Il s'agit de la dernière colle de l'année !

• Équations différentielles linéaires

  • Révisions de première année.
  • Équations d'ordre 2 à coefficients non constants : structure de l'ensemble des solutions.
  • Théorème de Cauchy-Lipschitz.
  • Recherche d'une solution développable en série entière.
  • Recherche d'une deuxième solution par variation de la constante.

• Intégrale à paramètre

  • Forme des intégrales, rappel sur le théorème fondamental.
  • Continuité.
  • Dérivabilité (l'hypothèse de continuité par rapport à la variable d'intégration de la dérivée partielle est offerte en pratique).
  • Si une domination locale est nécessaire, elle doit être indiquée. Le passage à l'intervalle entier est exigible.

• Probabilités

  • Révisions de 1ère année et extension aux familles dénombrables d'événements et aux variables aléatoires discrètes.
  • Outils de calcul : Bayes, probabilités composées, probabilités totales.
  • Variables aléatoires discrètes : loi géométrique (avec interprétation), de Poisson.
  • Loi conjointe, indépendance.

• Révisions

  • Loi binomiale : définition, interprétation.
  • Preuve de la formule de Bayes
  • Point régulier d'une courbe paramétrée, vecteur directeur de la tangente.

• Questions de cours

  1. Montrer que \(f : x \mapsto \dint{0}{\pi}{\cos(x\sin(t))\d t}\) est de classe \(\Co^1\) sur \(\R\) et donner \(f'\).
  2. Si \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) alors pour tout \(n, k >0\) entiers, \(\Prob(X>n+k|X>n) = \Prob(X>k)\).
  3. Si \(X \hookrightarrow \Pl(\lam)\) et \(Y\hookrightarrow \Pl(\mu)\) sont indépendantes, donner la loi de \(Z= X+Y\).

• Surfaces

  • Surface réglée : définition, paramétrisation. Exemples d'équations.
  • Surface de révolution : définition, paramétrisation en utilisant des matrices de rotation.
  • Méridiennes d'une surface de révolution. Intersection avec des plans perpendiculaire à l'axe.

• Équations différentielles linéaires

  • Révisions de première année.
  • Équations d'ordre 2 à coefficients non constants : structure de l'ensemble des solutions.
  • Théorème de Cauchy-Lipschitz.
  • Recherche d'une solution développable en série entière.
  • Recherche d'une deuxième solution par variation de la constante.

• Intégrale à paramètre

  • Forme des intégrales, rappel sur le théorème fondamental.
  • Continuité.
  • Dérivabilité (l'hypothèse de continuité par rapport à la variable d'intégration de la dérivée partielle est offerte en pratique). Travaillé en DM, mais pas en TD.
  • Si une domination locale est nécessaire, elle doit être indiquée. Le passage à l'intervalle entier est exigible.

• Révisions

  • Loi binomiale : définition, interprétation.
  • Preuve de la formule de Bayes
  • Point régulier d'une courbe paramétrée, vecteur directeur de la tangente.

• Questions de cours

  1. Donner une paramétrisation d'une surface de révolution autour d'un axe de coordonnées (au choix du colleur).
  2. On note \(y_0 : t \mapsto \frac{t}{1 - t}\) qui est solution (admis) de \(t^2(1-t)y"(t) - t(1 + t)y'(t) + y(t) = 0\). Donner l'ensemble des solutions sur \(]0,1[\).
  3. Si \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) alors pour tout \(n, k >0\) entiers, \(\Prob(X>n+k|X>n) = \Prob(X>k)\).

• Surfaces

  • Dans ce chapitre, toutes les fonctions sont au moins \(\Co^1\).
  • Surfaces paramétrées : définition, courbes coordonnées, points réguliers.
  • Plan tangent, lien avec les droites tangentes aux courbes coordonnées.
  • Surfaces définies par une équation : point régulier et plan tangent.
  • Courbes tracées sur une surface : deux définitions suivant la définition de la surface. Lien entre droite tangente et plan tangent.
  • Surface réglée : définition, paramétrisation. Exemples d'équations.
  • Surface de révolution : définition, paramétrisation en utilisant des matrices de rotation.
  • Méridiennes d'une surface de révolution. Intersection avec des plans perpendiculaire à l'axe.

