majorées, comparaison (inégalité, négligeabilité, équivalence).
  • Questions de cours

    • L'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impaires sont supplémentaires dans \(\R^{\R}\).
    • Si \(p\) est un projecteur alors \(p\) est linéaire et \(p^2 = p\).
    • \(\sum\limits_{n \ge 1}{\inv{n^{\alpha}}}\) converge ssi \(\alpha > 1\).

Colle 3, semaine 4

  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
    • Supplémentaires, espaces en somme directe, caractérisation par l'unicité de l'écriture de \(0_E\). Bases adaptées.
    • Projecteurs et symétries.
    • Matrice d'une famille, d'une application linéaire.
    • Espaces stables et effet sur les matrices.
  • Questions de cours

    • Montrer que \(\phi : P \mapsto \col{P(a_0)}{\vdots}{P(a_n)}\) est un isomorphisme de \(\R_n[X]\) dans \(\R^{n + 1}\) dans le cas où \(a_0, \dots, a_n\) sont des réels deux à deux distincts.
    • L'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impaires sont supplémentaires dans \(\R^{\R}\).
    • Si \(p\) est un projecteur alors \(p\) est linéaire et \(p^2 = p\).

Colle 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Espaces vectoriels en dimension quelconque

    • Applications linéaires : définition d'une forme linéaire. Calculs de noyaux et d'images. Théorème du rang.
    • Equations linéaire : forme générale de l'équation, nature de l'ensemble des solutions.
    • Bases en dimension infinies : connaître la base canonique de \(\K[X]\), la méthode pour prouver qu'une famille indexée par \(\N\) est libre.
  • Questions de cours

    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(f \in \Li(E, F)\), \(\ker(f)\) est un sous-espace de \(E\).
    • Montrer que \(\phi : P \mapsto \col{a_0}{\vdots}{a_n}\) est un isomorphisme de \(\R_n[X]\) dans \(\R^{n + 1}\) dans le cas où \(a_0, \dots, a_n\) sont des réels deux à deux distincts.

Colle 1, semaine 2

  • Révisions sur les comparaisons

    • Equivalent, négligeable pour les fonctions.
    • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
    • Croissances comparées.
    • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
    • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
    • Croissances comparées sur les suites.
  • Révisions d'algèbre linéaire

    • Espaces de dimension finie : bases.
    • Application linéaire, noyau, image, théorème du rang.
    • Espaces supplémentaires.
  • Questions de cours

    • Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
    • \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
    • Pour \(f \in \Li(E, F)\), \(\ker(f)\) est un sous-espace de \(E\).