• Géométrie du plan et de l'espace : révisions

    • Produit scalaire et déterminant dans \(\R^2 \et \R^3\). Produit vectoriel dans \(\R^3\).
    • Droites du plan et de l'espace, plan dans l'espace : différentes représentations, passer de l'une à l'autre.
    • Cercles dans le plan : équation, intersections.
    • Matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace (connaître la forme).
  • Espaces euclidiens

    • Définition d'un produit scalaire, exemple dans \(\Co([a, b], \R), \R[X], \M_n(\R), \R^n\).
    • Norme et distance associées à un produit scalaire.
    • Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
    • Familles orthogonales et orthonormales, liberté de telles familles. Théorème de Pythagore.
    • Coordonnées dans une base orthonormale, expression du produit scalaire en fonction des coordonnées dans une telle base.
    • Orthonogolalisation de Gram-Schmidt.
    • Espaces orthogonaux, supplémentaire orthogonal d'un sous espace de dimension fini. Projection et symétrie orthogonales.
    • Calcul pratique d'une projection orthogonale sur \(F\) : directement si on connaît une base orthonormée de \(F\) ou alors en résolvant \(p(x) \in F\) et \(x - p(x) \perp F\).
    • Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie.
    • Isométries : image d'une base orthonormée, composition et réciproque restent des isométries.
    • Matrices orthogonales : savoir les reconnaître et exploiter le fait que \(M^{-1} = \T{}M\).
  • Questions de cours

    • \(\phi : (f, g) \mapsto \int_a^b{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\).
    • Si \(\B = (e_1, \dots, e_n)\) est une base orthonormée de \(E\) et \(x, y \in E\) alors on a \(x = \sum\limits_{k = 1}^n{(x|e_k)e_k}\) et expression de \((x | y)\) en fonction des coordonnées dans \(\B\).
    • Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt dans un espace de dimension 3.