• Équations différentielles linéaires

  • Révisions de première année.
  • Équations d'ordre 2 à coefficients non constants : structure de l'ensemble des solutions.
  • Théorème de Cauchy-Lipschitz.
  • Recherche d'une solution développable en série entière.
  • Recherche d'une deuxième solution par variation de la constante.

• Révisions

  • Définition d'une intégrale convergente.
  • Loi binomiale : définition, interprétation.
  • Preuve de la formule de Bayes

• Questions de cours

  1. Montrer l'égalité de \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 1\) avec un certaine surface paramétrée (2 inclusions).
  2. Donner une paramétrisation d'une surface de révolution autour d'un axe de coordonnées (au choix du colleur).
  3. On note \(y_0 : t \mapsto \frac{t}{1 - t}\) qui est solution (admis) de \(t^2(1-t)y"(t) - t(1 + t)y'(t) + y(t) = 0\). Donner l'ensemble des solutions sur \(]0,1[\).

• Espaces préhilbertiens et euclidiens

  • Définition d'un produit scalaire, extension des résultats vus dans le cas de \(\R^n\).
  • Produit scalaire canonique dans \(\M_n(\R)\), intégral dans \(\Co([a, b], \R)\).
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
  • Formule pour un projecteur si on connaît une base orthonormée. Application aux droites.
  • Théorème des moindres carrés.
  • Isométries : définition, matrice dans une BON.
  • Caractérisation des symétries orthogonales par leur matrice dans une BON.
  • Isométries du plan : classification, savoir donner les éléments caractéristiques.
  • Isométries de l'espace : idem.

• Surfaces

  • Dans ce chapitre, toutes les fonctions sont au moins \(\Co^1\).
  • Surfaces paramétrées : définition, courbes coordonnées, points réguliers.
  • Plan tangent, lien avec les droites tangentes aux courbes coordonnées.
  • Surfaces définies par une équation : point régulier et plan tangent.
  • Courbes tracées sur une surface : deux définitions suivant la définition de la surface. Lien entre droite tangente et plan tangent.

• Révisions

  • Etablir une équation de plan
  • Retrouver base, point, vecteur normal depuis une équation de plan.
  • Définition d'une intégrale convergente.

• Questions de cours

  1. Montrer que \(\phi : (f, g) \mapsto \dint{a}{b}{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\)
  2. Étudier la nature de l'endomorphisme canoniquement associé à \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
  3. Montrer l'égalité de \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 1\) avec un certaine surface paramétrée (2 inclusions).

• Coniques

  • Tracé de chaque conique dans le repère où l'équation est réduite.
  • Savoir interpréter \(p\) pour une parabole, placer directrice, foyer, sommet.
  • Interprétation de \(a, b\) pour une ellipse ou une hyperbole. Placer les sommets.
  • Tangentes à un courbe définie par une équation de la forme \(f(x, y) = 0\).
  • Réduction d'équation de conique avec ou sans terme rectangle.

• Espaces préhilbertiens et euclidiens

  • Définition d'un produit scalaire, extension des résultats vus dans le cas de \(\R^n\).
  • Produit scalaire canonique dans \(\M_n(\R)\), intégral dans \(\Co([a, b], \R)\).
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
  • Formule pour un projecteur si on connaît une base orthonormée. Application aux droites.
  • Théorème des moindres carrés.
  • Isométries : définition, matrice dans une BON.
  • Caractérisation des symétries orthogonales par leur matrice dans une BON.
  • Isométries du plan : classification, savoir donner les éléments caractéristiques.
  • Isométries de l'espace : idem.

• Révisions

  • Etablir une équation de plan
  • Retrouver base, point, vecteur normal depuis une équation de plan.
  • Définition d'une intégrale convergente.

• Questions de cours

  1. Trouver l'expression de la projection orthogonale sur \(D = \Vect\col{1}{-2}{2}\)
  2. Montrer que \(\phi : (f, g) \mapsto \dint{a}{b}{f(t)g(t)\d t}\) est un produit scalaire sur \(E = \Co([a, b], \R)\)
  3. Etudier la nature de l'endomorphisme canoniquement associé à \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)

• Fonctions de plusieurs variables

  • Exemples de résolution d'EDP : "simples", par changement de variables donné.
  • Étude des extrema : points critiques, matrice hessienne.

• Coniques

  • Définition par foyer, directrice, excentricité. Équations réduites.
  • Paramétrisation de l'ellipse et de l'hyperbole.
  • Tracé de chaque conique dans le repère où l'équation est réduite.
  • Savoir interpréter \(p\) pour une parabole, placer directrice, foyer, sommet.
  • Interprétation de \(a, b\) pour une ellipse ou une hyperbole. Placer les sommets.
  • Tangentes à un courbe définie par une équation de la forme \(f(x, y) = 0\).
  • Réduction d'équation de conique avec ou sans terme rectangle.

• Espaces préhilbertiens et euclidiens

  • Définition d'un produit scalaire, extension des résultats vus dans le cas de \(\R^n\).
  • Produit scalaire canonique dans \(\M_n(\R)\), intégral dans \(\Co([a, b], \R)\).
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
  • Formule pour un projecteur si on connaît une base orthonormée. Application aux droites.

• Révisions

  • Définition de matrice orthogonale, caractérisations.
  • Expression matricielle d'une rotation du plan.
  • Équation de droites : trouver des vecteurs devant une équation, établir une équation.

• Questions de cours

  1. Citer l'équation réduite d'une ellipse, tracer sans justification, placer les sommets et les foyers.
  2. Idem pour une hyperbole (en précisant les asymptotes).
  3. Trouver l'expression de la projection orthogonale sur \(D = \Vect\col{1}{-2}{2}\)

• Fonctions de plusieurs variables

  • Sous-ensembles ouverts et fermé de \(\R^p\) (cas pratique \(p = 2\)). Représenter des exemples simples et dire s'ils sont ouverts/fermés/bornés en étudiant la frontière tracée.
  • Fonctions continues de plusieurs variables : théorème des bornes atteintes.
  • Dérivabilité partielle et classe \(\Co^1\). Calcul des dérivées partielles (y compris pour les fonctions à valeurs vectorielles), du gradient.
  • Formule de dérivation pour la composition (changement de variable).
  • Exemples de résolution d'EDP : "simples", par changement de variables donné.
  • Étude des extrema : points critiques, matrice hessienne.

• Coniques

  • Définition par foyer, directrice, excentricité. Équations réduites.
  • Paramétrisation de l'ellipse et de l'hyperbole.
  • Tracé de chaque conique dans le repère où l'équation est réduite.
  • Savoir interpréter \(p\) pour une parabole, placer directrice, foyer, sommet.
  • Interprétation de \(a, b\) pour une ellipse ou une hyperbole. Placer les sommets.

• Révisions

  • Définition de matrice orthogonale, caractérisations.
  • Expression matricielle d'une rotation du plan.
  • Équation de droites : trouver des vecteurs devant une équation, établir une équation.

• Questions de cours

  1. Citer la formule de changement de variable pour des fonctions de 2 variables, et appliquer à \(g(r, \theta) = f(r\cos \theta, r \sin \theta)\) pour calculer les dérivées partielles de \(g\).
  2. Citer l'équation réduite d'une ellipse, tracer sans justification, placer les sommets et les foyers.
  3. Idem pour une hyperbole.

• Théorème spectral

  • Produit scalaire canonique dans \(\R^n\) : définition par une somme, par un produit matriciel. Propriétés.
  • Norme euclidienne : propriétés et lien avec le produit scalaire (définition, identité de polarisation).
  • Vecteurs et espaces orthogonaux. Famille orthogonale, orthonormale.
  • Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de \(\R^n\).
  • Matrices orthogonales : définition par la transposition. Caractérisations. Écriture des formules de changement de BON.
  • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux, théorème spectral.
  • Orthogonalisation et orthonormalisation de Gram-Schmidt.

• Fonctions de plusieurs variables

  • Sous-ensembles ouverts et fermé de \(\R^p\) (cas pratique \(p = 2\)). Représenter des exemples simples et dire s'ils sont ouverts/fermés/bornés en étudiant la frontière tracée.
  • Fonctions continues de plusieurs variables : théorème des bornes atteintes.
  • Dérivabilité partielle et classe \(\Co^1\). Calcul des dérivées partielles (y compris pour les fonctions à valeurs vectorielles), du gradient.
  • Formule de dérivation pour la composition (changement de variable).

• Révisions

  • Interprétation géométrique de \(z \mapsto e^{i\theta}z\) définie sur \(\C\).
  • Savoir donner une équation de cercle ou de sphère de centre fixé et rayon fixé.
  • Paramétrisation du cercle unité.

• Questions de cours

  1. Soit \(A \in \M_n(\R)\). \(A\) est symétrique ssi \(\forall X, Y \in \R^n\ \scal{AX}{Y} = \scal{X}{AY}\).
  2. Montrer que \(A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) est diagonalisable et donner une base orthonormée de vecteurs propres.
  3. Citer la formule de changement de variable pour des fonctions de 2 variables, et appliquer à \(g(r, \theta) = f(r\cos \theta, r \sin \theta)\) pour calculer les dérivées partielles de \(g\).

• Théorème spectral

  • Produit scalaire canonique dans \(\R^n\) : définition par une somme, par un produit matriciel. Propriétés.
  • Norme euclidienne : propriétés et lien avec le produit scalaire (définition, identité de polarisation).
  • Vecteurs et espaces orthogonaux. Famille orthogonale, orthonormale.
  • Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de \(\R^n\).
  • Matrices orthogonales : définition par la transposition. Caractérisations. Écriture des formules de changement de BON.
  • Matrices symétriques réelles : les espaces propres sont orthogonaux, théorème spectral.
  • Orthogonalisation et orthonormalisation de Gram-Schmidt.

• Révisions

  • Définition d'un point régulier d'une courbe paramétrée.
  • Savoir établit l'équation de la tangente en un point régulier d'une courbe.
  • Définition de valeur propre et vecteur propre.

• Questions de cours

  1. Une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls est libre.
  2. Soit \(A \in \M_n(\R)\). \(A\) est symétrique ssi \(\forall X, Y \in \R^n\ \scal{AX}{Y} = \scal{X}{AY}\).
  3. Montrer que \(A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) est diagonalisable et donner une base orthonormée de vecteurs propres.

• Intégrales généralisées

  • Fonctions intégrables sur un intervalle : définition, lien entre convergence et convergence absolue. Théorème de comparaison pour prouver l'intégrabilité et la convergence d'intégrale de fonctions positives.
  • Théorème d'intégration terme à terme. La démarche doit être guidée.
  • Lien série-intégrale lorsque la fonction est continue, positive et décroissante.

• Théorème spectral

  • Produit scalaire canonique dans \(\R^n\) : définition par une somme, par un produit matriciel. Propriétés.
  • Norme euclidienne : propriétés et lien avec le produit scalaire (définition, identité de polarisation).
  • Vecteurs et espaces orthogonaux. Famille orthogonale, orthonormale.
  • Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de \(\R^n\).
  • Matrices orthogonales : définition par la transposition. Caractérisations. Écriture des formules de changement de BON.

• Révisions

  • Définition d'un point régulier d'une courbe paramétrée.
  • Savoir établit l'équation de la tangente en un point régulier d'une courbe.
  • Définition de valeur propre et vecteur propre.

• Questions de cours

  1. Donner suivant la valeur de \(\beta\) la nature de \(\dint{0}{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t}\).
  2. Pour \(x > 0\), on pose \(\Gamma(x) = \dint{0}{+\infty}{t^{x - 1}e^{-t} \d t}\). Montrer que pour tout \(x \in ]0, +\infty[\) on a \(\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)\).
  3. Une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls est libre.

• Intégrales généralisées

  • Définition d'une intégrale convergente dans les cas où l'intervalle possède une ou deux bornes ouvertes.
  • Intégrales de référence : \(\ln\) en 0, exponentielles en \(+\infty\), Riemann.
  • Changement de variable et intégration par parties : révisions et adaptation aux intégrales généralisées. Conservation de la nature par changement de variable bijectif et étude des intégrales se ramenant à Riemann par changement de variable.
  • Fonctions intégrables sur un intervalle : définition, lien entre convergence et convergence absolue. Théorème de comparaison pour prouver l'intégrabilité et la convergence d'intégrale de fonctions positives.
  • Théorème d'intégration terme à terme. Le démarche doit être guidée.
  • Lien série-intégrale lorsque la fonction est continue, positive et décroissante.

• Révisions

  • Équation de droite et de plan : vecteurs normaux.
  • Produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l'espace : interprétation de la valeur nulle.
  • Sous espaces supplémentaires dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).

• Questions de cours

  1. Prouver la nature de \(\dint{0}{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) en fonction de \(\alpha\).
  2. Donner suivant la valeur de \(\beta > 0\) la nature de \(\dint{0}{+\infty}{t^{\beta - 1}e^{-t} \d t}\).
  3. Pour \(x > 0\), on pose \(\Gamma(x) = \dint{0}{+\infty}{t^{x - 1}e^{-t} \d t}\). Montrer que pour tout \(x \in ]0, +\infty[\) on a \(\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)\).

• Réduction

  • Utilisation du théorème du rang pour calculer la dimension des espaces propres.
  • Applications : calcul de puissance, suite récurrentes linéaires.
  • Trigonalisation : un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé. En pratique, donner une indication.
  • Somme et produits des racines du polynôme caractéristique : deviner la dernière valeur propre.

• Intégrales généralisées

  • Définition d'une intégrale convergente dans les cas où l'intervalle possède une ou deux bornes ouvertes.
  • Intégrales de référence : \(\ln\) en 0, exponentielles en \(+\infty\), Riemann.
  • Changement de variable et intégration par parties : révisions et adaptation aux intégrales généralisées. Conservation de la nature par changement de variable bijectif et étude des intégrales se ramenant à Riemann par changement de variable.

• Révisions

  • Équation de droite et de plan : vecteurs normaux.
  • Produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l'espace : interprétation de la valeur nulle.
  • Sous espaces supplémentaires dans \(\R^2\) et dans \(\R^3\).

• Questions de cours

  1. Montrer que la matrice \(A \in \M_6(\R)\) dont tous les coefficients sont égaux à 1 est diagonalisable sans calculer son polynôme caractéristique.
  2. Prouver la nature de \(\dint{1}{+\infty}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) en fonction de \(\alpha\).
  3. Prouver la nature de \(\dint{0}{1}{\inv{t^{\alpha}}\d t}\) en fonction de \(\alpha\).

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
  • Polynôme caractéristique. Calcul pratique des valeurs propres et espaces propres. Dimension maximale des espaces propres.
  • Diagonalisabilité, caractérisée par : l'existence d'une base composée de vecteur propres, le fait que la somme directe des espaces propres est l'espace de référence en entier, par le fait que le polynôme caractéristique est scindé et que chaque espace propre a pour dimension la multiplicité de la racine.
  • Utilisation du théorème du rang pour calculer la dimension des espaces propres.
  • Applications : calcul de puissance, suite récurrentes linéaires.
  • Trigonalisation : un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé. En pratique, donner une indication.
  • Somme et produits des racines du polynôme caractéristique : deviner la dernière valeur propre.

• Révisions

  • Primitives usuelles
  • Nature des séries de Riemann
  • Somme des séries géométriques et exponentielles en rappelant le domaine de convergence.

• Questions de cours

  1. Pour \(f \in \Li(E)\) en dimension finie, montrer que \(\lambda \in Sp(f)\) ssi \(\lambda\) est une racine de \(\chi_f\).
  2. Montrer que \(A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\) n'est pas diagonalisable en trouvant les valeurs propres et en calculant la dimension de chaque espace propre.
  3. Montrer que la matrice \(A \in \M_6(\R)\) dont tous les coefficients sont égaux à 1 est diagonalisable sans calculer son polynôme caractéristique.

• Séries entières

  • Définition d'une série entière, du domaine de convergence
  • Rayon de convergence d'une série entière : définition, lien avec le domaine de convergence (conséquence du lemme d'Abel).
  • Comparaison des rayons de convergence, rayon d'une somme, d'un produit.
  • \(\sum{a_nz^n}\) et \(\sum{na_nz^n}\) ont même rayon de convergence.
  • Règle de d'Alembert dans le cas où \(a_n \ne 0\).
  • Somme d'une série entière : continuité, intégration et dérivation terme à terme.
  • Développement en série : définition, exemples usuels.

• Réduction

  • Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice.
  • Polynôme caractéristique. Calcul pratique des valeurs propres et espaces propres. Dimension maximale des espaces propres.
  • Diagonalisabilité, caractérisée par : l'existence d'une base composée de vecteur propres, le fait que la somme directe des espaces propres est l'espace de référence en entier, par le fait que le polynôme caractéristique est scindé et que chaque espace propre a pour dimension la multiplicité de la racine.

• Révisions

  • Définition d'un point régulier d'une courbe paramétrée
  • Nature des séries de Riemann
  • Somme des séries géométriques et exponentielles en rappelant le domaine de convergence.

• Questions de cours

  1. Retrouver le DSE de \(-\ln(1-x)\) ou de \(\arctan(x)\) au choix du colleur.
  2. Pour \(f \in \Li(E)\) en dimension finie, montrer que \(\lambda \in Sp(f)\) ssi \(\lambda\) est une racine de \(\chi_f\).
  3. Montrer que \(A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\) n'est pas diagonalisable en trouvant les valeurs propres et en calculant la dimension de chaque espace propre.

• Séries entières

  • Définition d'une série entière, du domaine de convergence
  • Rayon de convergence d'une série entière : définition, lien avec le domaine de convergence (conséquence du lemme d'Abel).
  • Comparaison des rayons de convergence, rayon d'une somme, d'un produit.
  • \(\sum{a_nz^n}\) et \(\sum{na_nz^n}\) ont même rayon de convergence.
  • Règle de d'Alembert dans le cas où \(a_n \ne 0\).
  • Somme d'une série entière : continuité, intégration et dérivation terme à terme.
  • Développement en série : définition, exemples usuels.

• Révisions

  • Définition d'un point régulier d'une courbe paramétrée
  • Nature des séries de Riemann
  • Somme des séries géométriques et exponentielles en rappelant le domaine de convergence.

• Questions de cours

  1. Pour \(\alpha \in \R\), calculer le rayon de convergence de \(\sum{n^{\alpha}x^n}\).
  2. Si \(a_n\ne 0\) pour tout \(n\) et \(\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| \tend{n \to + \infty} \ell \in ]0, +\infty[\) alors \(\sum{a_nz^n}\) est de rayon de convergence \(\inv{\ell}\).
  3. Retrouver le DSE de \(-\ln(1-x)\) ou de \(\arctan(x)\) au choix du colleur.

• Espaces vectoriels

  • Sous-espace stable par un endomorphisme, endomorphisme induit : traduction sous forme de matrice par bloc.
  • Hyperplans : ce sont les noyaux des formes linéaires, équation d'un hyperplan dans une base.
  • Rappels sur les résolutions de systèmes, interprétation de l'ensemble des solutions comme intersection d'hyperplans.

• Séries entières

  • Définition d'une série entière, du domaine de convergence
  • Rayon de convergence d'une série entière : définition, lien avec le domaine de convergence (conséquence du lemme d'Abel).
  • Comparaison des rayons de convergence, rayon d'une somme, d'un produit.
  • \(\sum{a_nz^n}\) et \(\sum{na_nz^n}\) ont même rayon de convergence.
  • Règle de d'Alembert dans le cas où \(a_n \ne 0\).

• Révisions

  • Définition d'un point régulier d'une courbe paramétrée
  • Nature des séries de Riemann
  • Somme des séries géométriques et exponentielles en rappelant le domaine de convergence.

• Questions de cours

  1. Si \(g\circ f = f \circ g\) alors \(\ker(f) \et \im(f)\) sont stables par \(g\).
  2. Pour \(\alpha \in \R\), calculer le rayon de convergence de \(\sum{n^{\alpha}x^n}\).
  3. Si \(a_n\ne 0\) pour tout \(n\) et \(\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| \tend{n \to + \infty} \ell \in ]0, +\infty[\) alors \(\sum{a_nz^n}\) est de rayon de convergence \(\inv{\ell}\).

• Courbes paramétrées

  • Étude locale : points d'inflexion, de rebroussement.
  • Étude des branches infinies : asymptotes et branches paraboliques, y compris obliques.

• Espaces vectoriels

  • Exemples d'utilisation de la dimension, en lien avec une inclusion déjà connue ou supposée (rang d'une forme linéaire, intersection droite/plan ou droite/droite).
  • Rappels sur les espaces supplémentaires : définition par l'existence et l'unicité de la décomposition en somme. Caractérisations générale et en dimension finie (y compris le théorème de la base adaptée).
  • Projecteurs et symétries d'un espace vectoriel, exemples en petite dimension.
  • Sous-espace stable par un endomorphisme, endomorphisme induit : traduction sous forme de matrice par bloc.
  • Hyperplans : ce sont les noyaux des formes linéaires, équation d'un hyperplan dans une base.
  • Rappels sur les résolutions de systèmes, interprétation de l'ensemble des solutions comme intersection d'hyperplans.

• Révisions

  • Critère de d'Alembert pour la convergence d'une série à termes positifs et non nuls.
  • Théorème du rang pour un endomorphisme et pour une matrice rectangulaire.
  • Résolution d'un système 3,3 de rang 2.

• Questions de cours

  1. Montrer que \(S_n(\K) \oplus A_n(\K) = \M_n(\K)\) par une méthode au choix (analyse-synthèse ou utilisation d'une symétrie)
  2. Montrer que pour un projecteur \(p \in \Li(E)\) en dimension finie, \(\rg(p) = \tr(p)\) en calculant la matrice réduite.
  3. Si \(g\circ f = f \circ g\) alors \(\ker(f) \et \im(f)\) sont stables par \(g\).

• Courbes paramétrées

  • Courbes paramétrées du plan : définition, étude des symétries.
  • Exemple de paramétrisation du cercle unité.
  • Point régulier et tangente en ces points.
  • Étude locale : points d'inflexion, de rebroussement.
  • Étude des branches infinies : asymptotes et branches paraboliques, y compris obliques.

• Espaces vectoriels

  • Exemples d'utilisation de la dimension, en lien avec une inclusion déjà connue ou supposée (rang d'une forme linéaire, intersection droite/plan ou droite/droite).
  • Rappels sur les espaces supplémentaires : définition par l'existence et l'unicité de la décomposition en somme. Caractérisations générale et en dimension finie (y compris le théorème de la base adaptée).
  • Projecteurs et symétries d'un espace vectoriel, exemples en petite dimension.

• Révisions

  • Critère de d'Alembert pour la convergence d'une série à termes positifs et non nuls.
  • Théorème du rang pour un endomorphisme et pour une matrice rectangulaire.
  • Définition de convergence absolue et de divergence grossière.

• Questions de cours

  1. Étude et tracé de la courbe paramétrée par \(t \mapsto \vect{OM}(t) = \col{x(t)}{y(t)}{} = \col{\cos(t)}{\sin(2t)}{}\)
  2. Montrer que \(S_n(\K) \oplus A_n(\K) = \M_n(\K)\) par une méthode au choix (analyse-synthèse ou utilisation d'une symétrie)
  3. Montrer que pour un projecteur \(p \in \Li(E)\) en dimension finie, \(\rg(p) = \tr(p)\) en calculant la matrice réduite.

• Trace et déterminant

  • Trace d'une matrice carrée : linéarité, invariance par transposition.
  • Deux matrices semblables ont la même trace. Définition de la trace d'un endomorphisme.
  • Déterminant d'une matrice de taille \(n\) : définition par ses propriétés.
  • Déterminant triangulaire, d'une matrice inversible ou non.
  • \(\det(A) = \det(\T{A})\)
  • Calcul par opérations sur les lignes ou les colonnes.
  • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
  • Déterminant d'un produit. Deux matrices semblables ont le même déterminant.
  • Déterminant d'un endomorphisme.

• Courbes paramétrées

  • Courbes paramétrées du plan : définition, étude des symétries.
  • Exemple de paramétrisation du cercle unité.
  • Point régulier et tangente en ces points.

• Révisions

  • Établir une équation de droite connaissant un point et un vecteur directeur.
  • Donner 3 CNS pour qu'une matrice carrée soit inversible.
  • Rappeler les séries géométriques et exponentielles : somme et domaine de validité de la formule.

• Questions de cours

  1. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace et le même déterminant. Bien justifier le calcul pour la trace (théorème 1).
  2. Calcul du déterminant carré de taille \(n \ge 1\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)
  3. Étude et tracé de la courbe paramétrée par \(t \mapsto \vect{OM}(t) = \col{x(t)}{y(t)}{} = \col{\cos(t)}{\sin(2t)}{}\)

• Séries numériques

  • Définition d'une série, d'une série convergente, divergente.
  • Linéarité de la somme pour les séries convergentes.
  • Séries de référence : géométriques, de Riemann, exponentielle.
  • Comparaison de séries à termes positifs (ou négatifs) : inégalité, domination, négligeabilité, équivalent.
  • Séries alternées : convergence, encadrement de la somme et majoration du reste.
  • Convergence absolue : elle implique la convergence. Traduction du théorème de comparaison.
  • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, application à la série exponentielle.

• Trace et déterminant

  • Trace d'une matrice carrée : linéarité, invariance par transposition.
  • Deux matrices semblables ont la même trace. Définition de la trace d'un endomorphisme.
  • Déterminant d'une matrice de taille \(n\) : définition par ses propriétés.
  • Déterminant triangulaire, d'une matrice inversible ou non.
  • \(\det(A) = \det(\T{A})\)
  • Calcul par opérations sur les lignes ou les colonnes.
  • Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
  • Déterminant d'un produit. Deux matrices semblables ont le même déterminant.
  • Déterminant d'un endomorphisme.

• Révisions

  • Établir une équation de droite connaissant un point et un vecteur directeur.
  • Donner 3 CNS pour qu'une matrice carrée soit inversible.
  • Rappeler les séries géométriques et exponentielles : somme et domaine de validité de la formule.

• Questions de cours

  1. Montrer que \(\sum{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument pour tout \(z\) puis, si on note \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\) alors on a \(f(a)\times f(b) = f(a + b)\).
  2. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace et le même déterminant.
  3. Calcul du déterminant carré de taille \(n \ge 1\) : \(\begin{vmatrix}-3 & 2 & 0 & \dots & & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & & 1 & -3 & 2 \\ 0 & & \dots & & 1 & -3 \end{vmatrix}\)

• Révisions sur les comparaisons

  • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
  • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
  • Croissances comparées.
  • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
  • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
  • Croissances comparées sur les suites.

• Séries numériques

  • Définition d'une série, d'une série convergente, divergente.
  • Linéarité de la somme pour les séries convergentes.
  • Séries de référence : géométriques, de Riemann, exponentielle.
  • Comparaison de séries à termes positifs (ou négatifs) : inégalité, domination, négligeabilité, équivalent.
  • Séries alternées : convergence, encadrement de la somme et majoration du reste.
  • Convergence absolue : elle implique la convergence. Traduction du théorème de comparaison.
  • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, application à la série exponentielle.

• Révisions

  • Définition de suites adjacentes.
  • Énoncé du théorème des suites adjacentes.
  • Établir une équation de droite connaissant un point et un vecteur directeur.

• Questions de cours

  1. Montrer que \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
  2. Énoncer le théorème des séries de Riemann et montrer que \(\sum{\inv{n}}\) diverge.
  3. Montrer que \(\sum{\frac{z^n}{n!}}\) converge absolument pour tout \(z\) puis, si on note \(f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}\) alors on a \(f(a)\times f(b) = f(a + b)\).

• Révisions sur les comparaisons

  • Équivalent, négligeable pour les fonctions.
  • Théorème de Taylor-Young et développements limités usuels.
  • Croissances comparées.
  • Relations de comparaison sur les suites : équivalent, petit et grand o.
  • Comparaison à une suite géométrique via l'étude de \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\).
  • Croissances comparées sur les suites.

• Séries numériques

  • Définition d'une série, d'une série convergente, divergente.
  • Linéarité de la somme pour les séries convergentes.
  • Séries de référence : géométriques, de Riemann, exponentielle.

• Révisions

  • Inégalité de Taylor-Lagrange.
  • Définition de suites adjacentes.
  • Énoncé du théorème des suites adjacentes.

• Questions de cours

  1. Retrouver le DL de \(\arccos\) à l'ordre 5.
  2. Montrer que \(n! = o_{+\infty}(n^n)\).
  3. Énoncer le théorème des séries de Riemann et montrer que \(\sum{\inv{n}}\) diverge.